2025年高考数学二轮复习-3.1-等差数列、等比数列【课件】

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1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列求和及综合应用是高考考查的重点.
等差数列、等比数列的基本运算
等差数列、等比数列的性质
等差数列、等比数列的判断与证明
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.(2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1，an＝am·qn－m.(3)等差数列的求和公式：
(4)等比数列的求和公式：
　　(1)(2024·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4等于
方法一　若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1.
化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此数列各项均为正数，
方法二　由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q>0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.
(2)(2024·安康模拟)中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第五天行走的里程数约为
设该马第n(n∈N*)天行走的里程数为an，
等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列.(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.
　　　(1)(2024·河南联考)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则春分时节的日影长为A.4.5尺 B.3.5尺C.2.5尺 D.1.5尺
冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列{an}，设公差为d，
所以an＝a1＋(n－1)d＝11.5－n，所以a7＝11.5－7＝4.5，即春分时节的日影长为4.5尺.
(2)(2024·石家庄质检)已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，a1＝4，S3＝84，则lg2a1a2a3…a8的值为A.70 D.76
设等比数列{an}的公比为q，则q>0，S3＝a1(1＋q＋q2)＝4(1＋q＋q2)＝84，整理可得q2＋q－20＝0，解得q＝4(负值舍去)，所以an＝a1qn－1＝4n，所以lg2a1a2a3…a8＝lg2(41×42×43×…×48)
1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；对于等比数列，有aman＝apaq＝2.前n项和的性质：(1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数时除外).(2)对于等差数列有S2n－1＝(2n－1)an.
　　(1)(多选)(2024·济宁质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a4＋a11>0，a7a8S9C.当n＝7时，Sn最大D.当Sn>0时，n的最大值为14
∵在等差数列{an}中，a1>0，a4＋a11＝a7＋a8>0，a7a80，a80，a80时，n的最大值为14，D正确.
(2)(2024·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝______.
方法一　{an}为等比数列，∴a4a5＝a3a6，∴a2＝1，又a2a9a10＝a7a7a7，∴1×(－8)＝(a7)3，∴a7＝－2.方法二　设{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0，则a4＝q2，即a1q3＝q2，
则a1q＝1，因为a9a10＝－8，则a1q8·a1q9＝－8，则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，则q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2.
等差数列、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解.(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.
(2)(2024·沧州质检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝6，则S24＝______.
因为数列{an}为等比数列，由等比数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6，…，S24－S21，…构成首项为S3＝2，
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.
　(2024·潍坊模拟)已知数列{an}和{bn}满足a1＝3，b1＝2，an＋1＝an＋2bn，bn＋1＝2an＋bn.(1)证明：{an＋bn}和{an－bn}都是等比数列；
因为an＋1＝an＋2bn，bn＋1＝2an＋bn，所以an＋1＋bn＋1＝3(an＋bn)，an＋1－bn＋1＝－(an－bn)，又由a1＝3，b1＝2得a1－b1＝1，a1＋b1＝5，所以数列{an＋bn}是首项为5，公比为3的等比数列，数列{an－bn}是首项为1，公比为－1的等比数列.
(2)求{anbn}的前n项和Sn.
由(1)得an＋bn＝5×3n－1，an－bn＝(－1)n－1，
(1) ＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.(2){an}为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列.(3)证明{an}不是等比数列可用特值法.
　(2024·日照模拟)已知数列{an}满足：a1＝λ>0，anan＋1＝27－2n.(1)当λ＝　 时，求数列{a2n}中的第10项；
由已知anan＋1＝27－2n，所以当n≥2时，anan－1＝29－2n，
(2)是否存在正数λ，使得数列{an}是等比数列？若存在，求出λ值并证明；若不存在，请说明理由.
存在.假设存在正数λ，使得数列{an}是等比数列，
即λ2＝64，解得λ＝8.下面证明当λ＝8时数列{an}是等比数列，
所以当n为奇数时，an＝24－n；当n为偶数时，an＝24－n，所以对一切正整数n，都有an＝24－n，
所以存在正数λ＝8使得数列{an}是等比数列.
一、单项选择题1.若首项为正数的等比数列{an}的前6项和为126，且a5＝2a3＋8a1，则a4的值为A.32 　　　B.16 　　　 C.8 　　　D.4
设首项为正数的等比数列{an}的公比为q(q>0)，
∴a4＝a1q3＝16.
2.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5等于A.25 D.15
方法一　设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得，a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5，①又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，②①②联立，解得d＝1，a1＝2，
方法二　依题意可得，a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9，
于是a3＝a4－d＝5－1＝4，所以S5＝5a3＝20.
∴a9＋a10＋a11＋a12＝12.
4.(2024·安庆模拟)林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄300～500年之间的古树为二级，树龄100～299年之间的古树为三级，树龄低于100年的不称为古树.林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列.现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14 m，靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4 cm，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2 cm，则估计该大树属于(π取3.14)A.一级 B.二级C.三级 D.不是古树
设树干的截面圆的半径为r，树干周长2πr＝3.14，r＝0.5 m＝50 cm，从内向外数，a5＝0.4，an－4＝0.2，
∴估计该大树属于三级.
5.(2024·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：　 为等差数列，则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
方法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.
方法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，上边两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，所以an＝a1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式成立，
又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.
6.(2024·新高考全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8等于A.120 B.85C.－85 D.－120
方法一　设等比数列{an}的公比为q，首项为a1，若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，不符合题意，所以q≠1.由S4＝－5，S6＝21S2，
由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，
方法二　设等比数列{an}的公比为q，因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否则S4＝0，从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，所以(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)，
当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8＋21，易知S8＋21＝－64，即S8＝－85；
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2>0，与S4＝－5矛盾，舍去.综上，S8＝－85.
二、多项选择题7.(2024·扬州模拟)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a6a7>1， 　　1B.0