新高考数学二轮复习专题培优练习专题13 平面向量的数量积与向量中的最值问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2024届四川省南充市高三适应性考试）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的正切值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，由所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故选B
2．（2023届福建省名校联盟高三4月高考模拟）设向量 SKIPIF 1 < 0 与单位向量 SKIPIF 1 < 0 满足，对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 .故选B.
3．（2024届江苏省常州高级中学高三上学期期初检测）已知在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，以斜边 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为直径，在点 SKIPIF 1 < 0 的另一侧作半圆弧 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为半圆弧上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
因为直角三角形 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，故可建立如图所示的平面直角坐标系，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，因为M在半圆上运动变化，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为： SKIPIF 1 < 0 .故选A.
4．（2023届安徽师范大学附属中学高三上学期1月月考）设 SKIPIF 1 < 0 均为单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为2
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 均为单位向量， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.故选D.
5．（2023届山东省昌乐二中高三下学期二轮模拟）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】不失一般性，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.因此， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选C.
6．（2023届重庆市第一中学校高三下学期2月月考）已知长方形ABCD的边长 SKIPIF 1 < 0 ，P，Q分别是线段BC，CD上的动点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设A点为坐标原点，分别以AB，AD为x，y轴建立坐标系，如图，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选D.
7．（2024届上海市实验学校高三上学期阶段反馈）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆 SKIPIF 1 < 0 的半径2，点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 内的定点，且 SKIPIF 1 < 0 ，弦 SKIPIF 1 < 0 均过点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法错误的是（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 为定值B． SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为定值D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为12
【答案】B
【解析】如图，过 SKIPIF 1 < 0 作直径 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为定值，A对；
若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，B错；
若 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的最大值为12，D对.

故选B
8．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
化为 SKIPIF 1 < 0 ．故 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上运动，
如图所示， SKIPIF 1 < 0 表示原点到圆上一点的距离，故当经过圆心时，距离最大或者最小，
故 SKIPIF 1 < 0 ．故选C．

9．（2023届安徽省临泉第一中学高三下学期三模）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D是以BC为直径的圆上一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．12B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】如图：

取BC，BD中点E，G，可知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
取BE的中点O，则G为圆O上一点，所以 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为12.故选A.
10．已知菱形ABCD的边长为2， SKIPIF 1 < 0 ，点E在边BC上， SKIPIF 1 < 0 ，若G为线段DC上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】B
【解析】由题意可知，如图所示
因为菱形ABCD的边长为2， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故选B.
11．（2023届新疆部分学校高三二模）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若对于任意实数x，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则如图所示，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），
过圆周上一点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，
延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，根据相似知识可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选D.
12．（2023届上海市闵行中学高三下学期学情调研）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 对任意实数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 对任意实数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向时取等号.故选B
二、多选题
13．(2024届河北省邯郸市高三上学期第一次调研)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个非零向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角D．若实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 为负数
【答案】AD
【解析】对A，当 SKIPIF 1 < 0 不共线时，根据向量减法的三角形法则知 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 反向共线时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对B，若 SKIPIF 1 < 0 ，则以 SKIPIF 1 < 0 为邻边的平行四边形为矩形，
且 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是这个矩形的两条对角线长，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对C，若 SKIPIF 1 < 0 的夹角范围为 SKIPIF 1 < 0 ，根据向量加法的平行四边形法则知： SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对D，若存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 共线，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 反向共线，所以 SKIPIF 1 < 0 为负数，故D正确.故选AD.
14．（2023届河北省唐山市邯郸市等2地高三上学期期末）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）交 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 的准线交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，（ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），下列选项错误的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
只有当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，直线与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，不存在斜率，不满足题意，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，由B得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D，由C可知不存在 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立，故D错误．故选ACD．
15.（2024届安徽省安庆、池州、铜陵三市部分学校高三上学期开学联考）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A，B两点不重合，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最大值为2
B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为2
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 最大值为4
【答案】AD
【解析】A选项，由已知A，B为单位圆上任意两点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A正确；

B选项，设D为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于A，B两点不重合，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
C选项，当P，A，B共线时， SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
D选项，当P，A，B共线时，若 SKIPIF 1 < 0 坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 两点重合，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 坐标不同时为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，

故 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.故选AD
16．（2024届江苏省南通市如皋市高三上学期期初调研）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影为 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角
【答案】AD
【解析】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，该方程有无数组解，错误；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为相反向量，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，正确；故选AD
17．（2024届江苏省淮阴中学等四校高三上学期期初联考）已知O为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为锐角，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为定值B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为3
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 为锐角，故 SKIPIF 1 < 0 ，
A： SKIPIF 1 < 0 为定值，对；
B： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故最小值为3，错；
C： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，对；
D： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立；（法一）
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 递减；当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 递增；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，（法二），对.故选ACD
三、填空题
18．（2024届江苏省基地大联考高三上学期第一次质量监测）已知同一平面内的单位向量 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两边平方得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 均是单位向量，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
19．（2024届湖南省邵阳市邵东市第三中学高三上学期月考）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，点D在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，E是 SKIPIF 1 < 0 的中点，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点H，点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点（不含点A），且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 ．

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
延长 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且相似比为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .

20．（2023届上海市七宝中学高三5月模拟）已知 SKIPIF 1 < 0 为单位向量，向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，建立平面直角坐标系，令 SKIPIF 1 < 0 ,

设 SKIPIF 1 < 0 则由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即点A轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为2的圆，
点B轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为3的圆，
则设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 为辅助角）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
21．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，若对每一个确定的向量 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 变化时，实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0
如图，

所以点A的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，1为半径的圆，取OB中点E，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点C在直线 SKIPIF 1 < 0 上，故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值最小，
当 SKIPIF 1 < 0 情况下，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切时 SKIPIF 1 < 0 最大， SKIPIF 1 < 0 取最大，
此时， SKIPIF 1 < 0
22．（2023届上海市格致中学高三三模）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得： SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号，
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .