高考数学三轮冲刺压轴小题08 平面向量中范围、最值等综合问题 (2份打包，解析版+原卷版)

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平面向量中范围、最值等综合问题

一．方法综述
平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．
二．解题策略
类型一 与向量的模有关的最值问题
【例1】已知向量，，满足，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵，
而，
∴，又，，，，∴，而，
若令，则，即，
∴，可知的最大值为，
故选：A
【举一反三】
1．平面上的两个向量和，，，，若向量，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，∵，，，
∴，取的中点D，且，如图所示：

则，
∴，
∴，
∵，∴，
∴C在以D为圆心，为半径的圆上，∴的最大值为.
故选:B.
2.已知平面向量不共线，且，，记与 的夹角是，则最大时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，则，，
所以.易得，
，
当时，取得最小值，取得最大值，
此时.故选C.
3.已知向量满足 与的夹角为,,则的最大值为 .
【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围.
【解析】设；
以OA所在直线为x,O为坐标原点建立平面直角坐标系,
∵ 与的夹角为,则A（4,0）,B（2,2）,设C（x,y）
∵,∴x2+y2-6x-2y+9=0,
即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,
表示点A,C的距离即圆上的点与点A（4,0）的距离；
∵圆心到B的距离为,
∴的最大值为．
类型二 与向量夹角有关的范围问题
【例2】已知向量与的夹角为,时取得最小值,当时,夹角的取值范围为________________.[来源:学+科+网]
【分析】将表示为变量的二次函数,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件,得关于夹角的不等式,解不等式得解．
【解析】由题意知,,,所以
,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,.由题意可得,,求得,所以.
【举一反三】
1.已知非零向量满足 ,若函数 在R 上存在极值,则和夹角的取值范围为
【答案】
【解析】,设和夹角为,因为有极值,所以,即,即,所以．
2.非零向量满足=，，则的夹角的最小值是 ．
【答案】
【解析】由题意得，，整理得，即
，，夹角的最小值为.
3.已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______.
【答案】
【解析】，，
，,在时取得最小值,
解可得：,则夹角的取值范围
类型三 与向量投影有关的最值问题
【例3】设， ， ，且，则在上的投影的取值范围( )
A. B. C. D. [来源:Z#xx#k.Com]
【答案】D
当时，
当
故当时， 取得最小值为，即
当时， ，即
，综上所述故答案选
【举一反三】
设，，，且，则向量在上的投影的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，，建立以点为原点的直角坐标系，
设，，则，，
即有．
设向量与的夹角为，所以向量在上的投影为．
当时，；
当时，，由可得，，
即，所以；
当时，，由可得，，
即，所以．
综上可知，向量在上的投影的取值范围为．
故选：A．
2．在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C

建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-，0），C（，0），P（0，0），
由可知，ABC三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周角为，所以圆心角为.圆心在BC的中垂线即轴上，且圆心到直线BC的距离为，即圆心为，
半径为.
所以点A的轨迹方程为：，则 ，则 ，
由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|，
则在方向上投影的最大值是，故选C．
类型四 与平面向量数量积有关的最值问题
【例4】已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意知：，设


以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：

，，设 则，

当时，，本题正确选项：
【举一反三】
1．已知是边长为的正三角形，为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】

如图所示,以边所在直线为轴,以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系,因为该正三角形的边长为,,当点在边上时,设点,则 的最大值为;当点在边上时,因为直线的斜率为,所以直线的方程为:,设点,则, ,
的最大值为;当点在边上时,因为直线的斜率为,所以直线的方程为:,设点,则的最大值为;综上,最大值为,故选A.



2、）中，，，，且，则的最小值等于　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，向量，且，
可得点D在边BC上，，
所以，则，即，
所以时以C为直角的直角三角形．
如图建立平面直角坐标系，设，则，
则，，当时，则最小，最小值为．
故选：C．

3．如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，先将C视为定点，设∠CAB＝θ，θ∈[0，），则AC=2cosθ，

连接CB，则CBAC，
过O作AC的平行线交圆于E，交BC于M，且M为垂足，
又知当D、C在AB同侧时，取最大值，
设D在OE的投影为N，
当C确定时，M为定点，则当N落在E处时，MN最大，此时取最大值，
由向量的几何意义可知，=，最大时为，
又OM=cosθ, ∴cosθ，
∴最大为2cosθ,当且仅当cosθ=时等号成立，即θ=，
∴ 的最大值为.
故选A.
类型五 平面向量系数的取值范围问题[来源:学+科+网
【例5】在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】分析：用，表示出,根据三点共线得出的关系，利用基本不等式得出的最小值.

三点共线，
则

当且仅当即时等号成立.故选A.
【举一反三】
1．已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

如图 三点共线，
∵是的重心，

解得， 结合图象可知
令
故
故
当且仅当等号成立，故选D
2．在中，已知，，的面积为6，若为线段上的点（点不与点，点重合），且，则的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为的面积为，所以，所以，
所以，，，由于，所以，所以，
所以由余弦定理得：，即.
所以，
因为为线段上的点（点不与点，点重合），所以，根据题意得
所以所以
，
当且仅当，即时等号成立，所以.
故选：C.
3.已知正方形ABCD的边长为1，动点P满足，若，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：以A为原点建立如图所示的直角坐标系：

则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，
故选：C．
类型六 平面向量与三角形四心的结合:学+科+网
【例6】如图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且,则的最小值为（ ）
C
M
N
A
B
G
Q

A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得：,又,所以，因此，当且仅当时取等号，所以选C．
【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
【举一反三】
1.如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为

【答案】5
2．已知O是所在平面上的一点，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】因为
则,即
移项可得
即
则
因为
所以
化简可得,即
设为方向上的单位向量,为方向上的单位向量
所以,
则

所以
则在的角平分线上
同理可知 在的角平分线上
因而为的内心
故选:B
3.已知点是锐角三角形的外心，若（， ），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵O是锐角△ABC的外心，
∴O在三角形内部，不妨设锐角△ABC的外接圆的半径为1，
又，
∴||=| |，
可得=++2mn⋅，
而⋅=||⋅||cos∠A0B