高考数学一轮复习第七章第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件

这是一份高考数学一轮复习第七章第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件，共57页。PPT课件主要包含了答案A，答案D，判断直线与圆相交，动直线问题，图D71，答案x－y－2＝0，图D72，答案B，答案－11，题后反思等内容，欢迎下载使用。
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.直线与圆的位置关系
【名师点睛】(1)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2 项的系数相
同)相减便可得公共弦所在的直线方程.
(2)直线与圆相交时，圆心到直线的距离 d、半径 r 与弦长 l 满
(3)圆的切线方程常用结论
①过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
考点一 直线与圆的位置关系[例 1](1)直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的
解析：(方法一，几何法)∵圆心(0，1)到直线 l 的距离
(方法二，点与圆的位置关系法)直线 l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，∵点(1，1)在圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的内部，∴直线 l 与圆相交.
消去 y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线 l 与圆相交.
(2)若直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，则
实数 m 的取值范围为(
A.(－∞，＋∞)B.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：由 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 得(x－1)2＋(y－1)2＝1，因为直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，
所以 m≠0，即 m∈(－∞，0)∪(0，＋∞).
【题后反思】判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用 d 与 r 的关系判断.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.若直线 l：x＋y＝m 与曲线 C：y＝ 有两个公共点，则实数 m 的取值范围是________________.解析：如图 D71，曲线 C：y＝ 的图象为单位圆的上半圆(包含端点)，直线 l：x＋y＝m 的斜率为－1，在 y轴上的截距为 m.当直线 l 经过A(1，0)，B(0，1)两点时，m＝1，此时直线 l 与曲线 C 有两个公共点.当直
直线 l 与曲线 C 有且只有两个公共点.
考点二 圆的切线、弦长问题考向 1 圆的弦长问题
考向 2 圆的切线问题
(1)求过点 P 的圆 C 的切线方程；
(2)求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点 M 在圆 C 外部.当过点 M 的直线斜率不存在时，直线方程为 x＝3，即 x－3＝0.又点 C(1，2)到直线 x－3＝0 的距离 d＝3－1＝2＝r，所以直线 x＝3 是圆 C 的切线.当切线的斜率存在时，设切线方程为 y－1＝k(x－3)，即 kx－
考向 3 与弦长有关的最值和范围问题
[例 4]过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4 的弦，则最短弦所在
的直线方程为_______________.
解析：设 P(3，1)，圆心 C(2，2)，则|PC|＝ ，半径 r＝2，由题意知最短弦过 P(3，1)且与 PC 垂直，kPC＝－1，所以所求直线方程为 y－1＝x－3，即 x－y－2＝0.
【题后反思】(1)弦长的两种求法①几何方法：若弦心距为 d，圆的半径长为 r，则弦长 l＝
②代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.
(2)求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
【考法全练】1.(考向 1)(2023 年哈尔滨市期末)已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2
＝25，则直线 3x＋4y－1＝0 被圆截得的弦的长度为(
2.(考向 2)(2023 年全国Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆 x2＋y2－4x－1
＝0 相切的两条直线的夹角为α，则 sin α＝(
3.(考向 3)(一题两空)(2022 年温州市模拟)已知圆 C：(x－1)2＋y2＝25 与直线 l：mx＋y＋m＋2＝0，若圆 C 关于直线 l 对称，则m＝_______；当 m＝_______时，圆 C 被直线 l 截得的弦长最短.
解析：∵圆 C：(x－1)2＋y2＝25 关于直线 l：mx＋y＋m＋2＝0对称，则圆心(1，0)在直线 l：mx＋y＋m＋2＝0 上，故有 m＋0＋m＋2＝0，求得 m＝－1.由于直线 l：mx＋y＋m＋2＝0，即 m(x＋1)＋y＋2＝0，经过定点 M(－1，－2)，故当 CM 和直线 l 垂直时，
＝－1，求得 m＝1.
考点三 圆与圆的位置关系
[例 5]已知两圆 x2＋y2－2x－6y＋1＝0，x2＋y2－10x－12y＋
(1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切？
(3)当 m＝45 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的
解：因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝9，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
(3)由(x2＋y2－2x－6y＋1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为 4x＋3y－22＝0.故两圆的公共弦的长为
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间
的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方
程作差消去 x2，y2 项得到.
【变式训练】1.(多选题)圆 O1：x2＋y2－2x＝0 和圆 O2：x2＋y2＋2x－4y＝0
的交点为 A，B，则有(
A.公共弦 AB 所在的直线方程为 x－y＝0B.线段 AB 的中垂线方程为 x＋y－1＝0
所以(－x)(－x)＋(2－y)(－y)＝3，化简得 x2＋(y－1)2＝4.
所以点 M 的轨迹是以(0，1)为圆心，2 为半径的圆.
因为 M 在圆 C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1 上，所以两圆必须内切、相交或外切.
又两圆半径之差为 2－1＝1，半径之和为 2＋1＝3，所以两圆
心之间的距离的取值范围为[1，3].
a 的取值范围为[0，3].
3.(2022 年全国Ⅰ卷)写出与圆 x2＋y2＝1 和(x－3)2＋(y－4)2＝
16 都相切的一条直线的方程____________________.
解析：圆 x2＋y2＝1 的圆心坐标为 O(0，0)，半径 r1＝1.圆(x－3)2＋(y－4)2＝16 的圆心坐标为 C(3，4)，半径 r2＝4，如图 D73.
综上所述，与圆x2＋y2＝1和圆(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的直线方程为 x＝－1，3x＋4y－5＝0 以及 7x－24y－25＝0.
答案：x＝－1 或 3x＋4y－5＝0 或 7x－24y－25＝0
公元前 3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图
7-4-1，点 A，B 为两定点，动点 P 满足|PA |＝λ|PB|.则λ＝1 时，动点 P 的轨迹为直线；当λ＞0 且λ≠1 时，动点 P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.
证明：设|AB|＝2m(m＞0)，|PA |＝λ|PB|，如图7-4-2，以 AB 的
中点 O 为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，
则 A(－m，0)，B(m，0).
[例 6]在平面直角坐标系中，A(－2，0)，B(2，0)，则满足|PA|＝2|PB|的点 P 的轨迹的圆心坐标为________________.
解析：设点 M(x，y)，由|MB|＝λ|MA|，
由图可知，当|yM|＝1，即点 M 的坐标为(0，1)或(0，－1)时，S△MAB 取得最大值，
∴点 Q 的坐标为(－2，0)，如图 D75.∴2|MP|＋|MB|＝|MQ|＋|MB|.