高考数学一轮复习第七章第二讲两直线的位置关系课件

这是一份高考数学一轮复习第七章第二讲两直线的位置关系课件，共45页。PPT课件主要包含了答案A，答案D，答案－2，后想”，题后反思，线方程为一般式，离为y0－b，分别化为相等，答案B，A′ab等内容，欢迎下载使用。

1.能用斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会
求两条平行直线间的距离.
1.两条直线的位置关系
2.三个距离公式(1)两点间的距离公式两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离：(2)点到直线的距离公式点 A(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离：
(3)两条平行直线间的距离公式l1：Ax＋By＋C＝0，l2：Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)，l1 与 l2 间的距离：
(1)两直线平行的充要条件
直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是 A1B2 －A2B1＝0 且 B1C2 －B2C1≠0(或 A1C2 －A2C1≠0).注意，两直线斜率相等只是两直线平行的充分不必要条件(例外情况为两直线均与 x 轴垂直，斜率均不存在).
(2)两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.注意，两直线斜率之积为－1只是两直线垂直的充分不必要条件(例外情况为两直线分别与x轴、y轴垂直).
①点(x，y)关于 x 轴的对称点为(x，－y)，关于 y 轴的对称点
为(－x，y)，关于原点的对称点为(－x，－y)；
②点(x，y)关于 y＝x 的对称点为(y，x)，关于 y＝x＋b 的对称点为(y－b，x＋b)，关于 y＝－x 的对称点为(－y，－x)，关于 y＝－x＋b 的对称点为(b－y，b－x)；
③点(x，y)关于直线 x＝a 的对称点为(2a－x，y)，关于直线
y＝b 的对称点为(x，2b－y).
考点一 两直线的平行与垂直1.(2022 年南充市期末)“m＝1”是“直线 l1：(m－4)x＋my＋1
＝0 与直线 l2：mx＋(m＋2)y－2＝0 互相垂直”的(
A.充分不必要条件C.充要条件
B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析：∵直线 l1：(m－4)x＋my＋1＝0 与直线 l2：mx＋(m＋2)y－2＝0互相垂直，∴(m－4)m＋m(m＋2)＝0，∴2m2－2m＝0，∴m＝0 或 m＝1，∴“m＝1”是“直线 l1：(m－4)x＋my＋1＝0 与直线 l2：mx＋(m＋2)y－2＝0 互相垂直”的充分不必要条件.故选 A.
2.(2023 年三明市校级期中)已知直线 mx＋4y－2＝0 与直线
2x－5y＋n＝0 互相垂直，垂足为(1，p).则 m＋n－p 等于(
3.(2023 年广州市校级期末)已知直线 l1：ax＋2y－3＝0 与 l2：3x＋(1－a)y＋4＝0，若 l1⊥l2，则实数 a 的值为________.解析：∵直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(1－a)y＋4＝0，且
l1⊥l2，则 3a＋2(1－a)＝0，解得 a＝－2.
【题后反思】解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思
考点二 两直线的交点与距离问题[例 1](1)若三条直线 y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0 相交于
同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(
，则 c 的值是________.
(2)若两条平行直线 3x－2y－1＝0 和 6x＋ay＋c＝0 之间的距
解得 c＝2 或－6.答案：2 或－6
(1)求过两直线交点的直线方程的方法：求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式的注意点
①求点到直线的距离或两条平行直线间的距离时，应先化直
②点 P(x0，y0)到直线 x＝a 的距离为|x0－a|，到直线 y＝b 的距
③应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数
【变式训练】1.已知点 P(1，2)，则当点 P 到直线 2ax＋y－4＝0 的距离最大
解析：因为直线恒过定点 A(0，4)，则当 PA 与直线垂直时，点 P 到直线的距离达到最大值，此时过点 P，A 的直线的斜率为
2.直线 l 过点 P(－1，2)且到点 A(2，3)和点 B(－4，5)的距离
相等，则直线 l 的方程为______________________.
解析：根据题意，当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为
y－2＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＋2＝0.由题意知
当直线 l 的斜率不存在时，直线 l的方程x＝－1，也符合题意.
答案：x＋3y－5＝0 或 x＝－1
[例 2](1)过点 P(0，1)作直线 l，使它被直线 l1：2x＋y－8＝0和 l2：x－3y＋10＝0 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为____________________；
解析：设 l1 与 l 的交点为 A(a，8－2a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(－a，2a－6)在 l2 上，代入 l2 的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得 a＝4，即点 A(4，0)在直线 l 上，因为 P(0，1)也在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x＋4y－4＝0.
答案：x＋4y－4＝0
(2)已知入射光线经过点 M(－3，4)，被直线 l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点 N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为
____________________.
解析：设点 M(－3，4)关于直线 l：x－y＋3＝0 的对称点为
M′(a，b)，则反射光线所在直线过点 M′，
解得 a＝1，b＝0.又反射光线经过点 N(2，6)，所以反射光线
所在直线的方程为 6x－y－6＝0.
答案：6x－y－6＝0
【题后反思】解决对称问题的方法(1)中心对称①点 P(x，y)关于 Q(a，b)的对称点 P′(x′，y′)
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
(2)轴对称①点 M(a，b)关于直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为 M′(m，n)，
解关于 m，n 的二元一次方程组，求出对称点 M′(m，n)的坐标.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
【变式训练】1.(2023 年遂宁市校级期中)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 B(－2，
为 x＋2y＝3，则“将军饮马”的最短总路程为__________.
解析：如图 D70，设点 A 关于直线 x＋2y＝3 对称的点为
2.已知三角形的一个顶点 A(4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为 l1：x－y－1＝0 和 l2：x－1＝0，则 BC 边所在直线的方程为________________________.
解析：易得点 A 不在 l1 和 l2 上，因此 l1，l2 为∠B，∠C 的平分线，所以点 A 关于 l1，l2 的对称点在 BC 边所在的直线上，设点 A 关于 l1 的对称点为 A1(x1，y1)，点 A 关于 l2 的对称点为
答案：2x－y＋3＝0
⊙巧用直线系求直线方程
(1)过定点 P(x0，y0)的直线系方程是 y－y0＝k(x－x0)(k 是参数，直线系中未包括直线 x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；
(2)平行于已知直线 Ax＋By＋C＝0 的直线系方程是 Ax＋By＋
λ＝0(λ是参数且λ≠C)；
(3)垂直于已知直线 Ax＋By＋C＝0 的直线系方程是 Bx－Ay＋
如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件
待定时，那么可选用直线系方程来求解.
(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(A1B1≠A2B1，λ∈R，但不包括l2).
[例 3](1)求证：动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0(其中 m∈R)恒过定点，并求出定点坐标.证明：(方法一)令 m＝0，则直线方程为3x＋y＋1＝0. ①再令 m＝1 时，直线方程为 6x＋y＋4＝0. ②
将点A(－1，2)的坐标代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0中，(m2＋2m＋3)·(－1)＋(1＋m－m2)·2＋3m2＋1＝(3－1－2)m2＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，　故动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0恒过定点A(－1，2).
(方法二)将动直线方程按 m 降幂排列整理，得 m2(x－y＋3)＋m(2x＋y)＋3x＋y＋1＝0， ①不论 m 为何实数，①式恒为零，
故动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0恒过定点A(－1，2).
(2)求经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的交点P，且与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程.
即 4x＋3y－6＝0.
(方法二)设所求直线方程为 4x＋3y＋m＝0，
将方法一中求得的交点 P(0，2)代入上式可得 m＝－6，故所求直线方程为 4x＋3y－6＝0.
(方法三)设直线 l 的方程为 x－2y＋4＋λ·(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，
∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.
∴直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.
[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”，则直线 l 的方
程为 3x－4y＋8＝0.
【题后反思】确定方程含参数的直线所过定点的方法
(1)将直线方程写成点斜式 y－y0＝f(λ)(x－x0)，从而确定定点
(2)将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及
常数项为 0 确定定点坐标；
(3)给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而
【高分训练】1.过定点 A 的直线(a＋1)x－y＋2＝0 与过定点 B 的直线 x＋(a＋1)y－4a－2＝0 交于点 P(P 与 A，B 不重合)，则△PAB 面积
解析：过定点 A 的直线(a＋1)x－y＋2＝0，整理可得 ax＋x－
y＋2＝0，可得 A(0，2).
过定点 B 的直线 x＋(a＋1)y－4a－2＝0，整理可得 a(y－4)＋x＋y－2＝0，可得 B(－2，4).又因为(a＋1)×1＋(－1)(a＋1)＝0，可得l1⊥l2，可得△PAB为直角三角形.
由题意可得|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－2－0)2＋(4－2)2＝8，因为|PA|2＋|PB|2≥2|PA|·|PB|，可得|PA||PB|≤4，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，