高考数学一轮复习第六章第七讲立体几何中的向量方法课件

这是一份高考数学一轮复习第六章第七讲立体几何中的向量方法课件，共60页。PPT课件主要包含了图6-7-6，答案C，坐标系，图6-7-7，题后反思，图6-7-9，图6-7-10，图6-7-12，图D57，直角坐标系等内容，欢迎下载使用。
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、
相互平行的平面的距离问题.
2.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的
3.体会向量方法在研究立体几何问题中的应用.
若异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别是 u，v，则
2.直线与平面所成的角如图 6-7-1，直线 AB 与平面α相交于点 B，设直线 AB 与平面α所成的角为θ，直线 AB 的方向向量为 u，平面α的法向量为 n，则
如图 6-7-2，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
若平面α，β的法向量分别是 n1 和 n2，则平面α与平面β的夹角即为向量 n1 和 n2 的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则
【常用结论】(1)线面角θ的正弦值等于直线的方向向量 a 与平面的法向量 n所成角的余弦值的绝对值，即 sin θ＝|cs〈a，n〉|，不要误记为cs θ＝|cs〈a，n〉|.
(2)二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是
4.利用空间向量求距离(1)点到直线的距离
(2)点到平面的距离如图 6-7-4，已知平面α的法向量为 n，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点.过点 P 作平面α的垂线l，交平面α于点 Q，且 n 是直线 l 的方向向量，则点
(3)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.注意体积法在求点到平面距离时的应用.
(3)如图 6-7-5，若两个法向量指向二面角的同侧，则二面角的余弦值是 cs〈m，n〉的相反数；若两个法向量指向二面角的异侧，则二面角的余弦值与 cs〈m，n〉相等.
考点一 利用向量求空间的角考向 1 向量法求异面直线所成的角
(2)有公共边的等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，则异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为________.解析：设等边三角形的边长为 2.取BC的中点O，连接 OA，OD.因为等边三角形 ABC和BCD所在平面互相垂直，所以 OA，OC，OD 两两垂直，以点O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立如图6-7-7所示的空间直角
(1)求异面直线所成角的思路：
①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量 v1，v2；
(2)两异面直线所成角的关注点：
两异面直线所成角的范围是
，两向量的夹角的范围是
[0，π]，两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
考向 2 向量法求线面角
[例 2](2023 年广州市校级期末)如图 6-7-8，△PAC 和△ABC是等腰直角三角形，PA ＝PC，AC＝BC.平面 PAC⊥平面 ABC，M为 AB 中点.
(1)求证：AC⊥PM.
(2)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值.
(3)在线段 PB 上是否存满足平面 CNM⊥平面 PAB 的点 N？若
(1)证明：取 AC 中点 D，连接 MD，PD，如图 6-7-9.
∵M 为 AB 的中点，∴MD∥BC.又 AC⊥BC，∴MD⊥AC.∵PA ＝PC，D 为 AC 中点，∴PD⊥AC.
又 MD∩PD＝D，MD⊂平面 PMD，PD⊂平面 PMD，∴AC⊥平面 PMD.又 PM⊂平面 PMD，∴AC⊥PM.
(2)解：由(1)知，PD⊥AC，又平面 PAC⊥平面 ABC，平面
PAC∩平面 ABC＝AC，PD⊂平面 PAC，
∴PD⊥平面 ABC.
以 D 为原点，DA，DM，DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、
z轴，建立如图 6-7-10 所示的空间直角坐标系.
令 z＝1，得 x＝1，y＝1，即 n＝(1，1，1)为平面 PAB 的一个法向量.
设 PC 与平面 PAB 所成角为θ，
【题后反思】(1)求线面角的思路①求出直线的方向向量 a 与平面的法向量 b；③线面角θ的正弦值 sin θ＝|cs〈a，b〉|.(2)求线面角的关注点
考向 3 向量法求二面角[例3] (2023年全国乙卷理科)如图6­7­11，在三棱锥P­ABC中，
AP，BC 的中点分别为 D，E，O，点 F 在 AC 上，BF⊥AO.(1)证明：EF∥平面 ADO；(2)证明：平面 ADO⊥平面 BEF；(3)求二面角 D-AO-C 的正弦值.图 6-7-11
∴EF∥PC.又 D，O 分别为 BP，BC 中点，∴DO∥PC.∴EF∥DO.
∵DO⊂平面 ADO，EF 平面 ADO，∴EF∥平面 ADO.
∵AD2＝AO2＋DO2，∴AO⊥DO，AO⊥EF.∵BF⊥AO，BF⊂平面 BEF，EF⊂平面 BEF，BF∩EF＝F，∴AO⊥平面 BEF.∵AO⊂平面 ADO，∴平面 ADO⊥平面 BEF.
【题后反思】利用向量法确定二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
(3)将二面角转化为线面角求解.如图 6-7-12 所示，要求二面角P-AB-C，可作 PH⊥AB，垂足为 H，则二面角P-AB-C的大小即为PH 与平面 ABC 所成角θ的大小，可用体积法求 P 到平面 ABC 的
距离 h，则 sin θ＝
1.(考向 1)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB＝AA1＝2，点 P，Q分别为 A1B1，BC 的中点，则异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值为________.
解析：如图 D57，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，设 AC，A1C1
的中点分别为 O，O1，
则 OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，
2.(考向 2)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 上的射影为△ABC 的中心，则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为__________.解析：由题知△ABC 为正三角形，A1 在底面 ABC 上的射影为点 E，D 为 BC 中点，AE＝y 轴、z 轴的正方向，建立如图 D58 所示的空间
3.(考向 3)(2023 年全国Ⅱ卷)如图 6-7-13，在三棱锥 A-BCD 中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E 为BC中点.
(1)证明 BC⊥DA；
(1)证明：连接 AE，DE，如图 D59.
∵DB＝DC，E 为 BC 中点，∴DE⊥BC.
又 DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，∴△ACD 与△ABD 均为等边三角形.∴AC＝AB，AE⊥BC.
∵DE⊂平面 ADE，AE⊂平面 ADE，AE∩DE＝E，∴BC⊥平面 ADE.∵AD⊂平面 ADE，∴BC⊥DA.
(2)解：设 DA＝DB＝DC＝2.
∵AE2＋DE2＝DA2，∴AE⊥DE.以 E 为原点，ED，EB，EA 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图 D59 所示空间直角坐标系.
[例4]如图6­7­14，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长均为4，
N 是 CC1 的中点.
(1)求点 N 到直线 AB 的距离；(2)求点 C1 到平面 ABN 的距离.
解：建立如图 6-7-15 所示的空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，B(2 ，2，0)，C(0，4，0)，C1(0，4，4)，
∵N 是 CC1 的中点，∴N(0，4，2).
【题后反思】求点到平面的距离的常用方法
(1)直接法：过 P 点作平面α的垂线，垂足为 Q，把 PQ 放在某个三角形中，用解三角形方法求出的 PQ 的长度就是点 P 到平面α的距离.
(2)转化法：若点 P 所在的直线 l 平行于平面α，则可转化为求
直线 l 上某一个点到平面α的距离.
(3)等体积法：把点到面的距离转化为某个三棱锥的高，先利用其他方法求出该三棱锥的体积与底面积，进而求得三棱锥的高.(4)向量法：设平面α的一个法向量为 n，A 是平面α内任意一
点，则点 P 到平面α的距离为 d＝
1.如图 6-7-16，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD.若已知 AB＝3，AD＝4，PA ＝1，则点 P到直线 BD 的距离为________.
解析：如图 D60，分别以 AB，AD，AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，
2.(2023 年天津卷)如图 6-7-17，在三棱台 ABC-A1B1C1 中，若A1A⊥平面 ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1 ＝2，A1C1 ＝1，M，N分别为 BC，AB 的中点.
(1)求证：A1N∥平面 C1MA；
(2)求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值；(3)求点 C 到平面 C1MA 的距离.
(1)证明：如图 D61，连接 MN，可得 MN 为△ABC 的中位线.又 A1C1＝1，AC∥A1C1，∴MN∥A1C1，MN＝A1C1.∴四边形 MNA1C1 为平行四边形.
∴A1N∥C1M.而 A1N 平面 C1MA，C1M⊂平面 C1MA，∴A1N∥平面 C1MA.
(2)解：以 A 为原点，AB，AC，AA1 所在直线分别为 x 轴、
y轴、z 轴，建立如图 D62 所示的空间直角坐标系.
由题知 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，M(1，1，0)，C1(0，1，2).
解得 y1＝－x1＝－2z1.取 m＝(2，－2，1).∵AB⊥平面 ACC1A1，