高考数学一轮复习第六章第五讲直线、平面垂直的判定与性质课件

这是一份高考数学一轮复习第六章第五讲直线、平面垂直的判定与性质课件，共52页。PPT课件主要包含了所以AC＝PA，PC∩CD＝C，∴PA⊥AB，图D49，ABCD，面ABC，图6-5-6，题后反思，证明如下，图D50等内容，欢迎下载使用。

从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.归纳出性质定理与判定定理，并加以证明.
1.直线与平面垂直(1)定义
如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线 l 与平面α互相垂直，记作 l⊥α，直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 l 的垂面.
(2)判定定理与性质定理
2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 0°的角.
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(2)平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
提醒：两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直
的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件.
【名师点睛】直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，他们的交线也垂直
考点一 线面垂直的判定与性质[例1]如图 6-5-1，在四棱锥 P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，E 是 PC 的中点.求证：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面 ABE.
证明：(1)在四棱锥 P-ABCD 中，
∵PA ⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD，∴PA ⊥CD.
又∵AC⊥CD，且 PA ⊂平面 PAC，AC⊂平面 PAC，PA ∩AC＝
∴CD⊥平面 PAC.
又 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE.
(2)由 PA ＝AB＝BC，且∠ABC＝60°，得△ABC 为正三角形，
∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知 AE⊥CD，且 PC⊂平面 PCD，CD⊂平面 PCD，
∴AE⊥平面 PCD.又 PD⊂平面 PCD.∴AE⊥PD.
∵PA ⊥底面 ABCD，AB⊂平面 ABCD，
又∵AB⊥AD，PA ⊂平面 PAD ，AD⊂平面 PAD ，且 PA ∩AD＝
∴AB⊥平面 PAD .又 PD⊂平面 PAD ，∴AB⊥PD.
又∵AE⊂平面 ABE，AB⊂平面 ABE，且 AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 ABE.
【题后反思】证明线面垂直的常用方法及关键
【变式训练】如图6-5-2，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D 是 A1B1 的中点，F 在 BB1 上.(1)求证：C1D⊥平面 AA1B1B；(2)在下列给出的三个条件中选取两个条件，并根
据所选条件证明：AB1⊥平面 C1DF.
证明：(1)∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D.又A1B1⊂平面AA1B1B，AA1⊂平面AA1B1B，且A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)选①和③能证明 AB1⊥平面 C1DF.以下是证明过程.如图 D49，连接 DF，A1B.
∵D，F 为 A1B1，BB1 中点，∴DF∥A1B.在△ABC 中，AC＝BC＝1，AC⊥BC，
∴侧面 AA1B1B 为正方形.∴A1B⊥AB1，DF⊥AB1.
∵C1D⊥平面 AA1B1B，AB1⊂平面 AA1B1B，∴C1D⊥AB1.
∵DF ⊂ 平面 C1DF ，C1D ⊂ 平面 C1DF ，且 DF∩C1D ＝D ，
∴AB1⊥平面 C1DF.
考点二 面面垂直的判定与性质
[ 例 2] 如图 6-5-3 所示，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD ，AB⊥AD，CD＝2AB，平面 PAD ⊥底面 ABCD，PA ⊥AD，E 和 F分别是 CD 和 PC 的中点，求证：
(1)PA ⊥底面 ABCD；(2)BE∥平面 PAD ；
(3)平面 BEF⊥平面 PCD.
证明：(1)∵平面 PAD ⊥底面 ABCD，
且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，PA ⊂平面 PAD ，∴PA ⊥底面 ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E 为 CD 的中点，∴AB∥DE，且 AB＝DE.
∴四边形 ABED 为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE 平面 PAD ，AD⊂平面 PAD ，∴BE∥平面 PAD .
(3)∵AB⊥AD，而且 ABED 为平行四边形.
∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知 PA ⊥底面 ABCD，CD⊂平面
∴PA ⊥CD，且 PA∩AD＝A，PA ，AD⊂平面 PAD，∴CD⊥平面 PAD .
又∵PD⊂平面 PAD ，∴CD⊥PD.
∵E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又 BE⊥CD 且 EF∩BE＝E，∴CD⊥平面 BEF，又 CD⊂平面 PCD，∴平面 BEF⊥平面 PCD.
【题后反思】证明面面垂直的两种方法
(1)求证：平面 MOC⊥平面 VAB；(2)求三棱锥 B-VAC 的高.
(1)证明：∵AC＝BC，O 为 AB 的中点，∴OC⊥AB.
∵平面 VAB⊥平面 ABC，平面 VAB∩平面 ABC＝AB，OC⊂平
∴OC⊥平面 VAB.∵OC⊂平面 MOC,
∴平面 MOC⊥平面 VAB.
考点三 垂直关系的综合应用[例3]如图 6-5-5，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于 A，B 的一动点.(1)证明：△PBC 是直角三角形；(2)若 PA ＝AB＝2，且当直线 PC 与平面 ABC所成角的正切值为 时，求直线 AB 与平面 PBC
(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于 A，B 的一
动点.∴BC⊥AC，∵PA ⊥平面 ABC，∴BC⊥PA .
又 PA ∩AC＝A，PA ，AC⊂平面 PAC，∴BC⊥平面 PAC，∴BC⊥PC，
∴△BPC 是直角三角形.
(2)解：如图 6-5-6，过点 A 作 AH⊥PC 于点 H，
∵BC⊥平面 PAC，∴BC⊥AH.
又 PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面 PBC，∴AH⊥平面 PBC，∴∠ABH 是直线 AB 与平面 PBC 所成的角.∵PA ⊥平面 ABC，∴∠PCA 就是 PC 与平面 ABC 所成的角.
(1)证明垂直关系时，要充分利用定义、判定和性质实现线线
垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化.
(2)线面角的计算，首先要利用定义和题目中的线面垂直作出
所求角，然后在一个直角三角形中求解.
【变式训练】在四棱锥 P-ABCD 中，△PAD 是等边三角形，且平面 PAD ⊥平面 ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)在 AD 上是否存在一点 M，使得平面 PCM⊥平面 ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2)若△PCD 的面积为 8
，求四棱锥 P-ABCD 的体积.
解：(1)当 M 为 AD 的中点时，使得平面 PCM⊥平面 ABCD.
如图 D50，连接 CM，PM，
由△PAD 是等边三角形，可得 PM⊥AD，
而平面 PAD ⊥平面 ABCD，PM⊂平面 PAD ，AD 为平面 PAD
和平面 ABCD 的交线，可得 PM⊥平面 ABCD，
又因为 PM⊂平面 PCM，可得平面 PCM⊥平面 ABCD.
考点四 平行关系与垂直关系的综合应用[例 4]如图 6-5-7，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD ⊥平面 ABCD，PA ⊥PD，PA ＝PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点.求证：(1)PE⊥BC；(2)平面 PAB ⊥平面 PCD；
(3)EF∥平面 PCD.
证明：(1)因为 PA ＝PD，E 为 AD 的中点，所以 PE⊥AD.
因为底面 ABCD 为矩形，所以 BC∥AD.所以 PE⊥BC.
(2)因为底面 ABCD 为矩形，所以 AB⊥AD.
因为平面 PAD ⊥平面 ABCD，平面 PAD ∩平面 ABCD＝AD，
AB⊂平面 ABCD，所以 AB⊥平面 PAD .
又 PD⊂平面 PAD ，所以 AB⊥PD.
又因为 PA ⊥PD，AB⊂平面 PAB ，PA⊂平面 PAB ，且 PA∩AB
所以 PD⊥平面 PAB.又 PD⊂平面 PCD，所以平面 PAB⊥平面 PCD.
(3)如图 6-5-8，取 PC 中点 G，连接 FG，DG.
因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点，
因为底面 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点，
所以 DE∥FG，DE＝FG.
所以四边形 DEFG 为平行四边形.
所以 EF∥DG.又因为 EF 平面 PCD，DG⊂平面 PCD，所以 EF∥平面 PCD.
求解垂直与平行的综合问题时，应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.如果有面面垂直的条件时，一般要用其性质定理，即在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
1.如图 6-5-9，在底面为菱形的四棱锥 P-ABCD 中，PA ⊥AD，
PA ⊥CD，E 为侧棱 PC 上一点.
(1)若 BE⊥PC，求证：PC⊥平面 BDE；(2)若PA∥平面BDE，求平面 BDE 把四棱锥
P-ABCD 分成两部分的体积之比.
(1)证明：如图 D51，连接 AC，因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD.因为 PA⊥AD，PA ⊥CD，且 AD∩CD＝D，所以 PA⊥底面 ABCD，所以 PA ⊥BD.又因为 PA∩AC＝A，所以 BD⊥平面 PAC，
所以 BD⊥PC.又因为 BE⊥PC，BD∩BE＝B，所以 PC⊥平面 BDE.
(2)解：设 AC∩BD＝O，如图 D51，连接 OE，因为四边形
ABCD为菱形，所以 AO＝OC.因为 PA ∥平面 BDE，
平面 PAC ∩平面 BDE＝OE，
所以平面 BDE 把四棱锥 P-ABCD 分成两部分的体积比为 1∶3(或 3∶1).
2.如图6­5­10，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，
(1)证明：AC1∥平面 B1CD；
(2)若∠ACB＝90°，AA1＝BC，证明：平面A1C1B⊥平面B1CD.
证明：(1)如图 D52，设 BC1 与 B1C 相交于点 E，连接DE，由题意可得，D，E 分别为 AB，BC1 的中点，所以 DE 是△ABC1 的中位线，所以 DE∥AC1，因为 DE⊂平面 B1CD，AC1 平面 B1CD，所以 AC1∥平面 B1CD.
(2)因为AA1⊥底面A1B1C1，所以CC1⊥底面A1B1C1，所以CC1⊥A1C1，因为∠ACB＝90°，即∠A1C1B1＝90°，所以A1C1⊥B1C1，又因为B1C1，CC1⊂平面BCC1B1且B1C1∩CC1＝C1，所以A1C1⊥平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C，因为AA1＝BC，AA1＝CC1，所以CC1＝BC，