2025高考数学一轮复习第10章计数原理、概率及其分布04第49讲事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（课件+解析试卷）

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1．(人A必二P252T1)掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B(　　)A．互斥B．互为对立C．相互独立 D．相等
2．从一副52张的扑克牌(不含大、小王)中随机抽取一张，设事件A＝“抽到黑色牌”，事件B＝“抽到黑桃牌”，事件C＝“抽到K”，则(　　)A．事件A与事件B相互独立，事件A与事件C相互独立B．事件A与事件B相互独立，事件A与事件C不相互独立C．事件A与事件B不相互独立，事件A与事件C相互独立D．事件A与事件B不相互独立，事件A与事件C不相互独立
3．(人A选必三P48T3改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则他在第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为______．
4．天气预报，在元旦假期甲地降雨的概率是0.2，乙地降雨的概率是0.3．假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．
1．相互独立事件(1)概念：设A，B为任意两个事件，若P(AB)＝_____________，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与______，______与_____，______与______也都相互独立．(3)相互独立事件与互斥事件的区别：相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即P(AB)＝0．
2．条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称_________________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称为条件概率．(2)两个公式①利用古典概型，P(B|A)＝____________．②概率的乘法公式：P(AB)＝_______________．
3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝________________．我们称上面的公式为全概率公式．
4．常用结论(1)事件的关系与运算
5．关于条件概率的结论①范围：__________________；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝___________________；③若A与B相互独立，则P(B|A)＝__________，P(A|B)＝__________．
0≤P(B|A)≤1　
P(B|A)＋P(C|A) 　
视角1　独立事件的判断　　　　　(2023·重庆三模)(多选)A，B两组各有2名男生、2名女生，从A，B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛．甲表示事件“从A组中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”，丙表示事件“从A，B两组中选出的是2名男生”，丁表示事件“从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”，则(　　　)A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．甲与乙相互独立D．乙与丁相互独立
视角2　相互独立事件的概率计算　　　　　(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3且p3＞p2＞p1＞0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则(　　)A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
　　　　由于该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，则p受比赛次序影响，所以A错误．设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为P丙．由题意，P甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝2p1p2＋2p1p3－4p1p2p3，P乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝2p1p2＋2p2p3－4p1p2p3，P丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝2p1p3＋2p2p3－4p1p2p3，所以P丙－P甲＝2p2(p3－p1)＞0，P丙－P乙＝2p1(p3－p2)＞0，所以P丙最大．
判断两个事件是否独立的两种方法(1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件．(2)定义法：通过P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立．
变式　(2023·湖北八市三月联考)(多选)连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A＝“第一次出现2点”，B＝“第二次的点数小于5点”，C＝“两次点数之和为奇数”，D＝“两次点数之和为9”，则下列说法正确的是(　　　)A．A与B不互斥且相互独立B．A与D互斥且不相互独立C．B与D互斥且不相互独立D．A与C不互斥且相互独立
　　　(1)(2023·全国甲卷理)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部．若已知某人报名足球俱乐部，则其报名乒乓球俱乐部的概率为(　　)A．0.8　　　　　　B．0.4　　　　　　C．0.2　　　　　　D．0.1
　　　(2)(2023·苏锡常镇一模)“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖这6个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A＝“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B＝“两位游客选择的景点不同”，则P(B|A)＝(　　)
变式　(2023·淮南一模)近年来，准南市全力推进全国文明城市创建工作，构建良好的宜居环境，城市公园越来越多．某周末，甲、乙两位市民准备从龙湖公园、八公山森林公园、上窑森林公园、山南中央公园4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件M＝“甲和乙至少一人选择八公山森林公园”，事件N＝“甲和乙选择的景点不同”，则P(N|M)＝(　　)
　　　(2024·南京期初)某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为________．
　　　　记取到一等麦种和二等麦种分别为事件A1，A2，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件B．由已知可得P(A1)＝0.9，P(A2)＝0.1，P(B|A1)＝0.6，P(B|A2)＝0.2．由全概率公式可得P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.9×0.6＋0.1×0.2＝0.56．
利用全概率公式的解题思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式计算．
变式　(2023·济南期末)甲袋中有4个白球、6个红球，乙袋中有4个白球、2个红球，从两个袋中随机取一袋，再从此袋中随机取一球，则取到红球的概率为_____．
　　　某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是_______；如果这个人迟到了，则他是乘船迟到的概率是_______．
变式　商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1．某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱，则这一箱含有一个次品的概率是________．(结果保留小数点后两位)
4．(2023·杭州二模)(多选)一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回地随机取两次，每次取1个球．记事件A1＝“第一次取出的是红球”，事件A2＝“第一次取出的是白球”，事件B＝“取出的两球同色”，事件C＝“取出的两球中至少有一个红球”，则(　　　)
2．(2023·邵阳一模)某铅笔工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%．现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍．现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为(　　)A．0.92B．0.08C．0.54D．0.38
　　　　从这种铅笔中任取一件抽到甲的概率为0.6，抽到乙的概率是0.4，则抽到甲车间合格品的概率P1＝0.6×(1－0.1)＝0.54，抽到乙车间合格品的概率P2＝0.4×(1－0.05)＝0.38，故抽到合格品的概率P＝P1＋P2＝0.54＋0.38＝0.92．
3．(2023·邯郸期末)甲、乙两个家庭出去游玩，准备分别从北京、上海、重庆和天津4个地点中随机选择一个，记事件A＝“甲和乙选择的地点不同”，事件B＝“甲和乙恰有一个选择北京”，则P(B|A)＝(　　)
4．(2023·深圳南山期末)在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为5∶6∶9，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为(　　)A．0.032　　　　　B．0.048　　　　　C．0.05　　　　　D．0.15
由全概率公式得P(D)＝P(A1)P(D|A1)＋P(A2)P(D|A2)＋P(A3)·P(D|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.04＝0.048．
5．(2023·湖北武昌检测)(多选)已知随机事件A，B，C满足0＜P(A)＜1,0＜P(B)＜1,0＜P(C)＜1，则下列说法正确的是(　　　)A．不可能事件∅与事件A互斥B．必然事件Ω与事件A相互独立
　　　　因为不可能事件∅与事件A不会同时发生，所以互斥，故A正确．因为P(Ω)＝1，P(AΩ)＝P(A)，P(A)P(Ω)＝P(A)×1＝P(A)，所以P(AΩ)＝P(A)P(Ω)，所以必然事件Ω与事件A相互独立，故B正确．
　　　　抛掷该正四面体两次，样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共16个样本点，其中事件A＝{(1,1)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,3)}，共8个样本点，事件B＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共12个样本点，事件AB＝{(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)}，共4个样本点，所以A与B可同时发生，则事件A与事件B不是对立事件，故A错误．
7．(2023·无锡江阴期末)(多选)甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A1，A2和A3表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是(　 　)
由于P(A1)P(B)≠P(A1B)，故A错误．
11．(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．(1) 估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
11．(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．(2) 估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20,70)的概率；
11．(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．
(3) 已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．(样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)
12．(2023·阜阳一模)小明每天去学校有A，B两条路线可供选择，小明上学时随机地选择一条路线．如果小明上学时选择A路线，那么放学时选择A路线的概率为0.6；如果小明上学时选择B路线，那么放学时选择A路线的概率为0.8．(1) 求小明放学时选择A路线的概率；
　　　　设A1＝“上学时选择A路线”，B1＝“上学时选择B路线”，A2＝“放学时选择A路线”，则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥．根据题意得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8，由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7，所以小明放学时选择A路线的概率为0.7．
12．(2023·阜阳一模)小明每天去学校有A，B两条路线可供选择，小明上学时随机地选择一条路线．如果小明上学时选择A路线，那么放学时选择A路线的概率为0.6；如果小明上学时选择B路线，那么放学时选择A路线的概率为0.8．(2) 已知小明放学时选择A路线的条件下，求小明上学时选择B路线的概率．
B组　提升练13．(2023·曲靖一模)若a，b∈{1,2,3}，则在“函数f(x)＝ln(x2＋ax＋b)的定义域为R”的条件下，“函数g(x)＝ax－b－x为奇函数”的概率为(　　)
　　　　用所有的有序数对(a，b)表示满足a，b∈{1,2,3}的结果，则所有的情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9个样本点．