2025高考数学一轮复习第6章数列03第27讲等比数列中的基本问题（课件+解析试卷）

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1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　)A．14B．12C．6D．3
2．(2021·全国甲卷)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
　　　　若a1＝－1，q＝1，则Sn＝na1＝－n，{Sn}是递减数列，不满足充分性；若{Sn}是递增数列，则q≠0，且Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0恒成立，则a1＞0，q＞0，满足必要性．故甲是乙的必要条件但不是充分条件．
3．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2λ＋(λ－3)·2n(λ为常数)，则λ＝(　　)A．－2B．－1C．1D．2
4．(人A选必二P31练习3)在递增等比数列{an}中，a1a3＝36，a2＋a4＝60，则a1＝_____，q＝_____．
1．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项公式an＝________，其推导方法是累乘法．2．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝_______；当q≠1时，Sn＝_____________________，其推导方法是错位相减法．
3．等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，t，r，k∈N*)(1)若m＋n＝p＋t＝2r，则am·an＝ap·at＝a．(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．(4)等比数列的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．
4．常用结论(1)等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，其中c≠0，q≠0．(2)等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A，其中A≠0，q≠1,0．
等比数列的基本量及常见性质
　　　(1)(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　)A．120　　　　　B．85　　　　　　　C．－85　　　　　　D．－120
　　　(2)(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝_______．
等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．
变式　(1)(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(　　)A．3B．18C．54D．152
变式　(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＞0，若S6＝8，S18＝38，则S24＝(　　)A．27B．45C．65D．73
　　　　在等比数列{an}中，S6＝8，则S6，S12－S6，S18－S12，S24－S18成等比数列，则有S6(S18－S12)＝(S12－S6)2，即8(38－S12)＝(S12－8)2，解得S12＝20或－12(舍去)．又由(S12－S6)(S24－S18)＝(S18－S12)2，得12(S24－38)＝(38－20)2，解得S24＝65．
等比数列的两种常用判定方法
变式　设数列{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，数列{cn}满足cn＝an＋bn，n∈N*．(1)若an＝2n，bn＝3n，是否存在常数k，使得数列{cn＋1－kcn}为等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
变式　设数列{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，数列{cn}满足cn＝an＋bn，n∈N*．(2)求证：{cn}不是等比数列．
　　　(2023·广东一模)已知等比数列{an}的各项均为正数，且满足0＜a1＜1，a17a18＋1＜a17＋a18＜2，记Tn＝a1a2…an，则使得Tn＞1的最小正数n为(　　)A．36B．35C．34D．33
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
1．(2023·吉林二调)已知{an}是等比数列，下列数列一定是等比数列的是(　　)A．{kan}(k∈R)B．{an＋an＋1}C．{an＋1}D．{an＋an＋1＋an＋2}
2．(2023·石家庄一模)已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，a1＝4，S3＝84，则lg2(a1a2a3…a8)的值为(　　)A．70B．72C．74D．76
A组　巩固练1．(2023·保定一模)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3a13＝144，a5＝6，则a2＝(　　)A．6B．4C．3D．2
2．(2021·全国甲卷文)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　)A．7B．8C．9D．10
　　　　因为Sn为等比数列{an}的前n项和，S2＝4，S4＝6，由等比数列的性质，可知S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，所以4,2，S6－6成等比数列，所以22＝4(S6－6)，解得S6＝7．
3．(2023·全国甲卷理)已知在正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}的前n项和，S5＝5S3－4，则S4＝(　　)A．7B．9C．15D．30
4．已知正项等比数列{an}满足a3－a1＝2，则a4＋a3的最小值是(　　)A．4B．9C．6D．8
5．(多选)已知数列{an}为等比数列，则下列结论正确的是(　　　)A．数列{|an|}为等比数列B．若a4＝3，a12＝27，则a8＝±9C．若a1＜a2＜a3，则{an}是递增数列D．若该数列的前n项和Sn＝3n＋r，则r＝－1
对于B，由于a8＝a4q4，故a4与a8符号相同，故B错误；对于C，a1＜a2＜a3，则a1＜q·a1＜q2·a1，若a1＞0，则q＞1，若a1＜0，则0＜q＜1，故{an}是递增数列，故C正确；对于D，Sn＝3n＋r，则r＝－1，故D正确．
因为a6＞1,0＜a7＜1，所以Tn的最大值为T6，故C正确．
8．(2023·全国甲卷文)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为______．
9．在等比数列{an}中，a1＋a2＝2，a5＋a6＝4，则a9＋a10＝_____．
　　　　设等比数列{an}的公比为q，则a5＋a6＝(a1＋a2)q4，即4＝2q4，解得q4＝2，故a9＋a10＝(a5＋a6)q4＝4×2＝8．
10．(2023·武汉模拟)已知在正项等比数列{an}中，a3＝8，a5＝32，则使不等式Sn＞511成立的正整数n的最小值为_____．
因为Sn＞511，所以2n＋1＞513，当n＝8时，2n＋1＝29＝512，当n＝9时，2n＋1＝210＝1 024，所以正整数n的最小值为9，所以使不等式Sn＞511成立的正整数n的最小值为9．
11．记数列{an}的前n项和为Sn．已知Sn＋1＝3Sn＋2n＋4，且a1＝4．(1) 求证：{an＋1}是等比数列；
　　　　已知Sn＋1＝3Sn＋2n＋4①，则Sn＝3Sn－1＋2(n－1)＋4，n≥2②，由①－②可得an＋1＝3an＋2(n≥2)．又a1＝4，则S2＝4＋a2＝3×4＋6，即a2＝14，则a2＝3a1＋2，故an＋1＝3an＋2(n∈N*)，所以an＋1＋1＝3(an＋1)．又a1＋1＝5，即{an＋1}是以5为首项，3为公比的等比数列．
11．记数列{an}的前n项和为Sn．已知Sn＋1＝3Sn＋2n＋4，且a1＝4．(2) 求Sn．
12．(2023·合肥期末)已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，等比数列{bn}满足b2＝a1－1，b3＝a2－1．(1) 求数列{bn}的通项公式；
12．(2023·合肥期末)已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，等比数列{bn}满足b2＝a1－1，b3＝a2－1．(2) 记{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，求满足Tn＝Sm(4＜n≤10)的所有数对(n，m)．
因为m为正整数，4＜n≤10，所以当n＝6时，m＝23－1＝7，当n＝8时，m＝24－1＝15，当n＝10时，m＝25－1＝31，故满足条件的所有数对为(6,7)，(8,15)，(10,31)．
B组　创新练13．(2023·沈阳三模)(多选)已知等比数列{an}的首项a1＞1，公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，函数f(x)＝x(x＋a1)(x＋a2)…(x＋a7)，若f′(0)＝1，则下列结论正确的是(　　　)A．{lgan}为递增的等差数列B．0＜q＜1D．使得Tn＞1成立的n的最大值为6
因为a1a2…a7＝1，且a1＞a2＞…＞a7＞0，所以a1a2…a6＞1,0＜a7＜1，所以使得Tn＞1成立的n的最大值为6，故D正确．
14．(2023·泰安二模)若m，n是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同零点，且m，n，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq＝______．
　　　　因为m，n是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同零点，所以m＋n＝p，mn＝q．因为p＞0，q＞0，所以m＞0，n＞0．因为m，n，－2这三个数适当排序后成等比数列，所以－2为m，n的等比中项，所以mn＝4①．
15．(2023·南山期末)如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形(图(1)