2023-2024学年江苏省高邮市高一（下）学情调研数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省高邮市高一（下）学情调研数学试卷（3月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m=−e1+ke2(k∈R)与向量n=ke1−4e2(k∈R)共线，则( )
A. k=0B. k=±2C. k=2D. k=−2
2.下列命题中正确的( )
A. 若|a|=|b|，则a=bB. 若a=b，则a/​/b
C. 若|a|>|b|，则a>bD. a/​/b，b/​/c，则a/​/c
3.函数f(x)=sinx2csx2csx的最小正周期是( )
A. π2B. πC. 2πD. 4π
4.已知a=1+tan18°1−tan18∘，b=2cs233°−1，c= 1+cs56°2，则( )
A. a>c>bB. c>a>bC. a>b>cD. b>a>c
5.已知cs(α+β)=13,cs(α−β)=15，则lg2(−tanαtanβ)=( )
A. 12B. −12C. 2D. −2
6.已知△ABC的外接圆圆心为O，AO=12(AB+AC)，|OA|=|AB|，则AC在BC上的投影向量为( )
A. − 34BCB. 34BCC. −34BCD. 34BC
7.公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec(角)表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc(角)表示，则 3csc20°−sec20°=( )
A. 3B. 2 3C. 4D. 8
8.已知函数f(x)=sin(2x+π3)，g(x)=sin2x，若当−π12≤x1−π12)时，总有f(x1)−f(x2)>g(x1)−g(x2)，则实数t的最大值为( )
A. π6B. 5π12C. π2D. π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 在正三角形ABC中，AB，BC的夹角为60°
B. 若|a|=1，b≠0且a/​/b，则a=±b|b|
C. 若a⋅b=b⋅c且b≠0，则a=c
D. 对于非零向量a，b，“a⋅b>0”是“a与b的夹角为锐角”的充分不必要条件
10.下列命题正确的是( )
A. sin20°cs10°+cs160°sin10°=12B. (1+tan18°)(1+tan27°)=2
C. cs78+sin18sin60cs18=12D. sin10°cs20°sin30°cs40°=18
11.如图，已知直线l1//l2，点B是l1，l2之间的一个定点，点B到l1，l2的距离分别为1和2，点A是直线l2上的点，点C是直线l1上的点，且|BC+BA|=|AC|，平面内一点G满足：GA+GB+GC=0，则( )
A. △ABC为直角三角形B. CG=13(CA+CB)
C. △GAB面积的最小值是43D. |BG|≥1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，正八边形ABCDEFGH，其外接圆O半径为2，则OA⋅BC= ______．
13.若α为第一象限角，且cs(α+π4)= 55，则csα= ______．
14.已知平面单位向量e1,e2满足|2e1−e2|≤ 3，设a=e1+e2,b=3e1+e2，向量a,b的夹角为θ，则cs2θ的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且CFCB=34，设AB=a，AD=b．
(1)试用基底a，b表示AE，AF，EF；
(2)若G为长方形ABCD所在平面内一点，且AG=32a−12b，求证：E，G，F三点不能构成三角形．
16.(本小题15分)
已知平行四边形ABCD中，AB=4，BC=2，∠DAB=120°，点E是线段BC的中点．
(Ⅰ)求AB⋅AD的值；
(Ⅱ)若AF=AE+λAD，且BD⊥AF，求λ的值．
17.(本小题15分)
(1)已知csα=2 55,sinβ=−3 1010且0<α<π2及−π2<β<0，求α+β的值；
(2)已知tanα=3，且sin(2α+β)=2sinβ，求tan(α+β)的值．
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，P为线段BC上靠近点B的三等分点，O是线段AP上一点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设AE=λAB，AF=μAC．
(1)若λ=13，μ=12，求AOOP的值；
(2)若点O为线段AP的中点，求λ+μ的最小值．
19.(本小题17分)
如果存在实数对(a,b)使函数f(x)=asinx+bcsx，(x∈R)，那么我们就称函数f(x)为实数对(a,b)的“正余弦生成函数”，实数对(a,b)为函数f(x)的“生成数对”；
(1)求函数f(x)=4csx2sin(x2+π6)−1的“生成数对”；
(2)若实数对(k,−1)的“正余弦生成函数”g(x)在x=x0处取最大值，其中2(3)已知实数对(− 3,1)为函数h(x)=tcs(x+π3)的“生成数对”，试问：是否存在正实数m使得函数y=h(2x−π3)−m2h(x+π6)+m2的最大值为4？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵e1，e2是两个不共线的向量，向量m=−e1+ke2(k∈R)与向量n=ke1−4e2(k∈R)共线，
∴存在实数x，使得m=xn，
即−e1+ke2=kxe1−4xe2，
可得−1=kxk=−4x，解得k=±2．
故选：B．
根据向量共线定理即可求解结论．
本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：若|a|=|b|，但两个向量的方向不确定，故a=b不一定成立，故A不正确；
若a=b，则两个向量同向，故a/​/b成立，故B正确；
向量无法比较大小，故C中a>b不正确；
D中若b=0，不一定成立，故D不正确；
故选：B．
根据向量相等的定义可判断A与B的真假，根据向量不能比较大小，可判断C的真假；根据0向量判断D的真假．
本题以命题的真假判断为载体考查了向量的基本概念，其中熟练掌握向量相等的定义及向量的性质是解答的关键．
3.【答案】B
【解析】解：f(x)=12sinxcsx=14sin2x，则T=2π2=π．
故选：B．
根据正弦函数的周期即可得．
本题考查三角函数的周期，二倍角公式，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为a=1+tan18°1−tan18∘=tan45°+tan18°1−tan45∘tan18∘=tan(45°+18°)=tan63°>tan45°=1，
b=2cs233°−1=cs66°c= 1+cs56°2> 1+cs60°2=cs30°= 32∈(12,1)，
则a>c>b．
故选：A．
根据三角函数公式化简，再根据函数的单调性判断即可．
本题考查了三角函数化简，三角函数性质的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为cs(α+β)=13，cs(α−β)=15，
所以csαcsβ−sinαsinβ=13csαcsβ+sinαsinβ=15，解得csαcsβ=415sinαsinβ=−115，
所以tanαtanβ=sinαsinβcsαcsβ=−14．
lg2(−tanαtanβ)=lg214=lg22−2=−2．
故选：D．
先利用两角和差公式展开已知等式，再利用同角函数关系即可得．
本题考查两角和差公式，考查对数运算，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为AO=12(AB+AC)，所以△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图，
又|AB|=|AO|，所以△ABO为等边三角形，则∠ACB=30°，
故|AC|=|BC|cs30°，
所以向量AC在向量BC上的投影向量为AC⋅BC|BC|⋅BC|BC|=|AC|⋅|BC|cs30°|BC|⋅BC|BC|
=|BC|2cs230°|BC|⋅BC|BC|=34BC．
故选：D．
根据条件作图可得△ABO为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可．
本题考查投影向量的计算，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：依题意，20°角可视为某直角三角形的内角，由锐角三角函数定义及已知得csc20°=1sin20∘,sec20°=1cs20∘，
所以 3csc20°−sec20°= 3sin20°−1cs20∘= 3cs20°−sin20°sin20°cs20°=2sin(60°−20°)12sin40∘=4．
故选：C．
根据给定的定义，利用锐角三角函数的定义转化为角的正余弦，再利用二倍角公式、辅助角公式求解作答．
本题主要考查了和差角公式，辅助角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：设F(x)=g(x)−f(x)=sin2x−sin(2x+π3)=sin2x−(12sin2x+ 32cs2x)=sin(2x−π3)，
因为当−π12≤x1−π12)时，总有f(x1)−f(x2)>g(x1)−g(x2)，
即总有g(x1)−f(x1)所以当x∈[−π12,t]时F(x)为增函数，所以2t−π3≤π2，解得t≤5π12，
所以−π12即t的最大值为5π12．
故选：B．
根据题意构造函数F(x)=g(x)−f(x)，从而得出函数F(x)在x∈[−π12,t]上的单调性，由正弦函数的性质可求得t的范围，进而可得结论．
本题主要考查三角函数的性质，考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A，在正三角形ABC中，AB，BC的夹角为120°，
即选项A错误；
对于选项B，
若|a|=1，b≠0且a/​/b，
则a=±b|b|，
即选项B正确；
对于选项C，若a⋅b=b⋅c且b≠0，
则b⋅(a−c)=0，
则a=c或b⊥(a−c)，
即选项C错误；
对于选项D，
对于非零向量a，b，若“a⋅b>0”，
则“a与b的夹角为锐角或a与b的夹角为零”，
若“a与b的夹角为锐角”，
则“a⋅b>0”，
即对于非零向量a，b，“a⋅b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，
即选项D错误．
故选：ACD．
由平面向量的夹角及单位向量，结合平面向量数量积的运算逐一判断即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，sin20°cs10°+cs160°sin10°=sin20°cs10°−cs20°sin10°=sin(20°−10°)=sin10°≠12，故错误；
对于B，(1+tan18°)(1+tan27°)
=1+(tan18°+tan27°)+tan18°tan27°
=1+tan(18°+27°)(1−tan18°tan27°)+tan18°tan27°
=1+(1−tan18°tan27°)+tan18°tan27°
=2，故正确；
对于C，原式左边=cs(60°+18°)+sin18°sin60°cs18∘=cs60°cs18°−sin60°sin18°+sin18°sin60°cs18∘=cs60°cs18°cs18∘=cs60°=12=右边，故正确；
对于D，原式左边=2cs10°sin10°cs20°×12×cs40°2cs10∘
=12sin20°cs20°cs40°2cs10∘
=14sin40°cs40°2cs10∘
=18sin80°2cs10∘
=18cs10°2cs10∘
=116≠右边，故错误．
故选：BC．
利用三角函数恒等变换即可逐项求解．
本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，因为|BC+BA|=|AC|=|BC−BA|，所以|BC+BA|2=|BC−BA|2，
即BC2+BA2+2BC⋅BA=BC2+BA2−2BC⋅BA，所以BC⋅BA=0，即BC⊥BA，则BC⊥BA，所以△ABC为直角三角形，故A正确；
对于B，取AB中点F，连接GF，GA，GB，GC，如图，
由GA+GB+GC=0，得GF=12(GA+GB)=−12GC，因此点G是△ABC的重心，
则CG=23CF=23×12(CA+CB)=13(CA+CB)，故B正确；
对于C，过B点作BD⊥l2，BE⊥l1，则B，D，E共线，BD=2，BE=1，
设∠ABD=θ(0<θ<π2)，而BC⊥BA，则∠EBC=π2−θ，
所以AB=BDcsθ=2csθ，BC=BEsinθ=1sinθ，
又点G为△ABC的重心，所以△GAB的面积S△GAB=13S△CAB=13×22sinθcsθ=23sin2θ≥23，
当且仅当2θ=π2，即θ=π4时取等号，故C错误；
对于D，与选项B同理可得BG=13(BA+BC)，所以|BG|2=19(BA+BC)2=19(BA2+2BA⋅BC+BC2)=19(4cs2θ+1sin2θ)
=19(5+4sin2θcs2θ+cs2θsin2θ)≥19(5+2 4sin2θcs2θ⋅cs2θsin2θ)=1，当且仅当4sin2θcs2θ=cs2θsin2θ，即tanθ= 22时取等号，则|BG|≥1，故D正确．
故选：ABD．
利用数量积的运算法则与三角形重心的向量表示判断A，B；设∠BAD=θ，利用三角形面积公式结合正弦函数性质判断C；利用数量积的运算法则，结合基本不等式判断D．
本题考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，属于中档题．
12.【答案】−2 2
【解析】解：建立平面直角坐标系如图：
可得OA=(2,0)，B( 2, 2)，C(0,2)，
则BC=(− 2,2− 2)，
则OA⋅BC=2×(− 2)+0×(2− 2)=−2 2．
故答案为：−2 2．
通过建立坐标系，求出数量积的向量，然后求解向量的数量积即可．
本题考查平面向量的数量积的求法，坐标运算的应用，是基础题．
13.【答案】3 1010
【解析】解：因为α为第一象限角，即2kπ<α<2kπ+π2，k∈Z，
所以2kπ+π4<α+π4<2kπ+3π4，k∈Z.所以sin(α+π4)>0，
因为cs(α+π4)= 55，所以sin(α+π4)= 1−cs2(α+π4)= 1−( 55)2=2 55，
所以csα=cs[(α+π4)−π4]=cs(α+π4)csπ4+sin(α+π4)sinπ4= 55× 22+2 55× 22=3 1010．
故答案为：3 1010．
利用凑角及同角三角函数的平方关系，结合两角差的余弦公式即可求解．
本题考查两角和差公式，属于中档题．
14.【答案】1213
【解析】解：已知平面单位向量e1,e2满足|2e1−e2|≤ 3，
则4e12−4e1⋅e2+e22≤3，
即e1⋅e2≥12，
又|a|2=e12+e22+2e1⋅e2=2+2e1⋅e2，|b|2=9e12+6e1⋅e2+e22=10+6e1⋅e2，
a⋅b=3e12+4e1⋅e2+e22=4+4e1⋅e2，
设t=e1⋅e2，则t≥12，
又向量a,b的夹角为θ，
则cs2θ=(a⋅b)2|a|2|b|2=(4+4t)2(2+2t)(10+6t)=4(1+t)3t+5=43−89t+15，
当t=12时，cs2θ取最小值1213，
故答案为：1213．
先由已知条件求出e1⋅e2≥12，设t=e1⋅e2，则t≥12，然后结合平面向量的夹角的运算可得：cs2θ=(a⋅b)2|a|2|b|2=(4+4t)2(2+2t)(10+6t)=4(1+t)3t+5=43−89t+15，然后求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的夹角的运算，属基础题．
15.【答案】解：(1)因为长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且CFCB=34，
所以AE=AD+DE=AD+12DC=AD+12AB=12a+b；
AF=AB+BF=AB+14BC=AB+14AD=a+14b；
EF=AF−AE=(a+14b)−(12a+b)=12a−34b．
(2)证明：由(1)知，AE=12a+b，
因为AG=32a−12b，
所以EG=AG−AE=(32a−12b)−(12a+b)=a−32b，
所以EG=2EF，即EG//2EF，
又因为EG与EF有公共端点E，所以E，G，F三点共线．
所以E，G，F三点不能构成三角形．
【解析】(1)由平面向量的线性运算计算即可求得；
(2)由平面向量的线性运算和平面共线向量定理可得EG//2EF，从而得到E，G，F三点共线，从而即可证得．
本题考查平面向量的线性运算和利用平面共线向量定理证明三点共线，属于中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)已知平行四边形ABCD中，AB=4，BC=2，∠DAB=120°，点E是线段BC的中点，
则AB⋅AD=|AB||AD|cs∠DAB=4×2×(−12)=−4；
(Ⅱ)因为BD=AD−AB，
所以AF=AE+λAD=AB+12AD+λAD=AB+(λ+12)AD，
因为BD⊥AF，
所以BD⋅AF=0
所以(λ+12)AD2−AB2+[1−(λ+12)]AB⋅AD=0，
即4(λ+12)−16+(12−λ)⋅(−4)=0，
解得：λ=2．
【解析】(Ⅰ)结合平面向量数量积的运算求解；
(Ⅱ)由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属中档题．
17.【答案】解：(1)∵0<α<π2，−π2<β<0，csα=2 55，sinβ=−3 1010，
∴sinα= 1−cs2α= 55，csβ= 1−sin2β= 1010，
∴sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ= 55× 1010+2 55×(−3 1010)=− 22，
又0<α<π2及−π2<β<0，所以α+β∈(−π2,π2)，故α+β=−π4；
(2)∵sin(2α+β)=2sinβ，∴sin[α+(α+β)]=2sin[(α+β)−α]，
∴sinαcs(α+β)+csαsin(α+β)=2sin(α+β)csα−2cs(α+β)sinα，
∴sin(α+β)csα=3cs(α+β)sinα，
∵tanα=3，∴sinα≠0，csα≠0，
∴sin(α+β)≠0，cs(α+β)≠0，∴tan(α+β)=3tanα，∴tan(α+β)=9．
【解析】(1)求出sin(α+β)的函数值即可；(2)将已知等式变形为sin[α+(α+β)]=2sin[(α+β)−α]，化简变形即可．
本题考查两角和差公式，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为点E，F，O共线，故可设EO=xEF，
则AO−AE=x(AF−AE)，即AO=(1−x)AE+xAF，
因为λ=13，μ=12，所以AO=13(1−x)AB+12xAC，
因为P为线段BC上靠近点B的三等分点，所以AP=23AB+13AC，
因为点A，P，O共线，故可设AO=yAP，
即(13−x3)AB+x2AC=23yAB+13yAC，
因为AB,AC不共线，所以13−x3=23yx2=13y，
解得x=14y=38，所以AOOP=35；
(2)因为AO=(1−x)AE+xAF，AE=λAB，AF=μAC(0所以AO=(1−x)λAE+xμAC，
因为P为线段BC上靠近点B的三等分点，O为线段AP的中点，
所以AO=12AP=12(13AC+23AB)=13AB+16AC，
因为AB,AC不共线，所以(1−x)λ=13xμ=16，解得λ=13(1−x)μ=16x，
所以λ+μ=13(1−x)+16x=13(22−2x+12x)
=13×12(22−2x+12x)(2−2x+2x)=16(2+4x2−2x+2−2x2x+1)≥3+2 26，
当且仅当x= 2−1时，等号成立，
所以λ+μ的最小值为3+2 26．
【解析】(1)由点E，F，O共线可设EO=xEF，由点A，P，O共线可设AO=yAP，由平面向量的线性运算计算可得(13−x3)AB+x2AC=23yAB+13yAC，由平面向量基本定理建立方程即可求得x，y，从而即可求得．
(2)由平面向量的线性运算和平面向量基本定理可得λ+μ=13(1−x)+16x，利用基本不等式即可求得最值．
本题考查平面向量的线性运算与平面向量基本定理的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)=4csx2sin(x2+π6)−1=4csx2(sinx2csπ6+csx2sinπ6)−1
=2 3sinx2csx2+2cs2x2−1= 3sinx+csx，
所以函数f(x)的“生成数对”为( 3,1)；
(2)g(x)=ksinx−csx= k2+1sin(x−φ)，其中tanφ=1k，
所以g(x)在x=x0处取最大值，
所以x0−φ=2nπ+π2,n∈Z，
所以x0=2nπ+π2+φ,n∈Z，
所以tanx0=tan(2nπ+π2+φ)=−1tanϕ=−k，
所以tan2x0=2tanx01−tan2x0=2kk2−1=2k−1k，
因为2所以32所以tan2x0∈(34,43)；
(3)由题知h(x)=tcs(x+π3)=t(12csx− 32sinx)，
所以− 32t=− 3t2=1，解得t=2，
所以函数y=h(2x−π3)−m2h(x+π6)+m2，
可得y=2cs2x+msinx+m2=2(1−2sin2x)+msinx+m2
=−4sin2x+msinx+m2+2=−4(sinx−m8)2+1716m2+2，
①当m8∈(0,1]时，即m∈(0,8]；1716m2+2=4，解得m=±4 3417(舍负)，
②当m8∈(1,+∞)时，即m∈(8,+∞)；m2+m−2=4，解得m=−3(舍去)，m=2(舍去)，
综上所述，m=4 3417．
【解析】(1)由两角和的正弦公式及二倍角公式可得f(x)的解析式，即求出函数的“生成数对”；
(2)由实数对，可得g(x)的最大值，即此时x0的值，进而求出tan2x0的求法范围；
(3)由实数对可得函数y的解析式，再由函数的最大值为4，可得m的值．
本题考查三角函数的生成数对的求法及三角函数的性质的应用，属于中档题．