2024年江苏省镇江市扬中市中考数学二模试卷（含答案）

这是一份2024年江苏省镇江市扬中市中考数学二模试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1011，则原数中“0”的个数为( )
A. 4B. 6C. 7D. 10
2.下列计算正确的是( )
A. 3x−2x=1B. x⋅x=x2C. 2x+2x=2x2D. (−a3)2=−a4
3.图1所示的几何体是由8个大小相同的小正方体组合而成，现要得到一个几何体，它的主视图与左视图如图2，则至多还能拿走这样的小正方体( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈.倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈.将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上.如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上.问木杆长多少尺？”(说明：1丈=10尺)设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是( )
A. 102+(x−1)2=x2B. (x+1)2=x2+102
C. x2=(x−1)2+12D. (x+1)2=x2+12
5.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的.如图是由”七巧板”组成的边长为5cm的正方形，若在正方形区域内随意取一点，则该点取到阴影部分的概率为( )
A. 16B. 17C. 18D. 27
6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是平面上一点，AD=2，CD=4，则BD的最大值为( )
A. 2 2
B. 2 3
C. 3 2
D. 2 5
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.−8的相反数是______．
8.计算：(−2)×(−12)= ______．
9.分解因式：x2y+xy= ______．
10.计算：(x−1)(x−2)= ______．
11.使式子 4−x有意义的x的取值范围是______．
12.圆锥底面圆的半径为1，母线长为3，则它的侧面积等于______．
13.一组数据2，3，1，3，5的中位数是______．
14.反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−2,−4)，则在每一个象限内，y随x的增大而______(填“增大”或“减小”)．
15.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值
范围是______．
16.如图，点D在以AC为直径的⊙O上，如果∠BDC=20°，那么∠ACB=______度．
17.如图，已知菱形ABCD的边长为9，∠ABC=60°，点E在对角线AC上且AE=3，点F在边CD上，且∠BEF=120°，则DF= ______．
18.“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”.如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397.如图2，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算：|−23|+3−1−20+sin30°；
(2)化简：m2−mm−1−m+1．
20.(本小题10分)
(1)解方程：1x=x3x−2；
(2)解不等式2x+13−3x−26≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．
21.(本小题6分)
小明和小莉做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色.现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体．
(1)小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是______；
(2)小莉随机取了两个烧杯，滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率．
22.(本小题6分)
如图，E、F、G、H为菱形ABCD各边中点．
(1)求证：四边形EFGH为矩形；
(2)若S四边形EFGH=6，则S菱形ABCD= ______．
23.(本小题6分)
材料一：
国内生产总值(GrssDmesticPrduct，简称GDP)，是一个国家(或地区)所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果.GDP是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标，人均GDP的计算公式是：人均GDP=GDP总量年平均人口．
材料二：
扬中市近五年经济和人口发展情况统计表：(数据来源于百度)
根据以上材料回答下列问题：
(1)填空：材料二中a= ______；
(2)扬中市近五年(2019−2023)人均GDP的众数是______；
(3)2024年年平均人口与2023年基本持平，预计2024年GDP总量比2023年增长10%，求2024年扬中市人均GDP是多少？
24.(本小题6分)
如图①，扬中塔(英语：YangZℎngTwer)又称扬中新广播电视发射塔，昵称扬中小蛮腰.位于扬中市滨江公园内，距离市区1.2km，与镇江新区隔江相望，是扬中热门景点之一．

如图②，扬中塔AB建在背水坡坡比为1： 33，坡长CD=6米，塔底B距离C点10米的环岛江堤上，小明在距离D点275米的E处测得塔顶A的仰角为30°，已知堤坝顶部BC与地面DE平行，求扬中塔AB的高度(参考数据 3≈1.7，结果保留整数)．
25.(本小题8分)
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，以A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示平面直角坐标系，点C的坐标为(6,4)，反比例函数y=kx(x>0)的图象与矩形的边CD、BC分别交于点E、F，与对角线AC交于点G．
(1)若点G与点O重合，则k= ______；
(2)连接EF，求证：EF//BD；
(3)当OGGC=12时，求k的值．
26.(本小题8分)
如图①，四边形ABCD是菱形，⊙O是△ABC的外接圆．
(1)求证：圆心O在直线BD上；
(2)如图②，当AB=AC时，求证：CD与⊙O相切；
(3)当⊙O与菱形ABCD的边有五个公共点时，直接写出∠ABC的取值范围．
27.(本小题10分)
中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为S= 14[a2b2−(a2+b2−c22)2](秦九韶公式)．
古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积.如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S= p(p−a)(p−b)(p−c)(海伦公式)．
请完成下列问题：
(1)一个三角形的三边长依次为5，5，6，则该三角形的面积为______；
(2)请由秦九韶公式推导出海伦公式；
(3)若三角形的周长为24cm，一边长为6cm，求此三角形的面积的最大值，并判断此时三角形的形状．
28.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx+c(a>0)经过点A(0,−3)、B(3,0)和D(t,0)．
(1)用含a的代数式表示b与t；
(2)若直线x=2与此抛物线交于点P，OP平分∠APB，求点P坐标；
(3)若以O为位似中心，将△ABD放大后得△A′B′D′，其中A′(0,−6)，B′(6,0)，抛物线C2过A′、B′、D′．
①直接用a表示抛物线C2的表达式；
②抛物线C2与x轴的交点为D′，过点O的直线交x轴下方的抛物线C1，C2分别为M、M′，若△M′BB′∽△MDD′，直接写出点M的坐标．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.A
5.C
6.C
7.8
8.1
9.xy(x+1)
10.x2−3x+2
11.x≤4
12.3π
13.3
14.减小
15.m<1
16.70
17.5
18.7
19.解：(1)原式=23+13−1+12
=1−1+12
=12；
(2)原式=m2−mm−1−m(m−1)m−1+m−1m−1
=m2−m−m2+m+m−1m−1
=m−1m−1
=1．
20.解：(1)原方程去分母得：3x−2=x2，
整理得：x2−3x+2=0，
解得：x1=2，x2=1，
经检验，x1=2，x2=1都是原方程的解，
故原方程的解为x1=2，x2=1；
(2)2x+13−3x−26≤1，
去分母得：2(2x+1)−(3x−2)≤6，
去括号得：4x+2−3x+2≤6，
移项，合并同类项得：x≤2，
数轴表示如下图所示：
．
21.(1)14；
(2)把分别倒入蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液的4个烧杯分别记为A、B、C、D，列表如下：
由表知，共有12种等可能的结果，其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果，
∴一杯变红、一杯变蓝的概率为412=13．
22.(1)证明：连接AC、BD，
∵H、G为AD、CD中点，
∴HG=12AC，HG//AC，
同理可得：EF=12AC，EF//AC，
∴EF//HG，EF=HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∵H、E为AD、AB中点，
∴EH//BD，
∴EH⊥HG，
∴平行四边形EFGH为矩形；
(2)12．
23.(1)587.76；
(2)15.4；
(3)根据题意得：
20×(1+10%)=22(万元)，
答：2024年扬中市人均GDP是22万元．
24.解：延长AB交ED于点F，过点C作CG⊥ED，垂足为G．
∵CB//ED，CG⊥ED，AB⊥BC，
∴四边形BCGF是矩形．
∴BC=GF=10，BF=CG．
由背水坡坡比为1： 33，设CG=x米，DG= 33x米，
在Rt△CDG中，
∵x2+( 33x)2=62，
∴CG=BF=x=3 3米，DG=3米．
∴EF=ED+DG+GF=275+3+10=288(米)．
在Rt△AEF中，
∵tan∠AEF=AFEF，即tan30°=AF288，
∴AF=tan30°⋅288= 33×288=96 3(米)．
∴AB=AF−BF=96 3−3 3=93 3≈158.1≈158 (米)．
答：扬中塔AB的高度约为158米．
25.(1)6；
(2)证明：由题意得E(k4,4)、F(6,k6 )，
∴CE= 6−k4；CF=4−k6；
∴CECD=6−k46=24−k24，
∴CFCB=4−k64=24−k24=CECD，
而∠BCD=∠FCE，
∴△BCD∽△FCE，
∴∠DBC=∠EFC，
∴EF//BD；
(3)解：如图，当 OGGC=12时，
分别过点O、G作x轴的垂线，垂足分别为点M、N，
则△AOM∽△AGN，
∴AMAN=OMGN=AOAG=34，
∴AN=4，GN=83，
∴G(4,83)，
∴k=323．
26.(1)证明：连接BD，OA，OC，如图，

∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴OA=OC，
∴点O在AC的垂直平分线上，
∴圆心O在直线BD上；
(2)证明：连接OC，如图，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴△ADC为等边三角形，
∴∠DCA=60°，
∵AC=BC，
∴∠ACO=∠BCO=12∠ACB=30°，
∴∠OCD=∠ACO+∠DCA=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切；
(3)由(2)知：当△ABC为等边三角形，即∠ABC=60°时，CD与⊙O相切，
同理，AD与⊙O相切，
∴当∠ABC=60°时，⊙O与菱形ABCD的边有三个公共点．
∵当∠ABC=90°时，菱形ABCD为正方形，此时正方形ABCD内接于⊙O，
∴当∠ABC=90°时，⊙O与菱形ABCD的边有四个公共点．
∴当60°<∠ABC<90°时，⊙O与菱形ABCD的边有五个公共点．
当⊙O与菱形ABCD的边有五个公共点时，∠ABC的取值范围为：60°<∠ABC<90°．
27.(1)设a=5，b=5，c=6，
∴p=5+5+62=8，S= 8×(8−5)×(8−5)×(8−6)=12；
(2)S= 14[a2b2−(a2+b2−c22)2]
= 14(ab+a2+b2−c22)(ab−a2+b2−c22)
= 116(2ab+a2+b2−c2)(2ab−a2−b2+c2)
= 116(a+b+c)(a+b−c)(c−a+b)(c+a−b)
= p(p−a)(p−b)(p−c)，
∵p=a+b+c2，
∴2p=a+b+c，
S= 116×2p×(2p−2c)×(2p−2a)×(2p−2b)
= p(p−a)(p−b)(p−c)；
(3)设一边长为x cm，三角形的面积为Scm2，则另一边为(18−x)cm，
∴p=12，
∴S2=12×(12−6)×(12−x)×[12−(18−x)]=−72(x−9)2+648，
∴当x=9时，S有最大值为18 2cm2，
28.解：(1)把A(0,−3)代入y=ax2+bx+c中，得c=−3，
∴y=ax2+bx−3，
把B(3,0)代入y=ax2+bx−3中，
得9a+3b−3=0，
解得b=1−3a，
∴y=ax2+(1−3a)x−3，
把D(t,0)代入y=ax2+(1−3a)x−3中，
得at2+(1−3a)t−3=0，
解得t1=−1a或t2=3，
∵B(3,0)和D(t,0)，
∴t=−1a；
(2)①如图，当P点比A点高时，

过O点作OE⊥PB于E点，OF⊥PA于F点，
∵OP平分∠APB，
∴OE=OF，
∵OP=OP，
∴Rt△POF≌Rt△POE(HL)，
∴∠POF=∠POE，
∵OA=OB=3，OF=OE，
∴Rt△AOF≌Rt△BOE(HL)，
∴∠AOF=∠BOE，
∴∠AOF+∠POF=∠BOE+∠POE，
即∠AOP=∠BOP，
∴OP平分∠AOB，
过P点作PM⊥OA，PN⊥OB，
则PM=PN，
∵xP=2，
∴PM=2，
∴PN=2，
∴P(2,−2)；
②如图，当P点比A点低时，

过O点作OE⊥PB于E点，OF⊥PA于F点，
∵OP平分∠APB，
∴OE=OF，
又∵OB=OA=3，
∴Rt△OBE≌Rt△OAF(HL)，
∴∠BOE=∠AOF，
∵∠BOE+∠AOE=90°，
∴∠AOF+∠AOE=90°，
即∠FOE=90°，
四边形OFPE中，∠FOE=∠OFP=∠OEP=90°，
∴∠FPE=90°，
设P(2,m)，连接AB，
由AB2=AP2+PB2=OA2+OB2，
得22+(m+3)2+(3−2)2+(0−m)2=32+32，
整理得m2+3m−2=0，
解得m1=−3+ 172或m2=−3+ 172(舍去)，
∴P(2,−3+ 172)，
综上，点P坐标为(2,−2)或(2,−3+ 172)；
(3)①∵A(0,−3)，B(3,0)，D(−1a,0)，
∴OA=3，OB=3，OD=1a，
∵A′(0,−6)，B′(6,0)，
∴OA′=6，OB′=6，
∴位似比k=OA′OA=OB′OB=63=2，
∴OD′OD=2，
∴OD′=2OD=2a，
∴D′(−2a,0)，
设抛物线C2的表达式为y=n(x+2a)(x−6)，
将A(0,−6)代入得−12an=−6，
解得n=a2，
∴抛物线C2的表达式为y=a2(x+2a)(x−6)，
化成一般式为y=12ax2+(1−3a)x−6，
∴抛物线C2的表达式为y=a2(x+2a)(x−6)或y=12ax2+(1−3a)x−6；
②如图，

∵△M′BB′∽△MDD′，
∴M′BMD=BB′DD′=6−3−1a−(−2a)=31a=3a，且∠M′BB′=∠MDD′，
∴∠M′BO=∠MDO，
又∵BODO=31a=3a，
∴BODO=M′BMD，
∴△M′BO∽△MDO，
∴∠M′OB=∠MOD，
又∵∠M′OB+∠MOD=180°，
∴∠M′OB=∠MOD=90°，
∴M点和M′都在y轴上，
又∵M点在抛物线C1上，
∴M点与A点重合，
∴M(0,−3)．
年份
2019
2020
2021
2022
2023
GDP总量(单位：亿)
487.8
489.6
550
a
630
年平均人口(单位：万人)
31.5
31.6
31.6
31.6
b
人均GDP(单位：万元/人)
15.4
15.4
17.4
18.6
20
A
B
C
D
A
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)