高二开学摸底考试卷+（必修二+数列）2024-2025学年高二数学同步精品课堂（湘教版2019选择性必修第一册）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分 测试范围：必修二+数列）
一．选择题（共8小题）
1．已知复数是纯虚数，则实数
A．B．C．0D．1
2．端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是：，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为
A．B．C．D．
3．已知向量，，若，则
A．B．C．3D．5
4．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
5．在等差数列中，若，，则的值为
A．9B．12C．16D．17
6．已知栽种某绿色植物的花盆可近似看成圆台，上底面圆直径约为9厘米，下底面圆直径约为18厘米，母线长约为7.5厘米．现有20000个该种花盆，假定每一个花盆装满营养土，请问共需要营养土约为（参考数据：
A．17.02立方米B．17.23立方米C．17.80立方米D．18.22立方米
7．已知，，则的值为
A．B．C．D．
8．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，，，，过点作球的截面，截面面积最小值为
A．B．C．D．
二．多选题（共3小题）
9．下列各式中值为1的是
A．B．
C．D．
10．若，，（B），则事件与的关系错误是
A．事件与互斥B．事件与对立
C．事件与相互独立D．事件与既互斥又独立
11．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，，则
A．
B．
C．
D．若，，，则
三．填空题（共3小题）
12．如图，在矩形中，，与的交点为，为边上任意点（包含端点），则的最大值为 ．
13．已知满足，若是递增数列，则实数的取值范围是 ．
14．已知的边，且，则的面积的最大值为 ．
四．解答题（共5小题）
15．已知点，，．
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若向量，求实数的值．
16．在中，，，的对边分别为，，，若满足，．
（1）若，求的大小；
（2）若满足，求及的值．
17．某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战．点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球．若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜．设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为．假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；
（2）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率．
18．等差数列中，，，
（1）求该等差数列的通项公式
（2）求该等差数列的前项和．
19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为的中点，平面，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．