2024-2025学年浙江省金砖联盟高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省金砖联盟高二（上）期中数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在空间直角坐标系中，点(−2,6,3)关于x轴的对称点的坐标为( )
A. (−2,6,−3)B. (−2,−6,−3)C. (2,6,−3)D. (2,6,3)
2.已知平面α，β，直线m满足m⊄β，α⊥β，则“m⊥α”是“m//β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知复数z满足2z−−z=3+6i，则z=( )
A. 3−2iB. 3+2iC. −3+2iD. −3−2i
4.已知a>0，b>0，两直线l1：(a−1)x−2y−1=0，l2：x−3by+2=0，若l1⊥l2，则2a+3b的最小值为( )
A. 12B. 20C. 26D. 32
5.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3，从甲罐，乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件B=“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是( )
A. 事件A发生的概率为112B. 事件A，B相互独立
C. 事件A，B是互斥事件D. 事件A∪B发生的概率为23
6.当圆C：x2+y2−4x−60=0截直线l：mx−3y−m+9=0所得的弦长最短时，实数m=( )
A. −1B. − 2C. 1D. 2
7.八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边ABCDEFGH，其中|OA|=1给出下列结论，其中正确的结论为( )
A. OA与OH的夹角为π3
B. OA+OD=OB+OC
C. |OA−OC|= 2|DH|
D. OA在OD上的投影向量为− 22e(其中e为与OD同向的单位向量)
8.已知锐角△ABC，角A，B，C的对边分别a，b，c，且acsC+ccsA=2bcsB，则ca的取值范围是( )
A. (12,2)B. ( 33,4 33)C. ( 3,2 3)D. ( 32,2 3)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知甲组数据为：2，3，4，4，6，8，8，乙组数据为：1，4，4，7，9，则下列说法正确的是( )
A. 这两组数据的第80百分位数相等
B. 这两组数据的极差相等
C. 这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，均值都不变
D. 甲组数据比乙组数据分散
10.已知椭圆C：x24+y22=1，点F1，F2为椭圆两焦点，点P为椭圆C上的动点，过点P作∠F1PF2的外角平分线l，过椭圆的焦点作直线l的垂线，垂足是Q.现有一条长度为4的线段MN在直线m：x−y+4=0上运动，且始终满足∠MQN为锐角，则( )
A. 点Q的轨迹方程是x2+y2=4
B. 点Q有可能在以MN为直径的圆上
C. 点Q不可能在直线m上
D. 线段MN的中点的纵坐标的取值范围是(−∞,0)∪(4,+∞)
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )
A. 直线AC1⊥平面A1BD
B. 三棱锥B−ADP的外接球的表面积为9π4
C. 直线DP与直线AC1所成角的正弦值为 39
D. 若D1Q= 62，那么Q点的轨迹长度为 24π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线l的一个方向向量n=(3,− 3)，则l的倾斜角大小为______．
13.中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分)，现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中平面A1CD1与平面AB1C1所成角的余弦值为______．
14.设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查.随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)．
(1)求a的值；
(2)求这100户居民问卷评分的中位数；
(3)若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在[65,70)和[70,75)内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取4户进行专项调查，求这4户居民中恰有1户的评分在[65,70)内的概率．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinC+csinAcsB+ 3bsinAsinC=0．
(1)求角B的大小；
(2)若a=3，b=7，角B的平分线交AC于点D，求线段BD的长．
17.(本小题15分)
如图在四棱锥A−BCDE中，CD//BE，CD=1，CB⊥BE，AE=BE=AB=BC=2，AD= 7，Q是AE的中点．
(Ⅰ)求证：DQ//平面ABC；
(Ⅱ)在棱AD上是否存在点M，使得直线EM与平面ACD所成角的正弦值为3 37，若存在，求AMMD的值，若不存在，说明理由．
18.(本小题17分)
如图，已知圆M：x2−10x+y2+16=0，Q(4,0)，O为坐标原点，过点Q作直线l交圆M于点A、B，过点A、B分别作圆M的切线，两条切线相交于点P．
(1)若直线l的斜率为1，求|AB|的值；
(2)求点P的轨迹方程；
(3)若两条切线PA、PB与轴y分别交于点S、T，求|ST|的最小值．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 32，经过点F1且倾斜角为θ(0