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新高考数学一轮复习讲义第2章 §2.2 函数的单调性与最值（2份打包，原卷版+含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习讲义第2章 §2.2 函数的单调性与最值（2份打包，原卷版+含解析），文件包含新高考数学一轮复习讲义第2章§22函数的单调性与最值原卷版doc、新高考数学一轮复习讲义第2章§22函数的单调性与最值含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.掌握函数单调性的简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
常用结论
1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,fx)的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)因为f(－3)(2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．( )
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( )
(4)函数y＝eq \f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
教材改编题
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝x2－1 B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝－x＋2
2．y＝eq \f(x－1,x－2)在[3,4]上的最大值为( )
A．2 B.eq \f(3,2) C.eq \f(5,2) D．4
3．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的x的取值范围是________．
题型一 确定函数的单调性
命题点1 函数单调性的判断
例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝2x＋2cs x D．y＝eq \r(x2＋x－2)
命题点2 利用定义证明函数的单调性
例2 试讨论函数f(x)＝eq \f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
思维升华 确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
跟踪训练1 (1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C．[1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪[1，＋∞)
(2)函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3 已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln eq \r(2))，b＝ SKIPIF 1 < 0 ，c＝ SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系是( )
A．cC．a命题点2 求函数的最值
例4 函数f(x)＝eq \f(x2－2,x)－ln(4－x)在x∈[1,3]上的最大值为________．
命题点3 解函数不等式
例5 已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－lg2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是________．
命题点4 求参数的取值范围
例6 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2ax，x≥1，,ax－1，x<1))是R上的增函数，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) C．(0,1) D．(0,1]
思维升华
(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
跟踪训练2 (1)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋4x－3，x≤2，,lg2x，x>2，))则满足不等式f(2x－1)<2的解集是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2)))
(2)若函数f(x)＝eq \f(x＋a－3,x－1)在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
课时精练
1．下列函数在R上为增函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝x
C．y＝－eq \r(x) D．y＝eq \f(1,x)
2．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[0,2] D．[0，＋∞)
3．若函数f(x)＝eq \f(2x2＋3,1＋x2)，则f(x)的值域为( )
A．(－∞，3] B．(2,3)
C．(2,3] D．[3，＋∞)
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－e－x，x>0，,－x2，x≤0，))若a＝50.01，b＝lg32，c＝lg20.9，则有( )
A．f(a)>f(b)>f(c)
B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(c)>f(b)
D．f(c)>f(a)>f(b)
5．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln x＋2x，x>0，,\f(2,1－x)，x≤0，))则下列结论正确的是( )
A．f(x)在R上为增函数
B．f(e)>f(2)
C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0
D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]
6．(多选)已知函数f(x)＝x－eq \f(a,x)(a≠0)，下列说法正确的是( )
A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增
B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．当a>0时，f(x)的值域为R
7．函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是________．
8．已知命题p：“若f(x)9．已知函数f(x)＝x|x－4|.
(1)把f(x)写成分段函数，并在直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；
(2)写出函数f(x)的单调递减区间．
10．已知函数f(x)＝a－eq \f(2,2x＋1).
(1)求f(0)的值；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论．
11．若函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(0,2] D．[2，＋∞)
12．设函数f(x)＝x2 022－eq \f(1,|x|)＋5，则f(x)的单调递增区间为________，不等式f(x－1)<5的解集为________．
13．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>－1，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)＋x是增函数
B．y＝f(x)＋x是减函数
C．y＝f(x)是增函数
D．y＝f(x)是减函数
14．(2022·贵阳模拟)若a＝ln 3，b＝lg 5，c＝lg126，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．a>c>b
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I
当x1当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈D，都有f(x)≤M；
(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M
(1)∀x∈D，都有f(x)≥M；
(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M
结论
M为f(x)的最大值
M为f(x)的最小值
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.掌握函数单调性的简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
常用结论
1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,fx)的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)因为f(－3)
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( )
(4)函数y＝eq \f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
教材改编题
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝x2－1 B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝－x＋2
2．y＝eq \f(x－1,x－2)在[3,4]上的最大值为( )
A．2 B.eq \f(3,2) C.eq \f(5,2) D．4
3．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的x的取值范围是________．
题型一 确定函数的单调性
命题点1 函数单调性的判断
例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝2x＋2cs x D．y＝eq \r(x2＋x－2)
命题点2 利用定义证明函数的单调性
例2 试讨论函数f(x)＝eq \f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
思维升华 确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
跟踪训练1 (1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C．[1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪[1，＋∞)
(2)函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3 已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln eq \r(2))，b＝ SKIPIF 1 < 0 ，c＝ SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系是( )
A．c
例4 函数f(x)＝eq \f(x2－2,x)－ln(4－x)在x∈[1,3]上的最大值为________．
命题点3 解函数不等式
例5 已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－lg2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是________．
命题点4 求参数的取值范围
例6 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2ax，x≥1，,ax－1，x<1))是R上的增函数，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) C．(0,1) D．(0,1]
思维升华
(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
跟踪训练2 (1)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋4x－3，x≤2，,lg2x，x>2，))则满足不等式f(2x－1)<2的解集是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2)))
(2)若函数f(x)＝eq \f(x＋a－3,x－1)在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
课时精练
1．下列函数在R上为增函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝x
C．y＝－eq \r(x) D．y＝eq \f(1,x)
2．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[0,2] D．[0，＋∞)
3．若函数f(x)＝eq \f(2x2＋3,1＋x2)，则f(x)的值域为( )
A．(－∞，3] B．(2,3)
C．(2,3] D．[3，＋∞)
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－e－x，x>0，,－x2，x≤0，))若a＝50.01，b＝lg32，c＝lg20.9，则有( )
A．f(a)>f(b)>f(c)
B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(c)>f(b)
D．f(c)>f(a)>f(b)
5．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln x＋2x，x>0，,\f(2,1－x)，x≤0，))则下列结论正确的是( )
A．f(x)在R上为增函数
B．f(e)>f(2)
C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0
D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]
6．(多选)已知函数f(x)＝x－eq \f(a,x)(a≠0)，下列说法正确的是( )
A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增
B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．当a>0时，f(x)的值域为R
7．函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是________．
8．已知命题p：“若f(x)
(1)把f(x)写成分段函数，并在直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；
(2)写出函数f(x)的单调递减区间．
10．已知函数f(x)＝a－eq \f(2,2x＋1).
(1)求f(0)的值；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论．
11．若函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(0,2] D．[2，＋∞)
12．设函数f(x)＝x2 022－eq \f(1,|x|)＋5，则f(x)的单调递增区间为________，不等式f(x－1)<5的解集为________．
13．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>－1，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)＋x是增函数
B．y＝f(x)＋x是减函数
C．y＝f(x)是增函数
D．y＝f(x)是减函数
14．(2022·贵阳模拟)若a＝ln 3，b＝lg 5，c＝lg126，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．a>c>b
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I
当x1
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈D，都有f(x)≤M；
(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M
(1)∀x∈D，都有f(x)≥M；
(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M
结论
M为f(x)的最大值
M为f(x)的最小值
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