新高考数学一轮复习过关训练第07课 函数的单调性与最值（2份打包，原卷版+解析版）

第7课　函数的单调性与最值

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

【基础巩固】

1．（2022·全国·高三专题练习）函数单调递减区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，．由，得．

因为函数是关于的递减函数，且时，为增函数，所以为减函数，

所以函数的单调减区间是．

故选：C.

2．（2021·山东临沂·高三阶段练习）“”是“函数在区间上为增函数”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】的图象如图所示，要想函数在区间上为增函数，必须满足，因为是的子集，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件.

故选：A

3．（2022·湖北·二模）已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由得定义域为，

，故为偶函数，

而，在上单调递增，

故在上单调递增，

则可化为，得

解得

故选：D

4．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）定义在上的偶函数在上单调递减，且，若不等式的解集为，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为为偶函数，，在单调递减，若，则，不等式可转化为，所以，解得：，所以且，即.

故选:B.

5．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当时，，

当且仅当时，等号成立；

即当时，函数的最小值为，

当时，，

要使得函数的最小值为，则满足，解得，

即实数的取值范围是.

故选：A.

6．（2022·山东济宁·三模）若函数为偶函数，对任意的，且，都有，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】解：由对，且，都有，

所以函数在上递减，

又函数为偶函数，

所以函数关于对称，

所以，

又，

因为，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以，

即.

故选：A.

7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，记，若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

则

令，由，所以

令

因为在区间上是增函数，所以在也是增函数

所以，则

即

故选：B

8．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数在区间上递减，且当时，有，则实数t的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：函数的对称轴为直线，

因为函数在区间上递减，

所以.

所以，，

所以.

因为，所以.

故选：B

9．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）函数均是定义在R上的单调递增函数，且，则下列各函数一定在R上单调递增的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】取，故，设，

则，

在上，，故在上为减函数，故A错误.

而，设，则，

在上，，故在上为减函数，故D错误.

设，，

任意，则，

因为均是定义在R上的单调递增函数，

故，

所以即，故是R上的单调递增函数.

而

因为是定义在R上的单调递增函数，

故，且，

所以即，故是R上的单调递增函数.

故BC正确.

故选：BC

10．（多选）（2022·山东·青岛二中高三期末）记的导函数为，若对任意的正数都成立，则下列不等式中成立的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】解：因为，所以，则，所以在单调递增，所以，即，所以，故A错误；同理，即，所以，故B正确；因为，所以，构造函数，则，所以在单调递减，所以，即，化简得，故C正确；同理，即，化简得，故D错误.

故选：BC.

11．（2022·江苏省平潮高级中学高三开学考试）函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调减区间是________．

【答案】和．

【解析】根据题意，

，故当时，函数在区间(0，1)上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在区间上单调递增，

在（-1，0）上单调递减．

故答案为：和（-1，0）．

12．（2022·浙江省普陀中学高三阶段练习）已知奇函数是定义在[－1，1]上的增函数，且，则的取值范围为___________.

【答案】

【解析】因为奇函数在[－1，1]上是增函数，所以有，可化为，要使该不等式成立，有，解得

，所以的取值范围为.

故答案为：.

13．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数在上的最小值为1，则的值为________.

【答案】1

【解析】由题意得，

当时，在上单调递减，

∴的最小值为，，

所以不成立；

当时，，在单调递减，在上单调递增，

∴的最小值为，符合题意.

故.

故答案为：1.

14．（2022·广东·模拟预测）已知，且，则之间的大小关系是__________.（用“”连接）

【答案】

【解析】解：函数的定义域为，

因为，

所以函数为偶函数，

因为函数在上递增，

所以函数在上递增，

则，

因为，所以，

，

所以，

所以，

即.

故答案为：.

15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且

(1)确定函数的解析式；

(2)用定义证明在上是增函数；

(3)解不等式．

【解】(1)解：因为函数，恒成立，

所以，则，

此时，所以，

解得，

所以；

(2)证明：设，

则，

，

，且，则，

则，即，

所以函数是增函数．

(3)，

，

是定义在上的增函数，

，得，

所以不等式的解集为．

16．（2022·全国·高三专题练习）设函数（），满足，且对任意实数x均有.

(1)求的解析式；

(2)当时，若是单调函数，求实数k的取值范围.

【解】(1)∵，∴.即，

因为任意实数x，恒成立，则

且，∴，，

所以.

(2)因为，

设，要使在上单调，只需要

或或或，

解得或，所以实数k的取值范围.

17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．

(1)若在区间上不单调，求的取值范围；

(2)求函数在区间上的最大值；

(3)若对于任意的，存在，使得，求的取值范围．

【解】(1)解：函数的对称轴为，

因为已知在区间，上不单调，

则，解得，

故的范围为；

(2)，（1），

当时，即时，最大值为，

当时，即时，最大值为（1），

(3)解法一当时，即时，（2），

（2），，

所以；

当时，即时，，，

，

，

综上，，

故，所以，

解法二：，

当且仅当时等号成立，

又，

.

【素养提升】

1．（2022·江苏南通·高三期末）已知函数，则不等式f(x)＋f(2x－1)＞0的解集是（       ）

A．(1，＋∞） B． C． D．(－∞，1)

【答案】B

【解析】的定义域满足，由，

所以在上恒成立. 所以的定义域为

则

所以，即为奇函数.

设，由上可知为奇函数.

当时，，均为增函数，则在上为增函数.

所以在上为增函数.

又为奇函数，则在上为增函数，且

所以在上为增函数.

又在上为增函数，在上为减函数

所以在上为增函数，故在上为增函数

由不等式，即

所以，则

故选：B

2．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，得且函数关于点对称．

由对任意，，均有，

可知函数在上单调递增．

又因为函数的定义域为R，

所以函数在R上单调递增．

因为a，b为关于x的方程的两个解，

所以，解得，

且，即．

又，

令，则，

则由，得，

所以．

综上，t 的取值范围是.

故选：D．

3．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围______．

【答案】

【解析】，

因为在上为增函数，

所以在上为增函数，

因为，

所以可化为，

因为在上为增函数，

所以对恒成立，

所以对恒成立，

因为，所以，当且仅当，即时取等号，

所以，即实数的取值范围，

故答案为：

4．（2022·浙江温州·高三开学考试）已知函数，若存在实数b，使得对任意的都有，则实数a的最大值是__________.

【答案】

【解析】令，

当时，，

在单调递减，在单调递增，

，，的值域为，

由可知，

不存在实数b，使得对任意的都有

当时，

在单调递减，在 和单调递增，

，，的值域为

由可知，

不存在实数b，使得对任意的都有

当时，

在单调递减，在单调递增，

，，的值域为

由

整理得，解之得或

又有，则，故实数a的最大值是

当时，不影响实数a的最大值，不再讨论.

故答案为：