湖北省十堰市2024年中考数学一模试卷附答案

这是一份湖北省十堰市2024年中考数学一模试卷附答案，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．-
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．正方形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．平行四边形
3．下列各式计算正确的是（ ）
A．2﹣3＝B．|﹣1.7|＝1.7﹣
C．＝±D．＝﹣1
4．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（ ）
A．大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次
B．连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上
C．连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上
D．通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
5．如图，是一副三角尺拼成的图案，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（ ）
A．22°B．32°C．34°D．44°
7．如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ）
A．B．C．D．
8．方程＝的解为（ ）
A．x＝﹣2B．x＝2C．x＝﹣4D．x＝4
9．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
10．已知二次函数y＝﹣x2+2cx+c的图象经过点A（a，c），B（b，c），且满足0＜a+b＜2．当﹣1≤x≤1时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（ ）
A．n＝﹣3m﹣4B．m＝﹣3n﹣4C．n＝m2+mD．m＝n2+n
二、填空题（共5题，每小题3分，共15分）
11．分解因式：x2y﹣y3= ．
12．一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，写出一个符合条件的y的值为 ．
13．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 ．
14．如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是 ．
15．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，将△ADE沿AE翻折至△AD'E，延长ED'，交BC于点F．若AB＝15，DE＝10，则tan∠EFC的值是 ．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．计算：．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．连结BF．求证：四边形ADBF是矩形．
18．某工厂计划购买甲、乙两种型号机器人，让它们协助人们进行垃圾分类．已知用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元，求甲、乙型号机器人的单价．
19．4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）．数据整理如图表（单位：分）：
学成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出统计表中a，b，c的值；
（2）若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；
（3）从平均数、中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
20．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝8，BC＝5．
（1）若OA＝8，求k的值：
（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．
21．如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD.
（1）求证：CD是⊙O的切线.
（2）若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半径.
22．（10分）某超市在“元宵节”来临前夕，购进一种品牌元宵，每盒进价是20元，超市规定每盒售价不得少于25元，根据以往销售经验发现；当售价定为每盒25元时，每天可卖出250盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种元宵的每盒售价不得高于38元，如果超市想要每天获得不低于2000元的利润，那么超市每天至少销售元宵多少盒？
23．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．
（1）理解：
①若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为 ；
证明：
②如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；
（2）探究：如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
24．如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】A
10．【答案】D
11．【答案】 y（x+y）（x﹣y）
12．【答案】﹣3（答案不唯一）．
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】．
16．【答案】解：
＝﹣2+4﹣1+2
＝3．
17．【答案】证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
又∵D是BC的中点，
∴AF＝BD＝DC，
∴四边形ADBF是平行四边形，
在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴平行四边形ADBF是矩形．
18．【答案】解：设甲型机器人每台x万元，
根据题意，可得：，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意，
140﹣60＝80（元），
答：甲型机器人的单价为60万元/台；乙型机器人的单价为80万元/台．
19．【答案】（1）解：由扇形统计图可得，
a＝8，b＝1﹣20%＝80%，
由频数分布直方图可得，
八年级成绩中5分有3人，6分有2人，7分有5人，8分有4人，9分有3人，10分有3人，
故中位数是c＝（7+8）÷2＝7.5，
综上所述：a＝8，b＝80%，c＝7.5；
（2）解：600×85%＝510（人），
答：估计该校八年级学生成绩合格的人数大约为510人；
（3）解：根据中位数可知七年级学生成绩好于八年级学生成绩．
20．【答案】（1）解：作CE⊥AB，垂足为E，
∵AC＝BC，AB＝8，
∴AE＝BE＝4．
在Rt△BCE中，BC＝5，BE＝4，
∴CE＝＝＝3，
∵OA＝8，
∴C点的坐标为：（5，4），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝5×4＝20，
（2）解：设A点的坐标为（m，0），
∵BD＝BC＝5，AB＝8，
∴AD＝3，
∴D，C两点的坐标分别为：（m，3），（m﹣3，4）．
∵点C，D都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴3m＝4（m﹣3），
∴m＝12，
∴C点的坐标为：（9，4），
∴OC＝＝．
21．【答案】（1）证明：连接OD，如图
∵AB为⊙O的直径，
∴，
∴，
∵OA=OD，
∴，
∵∠BDC=∠BAD，
∴，
∴，
∴，
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：∵，
∴，
∵△ABD是直角三角形，
∴，
∵，，
∴△ACD∽△DCB，
∴，
∵，
∴，
∴，
在直角△CDO中，设⊙O的半径为，则
，
∴，
解得：；
∴⊙O的半径为；
22．【答案】（1）解：根据题意，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500；
（2）解：每天销售的利润P＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000
＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∴当x＝35时，P取得最大值，最大值为2250，
答：当每盒售价定为35元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是2250元；
（3）解：根据题意得，﹣10（x﹣35）2+2250＝2000，
解得：x＝30或x＝40，
∴当30≤x≤40时，每天的销售利润不低于2000元，
又∵x≤38，
∴30≤x≤38，
在y＝﹣10x+500中，y随x的增大而减小，
∴当x＝38时，y最小值＝﹣10×38+500＝120，
即超市每天至少销售元宵120盒．
23．【答案】（1）解：①90°或270°
②证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，
∴∠BAM+∠BCN＝90°，
即∠BAD+∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形；
（2）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下：
∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∵AB＝BC，
∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示：
∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°
∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，
∴△BFD是等边三角形，
∴BF＝BD＝DF，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADB+∠BDC＝30°，
∴∠BFA+∠ADB＝30°，
∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∴∠FAD＝90°，
∴AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+CD2＝BD2．
24．【答案】（1） 解：直线y＝﹣x+5经过点B，C，
∴当x＝0时，可得y＝5，即C的坐标为（0，5）．
当y＝0时，可得x＝5，即B的坐标为（5，0）．
∴．
解得．
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）解：△APC为直角三角形，理由如下：
∵解方程x2﹣6x+5＝0，则x1＝1，x2＝5．
∴A（1，0），B（5，0）．
∵抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴直线l为x＝3，
∴△APB为等腰三角形．
∵C的坐标为（0，5），B的坐标为（5，0），
∴OB＝CO＝5，即∠ABP＝45°．
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠ABP＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°．
∴∠APC＝180°﹣90°＝90°．
∴△APC为直角三角形；
（3）解：如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A＝M1C，
∴∠ACM1＝∠CAM1．
∴∠AM1B＝2∠ACB．
∵△ANB为等腰直角三角形．
∴AH＝BH＝NH＝2．
∴N（3，2）．
设AC的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．
∵C（0，5），A（1，0），
∴．
解得b＝5，k＝﹣5．
∴AC的函数解析式为y＝﹣5x+5，
设EM1的函数解析式为y＝x+n，
∵点E的坐标为（，）．
∴＝×+n，
解得：n＝．
∴EM1的函数解析式为y＝x+．
∵．
解得．
∴M1的坐标为（，）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，
设M2（a，﹣a+5），
则有：3＝，解得a＝．
∴﹣a+5＝．
∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1（，），M2（，）．七年级
八年级
平均数
7.55
7.55
中位数
8
c
众数
a
7
合格率
b
85%