2025年新高考数学高频考点+重点题型专题15利用导数研究函数单调性、极值、最值含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题15利用导数研究函数单调性、极值、最值含解析答案，共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
2．设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A．函数有极大值 和极小值
B．函数有极大值 和极小值
C．函数有极大值 和极小值
D．函数有极大值 和极小值
3．已知函数在处取得极大值10，则的值为（ ）
A．B．－2C．－2或D．2或
4．已知函数，则（ ）
A．的单调递减区间为B．的极小值点为1
C．的极大值为D．的最小值为
5．若是函数的极值点，则的极小值为．
A．B．C．D．
6．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0)B．C．(0,1)D．(0，＋∞)
7．已知函数f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.718 28…)，则f(x)的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
8．函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
9．下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
10．“”是“函数在 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．已知函数的导函数为，且函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
13．设函数，若的极小值为，则（ ）
A．B．C．D．2
14．已知函数的图象如图所示，则等于（ ）
A．B．C．D．
15．设函数是奇函数的导函数，.当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
16．设函数，若函数存在最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
17．若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
18．已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．是函数的极小值点
B．是函数的极小值点
C．函数在区间上单调递增
D．函数在处切线的斜率小于零
19．如图是函数的部分图像，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
20．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的周期为B．的图象关于对称
C．的最大值为D．在区间在上单调递减
21．已知函数，是的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在单调递增
B．当时，在处的切线为x轴
C．当时，在上无零点
D．当时，在存在唯一极小值点
22．已知函数的定义域为，则（ ）
A．为奇函数
B．在上单调递增
C．有且仅有4个极值点
D．恰有4个极大值点
23．下面比较大小正确的有（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
24．已知，那么单调递增区间 ；单调递减区间 .
25．设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
26．若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是
27．设函数 若，则的最小值为 ； 若有最小值，则实数的取值范围是 ．
28．若函数有最小值，则的一个正整数取值可以为 .
29．若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是 .
四、解答题
30．设函数为的导函数，求的单调区间．
31．已知函数，讨论的单调性；
32．已知函数，，证明：函数在上单调递减.
33．已知函数，，．
(1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
34．已知函数．，讨论函数的单调区间；
35．讨论函数在定义域内极值点的个数.
36．设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围.
37．已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值．
38．已知函数（其中e是自然对数的底数）．
Ⅰ当时，求的最小值；
Ⅱ当时，求在上的最小值．
39．已知函数，讨论的单调性；
40．已知，若，讨论的单调性.
41．已知函数
（1）求函数的极值；
（2）若函数在上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．
42．设.
(1)在上单调，求a的取值范围；
(2)已知在处取得极小值，求a的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
2．D
【详解】则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减
3．A
【分析】求导得，由题意得，即可解得a，b的两组值，当时，检验可得在处取得极小值，不满足题意，当时，检验符合题意，即可得结果.
【详解】由题可知：
所以，即，
解得或，
当时，可知
令，所以或
令，所以
所以函数在递增，在递减
所以可知函数在处取极小值，故不符合题意
同理当时，检验满足题意，
所以，
故选：A
【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，易错点在于需检验两种情况下，在处取得极大值还是极小值，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
4．C
【分析】对函数求导，即可得到的单调区间与极值点，即可判断．
【详解】解：因为，所以，令，则，
所以在上单调递减，
因为，所以当时，，即；当时，，即，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
故的极大值点为1，，即，不存在最小值．
故选：C．
5．A
【详解】由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
6．B
【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，）．
故选B．
7．C
【解析】利用特殊值代入，可排除A、D,根据导数判断函数的单调性可排除B，即可得出结果.
【详解】函数，当时，，故排除A、D，又，当时，，所以在为减函数，故排除B,
故选：C.
【点睛】本题考查函数的图象、利用导数研究函数的单调性，识别函数图象问题，往往可根据特殊值或特殊自变量所在区间利用排除法解答，属于中档题.
8．A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
9．B
【分析】A中根据正弦函数的单调性即可判断；
B中，利用导数判定在上是增函数；
C中，利用导数判定在上是减函数，在，上是增函数；
D中，利用导数判定在上是增函数，在上是减函数．
【详解】解：对于A，是周期函数，当，即时，函数是减函数，不满足题意；
对于B，，，
当时，，在上是增函数；
对于C，，，
当时，，是减函数；
，时，，是增函数；不满足题意；
对于D，，，
当时，，是增函数，
当时，，是减函数，不满足题意．
综上，在上为增函数的是B．
故选：B．
10．A
【分析】由函数在上单调递增有恒成立，进而转化为不等式恒成立问题，求 的范围，即可判断条件间的充分、必要性.
【详解】若在 上单调递增，则对任意的 恒成立，
∴有对任意的恒成立，即 ，而当且仅当 时等号成立，则.
∴“”是“函数在 上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A．
11．C
【分析】利用“导函数符号为正，则原函数单调递增，导函数符号为负，则原函数单调递减”分析求解即可.
【详解】由图可知函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，当时，，且.
对于函数，当时，，
当时，，当时，，
且当时，，当时，，显然选项C符合，
故选：C.
12．A
【分析】设，利用导数求得函数的单调性，以及结合图象中的函数单调性，即可求得的大小关系，得到答案.
【详解】设，可得，
由图象可知，函数先递增，再递减，最后递增，且当时，取得极小值，
所以函数既有极大值，也有极小值，
所以有两个根，即，
所以，可得且，
又由，可得，
由，可得，
所以，所以.
故选：A.
13．B
【分析】由函数的导数求极值点，将极值点代入可得方程，进而求得值.
【详解】由已知得：，令，有，且上递减，上递增，
∴的极小值为，即，得.
故选：B.
14．C
【解析】先利用函数的零点，计算b、c的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x，xz，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可
【详解】由图可知，的3个根为0,1,2，
，
解得，
又由图可知，为函数f (x)的两个极值点，
的两个根为，
，
，
故选：C
【点睛】本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法.
15．B
【分析】令，由已知条件可得，所以在上单调递增，由和为奇函数，可得为奇函数，且，从而由的单调性可得答案
【详解】由，可得，令，则，故在上单调递增.
因为，所以，
又因为为奇函数，所以为奇函数，所以，且在区间上，单调递增.
所以使得，即成立的的取值范围是.
故选：B
16．C
【分析】时，无最大值，因此时，有最大值，利用导数求解．
【详解】显然时，无最大值，
时，存在最大值，，
当时，，递增，当时，，递减，
所以时，取得极大值也是最大值．，
因此要有最大值，必须满足，所以．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的最大值问题．解题时要注意的最大值是在定义域内的最大值，对分段函数来讲，每一段的函数值都不能比最大值大．因此本题在时求得最大值，除这个最大值取得到，即以外还有必须满足，否则函数无最大值．
17．BCD
【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
18．BC
【解析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.
【详解】由图象得时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，
故是函数的极小值点.
对选项：显然，故错误.
故选：BC．
【点睛】本题考查由导数涵图象研究函数性质，属基础题.
19．AC
【分析】由函数为偶函数，得到必为奇函数，排除B选项；根据时，，可排除D选项，对于A、C项，得出函数的解析式，结合三角函数的性质和导数，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数的图像关于轴对称，所以函数为偶函数，
又由为奇函数，则函数必为奇函数，排除B选项；
当时，，可得，排除D选项.
对于A中，函数为偶函数，且当时，，
当或时，可得，
又由，
当时，，所以函数在轴右侧先单调递增，且，
所以函数在附近存在单调递减区间，选项A符合；
对于C中，函数为偶函数，
当时，，当或时，可得，
又由，
当时，，所以函数在轴右侧先单调递增，且，
所以函数在附近存在单调递减区间，选项C符合.
故选：AC.
【点睛】方法点拨：利用三角函数的性质，可以得到函数的零点以及导函数在某区间上的符号，以此来检验对应函数的图像是否符合题意.
20．ACD
【分析】通过可判断A；通过可判断B；通过导数判断函数的单调性求出最值可判断C；结合C可判断D.
【详解】由于，故A正确；
由于，
即的图象不关于对称，故B错误；
当时，，函数单调递增；
当或时，，函数单调递减；
所以，故C正确；
由C项分析可知，在上单调递减，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：通过理解函数解析式所具有的特征来解决函数的周期性以及对称性的问题，通过导数结合三角函数不等式的解法是解决单调性以及最值的关键.
21．ACD
【分析】当时，，求导判断函数的单调性可知A选项正确；由导数的几何意义求得函数在处的切线方程为：，故B选项错误；当时，判断导函数的单调性及特殊值，进而判断导函数的零点问题可判断C选项；当时，判断导函数在区间的正负，得到原函数的单调性，最后判断函数在区间上有极小值，从而判断D选项.
【详解】当时，，则，
因为当时，，
所以恒成立，所以函数在单调递增，故A选项正确；
，，
故在处的切线方程为：，故B选项错误；
当时，，所以，
令，则，
所以在上单调递增，
即在上单调递增，
所以，所以在上无零点，故C选项正确；
当时，在单调递增，
又，
而，
由零点存在定理得，存在唯一，使得，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上单调递增，
从而在存在唯一极小值点，故D选项正确；
故选：ACD.
【点睛】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
22．BC
【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数，
利用导数分析函数的单调性与极值.
【详解】因为的定义域为，定义域不关于原点对称，
所以是非奇非偶函数，
又，
当时，，则在上单调递增，
显然，令，得，
分别作出，y在区间上的图象，
由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，
故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点，
故选： BC．
23．BC
【分析】根据题意可构造函数，利用导数判断该函数的单调性，运用函数的单调性即可求解.
【详解】根据题意可构造函数，则，
由于函数在上单调递增，且，
从而，当时，，则函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
又，，
所以，，，
即，，，，
故，选项A错；
，选项B正确；
，选项C正确；
，选项D错.
故选：BC.
24．
【解析】求导分析导函数的正负即可求原函数的单调区间.
【详解】因为,故.
令可得,即.
又为增函数,故当时,,单调递减；
当时, ,单调递增.
故答案为：(1) ；(2)
【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调区间的问题,需要根据题意确定函数的极值点,再根据导函数的正负区间求解.属于基础题.
25．
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
26．
【详解】解：由题意得，f′（x）=3x2-12 在区间（k-1，k+1）上至少有一个实数根，
而f′（x）=3x2-12的根为±2，区间（k-1，k+1）的长度为2，
故区间（k-1，k+1）内必须含有2或-2．
∴k-1＜2＜k+1或k-1＜-2＜k+1，∴1＜k＜3 或-3＜k＜-1
27．
【分析】(1)将a=1代入函数，分析每段函数的最小值，则的最小值可求；(2)讨论a0时函数的单调性和最小值即可求解
【详解】(1)当a=1,,=()=()>0,1>x>ln2;()，则当x∈时，f′(x)0.
所以f(x)在x＝2处取得极小值.
若a≤，则当x∈(0，2)时，x－2