2025年新高考数学高频考点+重点题型专题16利用导数研究方程与不等式含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题16利用导数研究方程与不等式含解析答案，共56页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．函数的定义域为，部分对应值如下表，其导函数的图像如下图，
当时，函数的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
4．若对任意，不等式恒成立，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若关于的不等式有且只有两个整数解，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数存在两个零点，则正数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知非负函数的导函数为，且的定义域为，若对于定义域内的任意，均满足，则下列式子中不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，且对任意，恒成立，则的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
二、多选题
10．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若在区间上的最大值与最小值分别为，，则
B．曲线与直线相切
C．若为增函数，则的取值范围为
D．在上最多有个零点
11．函数，，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．当时，存在唯一极小值点且
C．存在，在上有且只有一个零点
D．对任意，在上均存在零点
三、填空题
12．函数在上的零点个数为
13．已知，若关于x的不等式对一切正实数x恒成立，则当取最小值时，实数的值为 .
14．设函数.若对于任意，都有，则实数的值为 .
15．若存在两个不相等的正实数，，使得成立，则实数的取值范围是 .
16．当x≠0时，函数f(x)满足，写出一个满足条件的函数解析式f(x)= ．
17．若对于，不等式恒成立，则a的最大值为 .
四、解答题
18．已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．证明：函数在上有唯一零点.
19．已知函数，为的导函数.求证:有且仅有两个不同的零点.
20．已知函数.若有两个零点，求的取值范围.
21．已知函数，，.，分别为函数，的导函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：当时，存在实数，同时满足，.
22．已知函数，为的导函数.求证:在上存在唯一零点.
23．已知函数，讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点.
24．设函数，，当时，讨论函数与图象的交点个数.
25．已知函数，为的导数．证明：有且仅有个零点．
26．已知函数.若有三个零点，求的取值范围.
27．已知函数，求证：；
28．已知函数，证明：对一切，都有成立.
29．已知函数，若，求证：.
30．已知函数f(x)＝xe－x，如果x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2＞2.
31．已知函数（其中是自然对数的底数），.
(1)求证：；
(2)当时，求证：.
32．已知函数，求证：.
33．已知函数，当时，证明：；
34．设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
35．已知.
（1）求函数在，上的最小值；
（2）证明：对一切，都有成立．
36．已知函数，，证明：.
37．已知函数（），若有两个零点， （），求证：.
38．已知函数.
(1)讨论f（x）的单调性；
(2)若f（x）存在两个极值点x1，x2（x11时，不是对所有的x≥0都有成立，
综上a的取值范围是（].
49．证明见解析
【分析】
根据题意，构造函数可得，再由基本不等式即可证明.
【详解】证明：令，则，令可得，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以当时，有极小值，即最小值，
所以，即，
从而，
由均值不等式可得，
可得
所以，
即.
50．0
【分析】思路一：直接求导后，令，继续求导得单调递增，且注意到，符号相同，从而可得单调性以及最值；
思路二：首先构造函数结合导数证明，等号当且仅当时取得，进一步通过放缩以及基本不等式即可得解.
【详解】方法一：，令，
则，所以单调递增，注意到，
所以当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以在定义域上的最小值为；
方法二：令，则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
从而，即，等号当且仅当时取得，
所以当时， ，
所以，
即，等号当且仅当时取得，
所以在定义域上的最小值为．
51．证明见解析
【分析】方法一：先利用函数导数判断函数的单调性，利用函数单调性将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【详解】方法一：因为，定义域为，
所以，
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则恒成立，
所以当时，恒成立.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则恒成立，
所以当时，恒成立.
【点睛】方法点睛：利用函数导数证明不等式方法：
1、找出函数的定义域，
2、对函数求导，
3、利用函数导数分析函数的单调性，
4、利用函数单调性进行分析，
特别地在解决问题时经常用到构造新函数，利用新函数导数及单调性进行分析.
52．证明见解析
【分析】分别构造函数、，利用导数可证得单调性，得到，由此可得结论.
【详解】令，则，
在上单调递增，，即当时，；
令，则，
令，则，
当时，单调递增，即单调递增，，
在上单调递增，，
即当时，；
综上所述：当时，.
53．
【分析】
设，得到，令，得到，令，求得，得到为单调递增函数，得到，分和，两种情况讨论，即可求解.
【详解】
由函数，可得
设，
可得，
令，其中，可得，
令，
可得，
所以函数为单调递增函数，所以，
①若时，，即在上单调递减，
所以，所以，当时，，符合题意；
②若时，当时，，
所以，，
所以，使得，即，使得，
当时，，即时，，单调递增.
所以当时，，不合题意.
综上可得，的取值范围为.
54．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）问题化为时，构造，利用导数研究单调性，即可证结论.
（2）构造，，作差法研究函数单调性可得，再构造且，应用导数研究其单调性得到恒成立，对作放缩处理，结合累加得到，即可证结论.
【详解】（1）要证时，，即证，
令且，则，
则函数在上递增，于是，即.
所以时，.
（2）设，，
则，
由（1）知：，则，
于是，即在上递减，则；
下证，
令且，求导得，
当时，，递增，当时，，递减，
则，因此在上恒成立，
当时，，
因此，，…，，
累加得：，而，
由，得，则，
于是，则；
所以，即.
【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究单调性证右侧不等关系，再构造且，导数研究其函数符号得恒成立，结合放缩、累加得到为关键.
55．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）令，二次求导后，分别在和的情况下，结合的正负和放缩法可确定的正负，由此可得的单调性，从而确定符合题意的区间；
（2）令，由（1）中不等式可整理得到对任意恒成立，代入，累加即可得到所证不等式.
【详解】（1）令，则当时，；
，；
令，则，；
①当时，，则在上存在点，使得当时，，
，即在上单调递增，此时，
在上单调递增，则，不合题意；
②当时，，
令，则，
在上单调递减，，即，
，则，，
，即在上单调递减，，
在上单调递减，，满足题意；
综上所述：的取值范围为.
（2）当时，由（1）知：当时，恒成立，
令，则，，，
，即对任意恒成立，
对，，即，
.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题、不等式的证明；本题证明不等式的关键是将不等式左侧看作数列求和的形式，结合恒成立的不等式将数列通项进行放缩，从而采用累加的方式证得结论.
56．
【分析】
对原函数求导得导函数，设，对的范围分，，三类情况，分别讨论函数的正负得到函数的单调性，从而在不同区间上讨论函数的零点情况，验证得解.
【详解】
由求导得：
设
若,当时，,此时，则在上单调递增,，故在上没有零点,不合题意；
若,当,则，
故在上单调递增，则,此时，则在上单调递增,，故在上没有零点,不合题意；
若，
(1)当,则,所以在上单调递增，
，则存在,使得,即，
当时，单调递减，当时，单调递增，
故当，,
令则，则在上单调递增，在上单调递减，故，
又，，故在上有唯一零点
又函数在上没有零点,即在上有唯一零点
(2)当
设，则，所以在上单调递增，
因，故存在,使得，
当单调递减，当单调递增, ，
又，故存在使得,即
当单调递增,当单调递减，
当，，又
而,则当，故在上有唯一零点,上无零点
即在上有唯一零点，所以,符合题意
所以若在区间各恰有一个零点,则的取值范围为.
【点睛】方法点睛：本题的关键是对的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.
57．(1)
(2)证明见的解析
【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证.
【详解】（1）[方法一]：常规求导
的定义域为，则
令,得
当单调递减
当单调递增，
若,则,即
所以的取值范围为
[方法二]：同构处理
由得：
令，则即
令，则
故在区间上是增函数
故，即
所以的取值范围为
（2）[方法一]：构造函数
由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设
要证,即证
因为,即证
又因为,故只需证
即证
即证
下面证明时，
设，
则
设
所以,而
所以,所以
所以在单调递增
即,所以
令
所以在单调递减
即,所以；
综上, ,所以.
[方法二]：对数平均不等式
由题意得：
令，则，
所以在上单调递增，故只有1个解
又因为有两个零点，故
两边取对数得：，即
又因为，故，即
下证
因为
不妨设，则只需证
构造，则
故在上单调递减
故，即得证
【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式
这个函数经常出现，需要掌握
x
(－∞，1)
1
(1，＋∞)
＋
0
－
f(x)
递增
递减
＋
0
－
↗
极大值
↘