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2023-2024学年广西贺州市昭平中学高一（下）期末数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年广西贺州市昭平中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足z+2z−=3+4i(i是虚数单位)，则z=( )
A. 1−4iB. 6−4iC. 6−2iD. 3−2i
2.抽样统计某位学生10次的英语成绩分别为86，84，88，86，89，89，88，87，85，91，则该学生这10次成绩的50%分位数为( )
A. 88.5B. 89C. 91D. 87.5
3.下列命题正确的是( )
A. 三点确定一个平面
B. 四条首尾相连的线段确定一个平面
C. 两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内
D. 空间两两相交的三条直线在同一平面内
4.下列叙述中，错误的是( )
A. 数据的标准差比较小时，数据比较分散
B. 样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响
C. 数据的极差反映了数据的集中程度
D. 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变
5.已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.8，P(B)=0.3，则P(A∪B)=( )
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
6.在△ABC中，AB=2，AC=3，csA=− 63，则△ABC的面积为( )
A. 3B. 2 3C. 3 3D. 4 3
7.已知i是虚数单位，则复数( 22+ 22i)8=( )
A. −1B. 1C. −iD. i
8.已知平面向量a，b，c满足|a|=|b|=4，|c|=2，a⋅b=−8，若c=λa+μb，(λ∈R,μ∈R)，则2λ+μ的取值范围是( )
A. [−4 63,4 63]B. [− 213, 213]C. [− 212, 212]D. [−2 6,2 6]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列调查中，适宜采用抽样调查的是( )
A. 调查某市小学生每天的运动时间
B. 某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查
C. 农业科技人员调查某块地今年麦穂的单穂平均质量
D. 调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况
10.已知复数z=2−i，z−为z的共轭复数，则下列各选项正确的是( )
A. z是虚数B. z−的虚部为−iC. z>z−D. |z−|⋅|z|=5
11.已知圆锥SO的母线长为2 5,AB为底面圆O的一条直径，AB=4.用一平行于底面的平面截圆锥SO，得到截面圆的圆心为O1.设圆O1的半径为r，点P为圆O1上的一个动点，则( )
A. 圆锥SO的体积为16π3
B. PO的最小值为4 55
C. 若r=1，则圆锥SO1与圆台O1O的体积之比为1：8
D. 若O为圆台O1O的外接球球心，则圆O1的面积为36π25
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(m,−3)，b=(−1,2)，若a⊥b，则|a|=______．
13.已知四位数4521，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为______．
14.在一个底面直径为12cm，高为18cm的圆柱水杯中加入水后，水面高度为12cm，加入一个球型小钢珠后水面上升到了13cm，则球型小钢珠的半径为______cm．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acsB+bcsA=2ccsC．
(1)求角C的大小；
(2)若CA⋅CB=4，a+b=6，求c．
16.(本小题15分)
近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加2次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，2次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为13，教师乙每次考核通过的概率为14，且甲乙每次是否通过相互独立．
(1)求乙通过考核的概率；
(2)求甲乙两人考核的次数和为3的概率．
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，CA=CB=1，侧棱AA1=2，D，E分别是CC1，A1B的中点．
(1)证明：DE//平面ABC；
(2)求点D到平面BCE的距离．
18.(本小题17分)
共享单车企业通过在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供服务，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，与其他公共交通方式产生协同效应.共享单车是一种分时租赁模式，也是一种新型绿色环保共享经济.某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意度，随机选取了200人就该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查，并将问卷中的这200人根据其满意度评分值(百分制)分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100](满意度评分值均在[50,100]内)，制成如图所示的频率分直方图．
(1)求a的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数(同一组数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)用分层抽样的方法在满意度评分值在[80,90)，[90,100]内的抽出6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在[80,90)内的概率．
19.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD=120°，E，F分别是CD，PC的中点，AP=4．
(1)求四棱锥F−ABCE的体积；
(2)求BF与底面ABCD所成角的正切值．
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.A
5.D
6.A
7.B
8.B
9.AC
10.AD
11.ABD
12.3 5
13.12
14.3
15.解：(1)因为acsB+bcsA=2csC，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC可得：sinAcsB+sinBcsA=sin(A+B)=2sinCcsC，
因为A+B+C=π，
所以sinC=2sinCcsC，
则csC=12，
又0故C=π3；
(2)由CA⋅CB=bacsC=ab2=4，
得ab=8，
又a+b=6，
由余弦定理知c2=a2+b2−2abcsC=(a+b)2−3ab=12，
则c=2 3．
16.解：(1)∵乙第一次考核通过的概率p1=14，
乙第二次考核通过的概率为p2=(1−14)×14=316，
∴乙通过考核的概率为p=p1+p2=14+316=716；
(2)∵甲考核2次，乙考核1次的概率p4=(1−13)×14=16，
甲考核1次，乙考核2次的概率p3=13×(1−14)=14，
∴甲乙两人的考核次数和为3的概率p′=p3+p4=14+16=512．
17.解：(1)证明：如图，取AB的中点F，连EF，CF，
∵AE=EB，AF=FB，∴EF//AA1且EF=12AA1，
∵CD=12CC1,AA1=CC1，
∴EF//CD且EF=CD，
∴四边形DEFC为平行四边形，
∴DE//CF，
∵DE⊄平面ABC，CF⊂平面ABC，CF//DE，
∴DE//平面ABC．
(2)取BC1中点M，连EM，
∵∠ACB=90°且ABC−A1B1C1为直三棱柱，
∴△ABC为直角三角形且AC//A1C1，AC⊥BC，CC1⊥AC，BC∪CC1=C，BC，CC1⊂平面BCC1B1，
∴A1C1⊥平面BCC1B1，CF=12AB，
由(1)知DE=CF，∴DE=CF=12AB= 22，
∵A B C−A1B1C1为直三棱柱，D为中点，∴CD=1，CD⊥BC，
∴S△BCD=12×1×1=12，
∵A1E=EB，BM=MC1，∴EM//A1C1，
∵A1C1⊥平面BCC1B1，∴EM⊥平面BCC1B1，
∴EM=12A1C1=12，
VE−BCD=13×12×12=112，
设点D到平面BCE的距离为d，
BC=1,BE=12A1B=12 4+2= 62,CE= 12+1= 62，
S△BCE=12×1× ( 62)2−(12)2= 54，
有13× 54d=112，
得d= 55，
故点D到平面BCE的距离为 55．
18.解：(1)由题意知(0.005+0.025+0.040+a+00.010)×10=1，解得a=0.020．
满意度评分值的平均数x−=55×0.05+65×0.25+75×0.4+85×0.2+95×0.1=75.5；
设满意度评分值的中位数为x，所以x−7010×0.4=0.2，解得x=75，即满意度评分值的中位数为75．
(2)满意度评分值在[80,90)内的有200×0.2=40(人)，满意度评分值在[90,100]内的有200×0.1=20(人)，
抽取的6人中满意度评分值在[80,90)内的有6×4040+20=4(人)，记为a，b，c，d，
满意度评分值在[90,100]内的有6×2040+20=2(人)，记为A，B．
从这6人中随机抽取2人有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,A)，(a,B)，(b,c)，(b,d)，(b,A)，(b,B)，(c,d)，(c,A)，(c,B)，(d,A)，(d,B)，(A,B)，共15种基本事件，
其中抽到的2人满意度评分值均在[80,90)内的有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，共6种基本事件，
所以抽到的2人满意度评分值均在[80,90)内的概率P=615=25．
19.解：(1)∵∠BAD=120°，AB=2，四边形ABCD为菱形，且E为CD的中点，
∴AE= 3，
∴S四边形ABCE=12×(1+2)× 3=3 32，
如图，连接AC、BD相交于点O，连接OF，则O为AC的中点，
∵F为PC的中点，∴OF//AP，
∵AP⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD，且OF=12AP=2，
∴VF−ABCE=13OF⋅S四边形ABCE=13×2×3 32= 3．
(2)由(1)知，OF⊥平面ABCD，
∴∠FBO即为BF与底面ABCD所成角．
∵OF=2，OB= 3，
∴tan∠FBO=OFOB=2 3=2 33，
故BF与底面ABCD所成角的正切值为2 33．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足z+2z−=3+4i(i是虚数单位)，则z=( )
A. 1−4iB. 6−4iC. 6−2iD. 3−2i
2.抽样统计某位学生10次的英语成绩分别为86，84，88，86，89，89，88，87，85，91，则该学生这10次成绩的50%分位数为( )
A. 88.5B. 89C. 91D. 87.5
3.下列命题正确的是( )
A. 三点确定一个平面
B. 四条首尾相连的线段确定一个平面
C. 两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内
D. 空间两两相交的三条直线在同一平面内
4.下列叙述中，错误的是( )
A. 数据的标准差比较小时，数据比较分散
B. 样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响
C. 数据的极差反映了数据的集中程度
D. 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变
5.已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.8，P(B)=0.3，则P(A∪B)=( )
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
6.在△ABC中，AB=2，AC=3，csA=− 63，则△ABC的面积为( )
A. 3B. 2 3C. 3 3D. 4 3
7.已知i是虚数单位，则复数( 22+ 22i)8=( )
A. −1B. 1C. −iD. i
8.已知平面向量a，b，c满足|a|=|b|=4，|c|=2，a⋅b=−8，若c=λa+μb，(λ∈R,μ∈R)，则2λ+μ的取值范围是( )
A. [−4 63,4 63]B. [− 213, 213]C. [− 212, 212]D. [−2 6,2 6]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列调查中，适宜采用抽样调查的是( )
A. 调查某市小学生每天的运动时间
B. 某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查
C. 农业科技人员调查某块地今年麦穂的单穂平均质量
D. 调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况
10.已知复数z=2−i，z−为z的共轭复数，则下列各选项正确的是( )
A. z是虚数B. z−的虚部为−iC. z>z−D. |z−|⋅|z|=5
11.已知圆锥SO的母线长为2 5,AB为底面圆O的一条直径，AB=4.用一平行于底面的平面截圆锥SO，得到截面圆的圆心为O1.设圆O1的半径为r，点P为圆O1上的一个动点，则( )
A. 圆锥SO的体积为16π3
B. PO的最小值为4 55
C. 若r=1，则圆锥SO1与圆台O1O的体积之比为1：8
D. 若O为圆台O1O的外接球球心，则圆O1的面积为36π25
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(m,−3)，b=(−1,2)，若a⊥b，则|a|=______．
13.已知四位数4521，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为______．
14.在一个底面直径为12cm，高为18cm的圆柱水杯中加入水后，水面高度为12cm，加入一个球型小钢珠后水面上升到了13cm，则球型小钢珠的半径为______cm．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acsB+bcsA=2ccsC．
(1)求角C的大小；
(2)若CA⋅CB=4，a+b=6，求c．
16.(本小题15分)
近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加2次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，2次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为13，教师乙每次考核通过的概率为14，且甲乙每次是否通过相互独立．
(1)求乙通过考核的概率；
(2)求甲乙两人考核的次数和为3的概率．
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，CA=CB=1，侧棱AA1=2，D，E分别是CC1，A1B的中点．
(1)证明：DE//平面ABC；
(2)求点D到平面BCE的距离．
18.(本小题17分)
共享单车企业通过在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供服务，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，与其他公共交通方式产生协同效应.共享单车是一种分时租赁模式，也是一种新型绿色环保共享经济.某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意度，随机选取了200人就该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查，并将问卷中的这200人根据其满意度评分值(百分制)分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100](满意度评分值均在[50,100]内)，制成如图所示的频率分直方图．
(1)求a的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数(同一组数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)用分层抽样的方法在满意度评分值在[80,90)，[90,100]内的抽出6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在[80,90)内的概率．
19.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD=120°，E，F分别是CD，PC的中点，AP=4．
(1)求四棱锥F−ABCE的体积；
(2)求BF与底面ABCD所成角的正切值．
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.A
5.D
6.A
7.B
8.B
9.AC
10.AD
11.ABD
12.3 5
13.12
14.3
15.解：(1)因为acsB+bcsA=2csC，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC可得：sinAcsB+sinBcsA=sin(A+B)=2sinCcsC，
因为A+B+C=π，
所以sinC=2sinCcsC，
则csC=12，
又0
(2)由CA⋅CB=bacsC=ab2=4，
得ab=8，
又a+b=6，
由余弦定理知c2=a2+b2−2abcsC=(a+b)2−3ab=12，
则c=2 3．
16.解：(1)∵乙第一次考核通过的概率p1=14，
乙第二次考核通过的概率为p2=(1−14)×14=316，
∴乙通过考核的概率为p=p1+p2=14+316=716；
(2)∵甲考核2次，乙考核1次的概率p4=(1−13)×14=16，
甲考核1次，乙考核2次的概率p3=13×(1−14)=14，
∴甲乙两人的考核次数和为3的概率p′=p3+p4=14+16=512．
17.解：(1)证明：如图，取AB的中点F，连EF，CF，
∵AE=EB，AF=FB，∴EF//AA1且EF=12AA1，
∵CD=12CC1,AA1=CC1，
∴EF//CD且EF=CD，
∴四边形DEFC为平行四边形，
∴DE//CF，
∵DE⊄平面ABC，CF⊂平面ABC，CF//DE，
∴DE//平面ABC．
(2)取BC1中点M，连EM，
∵∠ACB=90°且ABC−A1B1C1为直三棱柱，
∴△ABC为直角三角形且AC//A1C1，AC⊥BC，CC1⊥AC，BC∪CC1=C，BC，CC1⊂平面BCC1B1，
∴A1C1⊥平面BCC1B1，CF=12AB，
由(1)知DE=CF，∴DE=CF=12AB= 22，
∵A B C−A1B1C1为直三棱柱，D为中点，∴CD=1，CD⊥BC，
∴S△BCD=12×1×1=12，
∵A1E=EB，BM=MC1，∴EM//A1C1，
∵A1C1⊥平面BCC1B1，∴EM⊥平面BCC1B1，
∴EM=12A1C1=12，
VE−BCD=13×12×12=112，
设点D到平面BCE的距离为d，
BC=1,BE=12A1B=12 4+2= 62,CE= 12+1= 62，
S△BCE=12×1× ( 62)2−(12)2= 54，
有13× 54d=112，
得d= 55，
故点D到平面BCE的距离为 55．
18.解：(1)由题意知(0.005+0.025+0.040+a+00.010)×10=1，解得a=0.020．
满意度评分值的平均数x−=55×0.05+65×0.25+75×0.4+85×0.2+95×0.1=75.5；
设满意度评分值的中位数为x，所以x−7010×0.4=0.2，解得x=75，即满意度评分值的中位数为75．
(2)满意度评分值在[80,90)内的有200×0.2=40(人)，满意度评分值在[90,100]内的有200×0.1=20(人)，
抽取的6人中满意度评分值在[80,90)内的有6×4040+20=4(人)，记为a，b，c，d，
满意度评分值在[90,100]内的有6×2040+20=2(人)，记为A，B．
从这6人中随机抽取2人有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,A)，(a,B)，(b,c)，(b,d)，(b,A)，(b,B)，(c,d)，(c,A)，(c,B)，(d,A)，(d,B)，(A,B)，共15种基本事件，
其中抽到的2人满意度评分值均在[80,90)内的有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，共6种基本事件，
所以抽到的2人满意度评分值均在[80,90)内的概率P=615=25．
19.解：(1)∵∠BAD=120°，AB=2，四边形ABCD为菱形，且E为CD的中点，
∴AE= 3，
∴S四边形ABCE=12×(1+2)× 3=3 32，
如图，连接AC、BD相交于点O，连接OF，则O为AC的中点，
∵F为PC的中点，∴OF//AP，
∵AP⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD，且OF=12AP=2，
∴VF−ABCE=13OF⋅S四边形ABCE=13×2×3 32= 3．
(2)由(1)知，OF⊥平面ABCD，
∴∠FBO即为BF与底面ABCD所成角．
∵OF=2，OB= 3，
∴tan∠FBO=OFOB=2 3=2 33，
故BF与底面ABCD所成角的正切值为2 33．
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