广西贺州市昭平中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

这是一份广西贺州市昭平中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题，共9页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，在中，内角，，的对边分别为，，，已知为虚数单位，复数，，则等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章～第九章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设（，），则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知向量，，它们的夹角为，则（ ）
A．10B．C．D．13
3．某学校有高中学生960人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为280，320，360．为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ）
A．70B．80C．90D．100
4．若直线平面，则下列说法正确的是（ ）
A．仅垂直平面内的一条直线B．仅垂直平面内与相交的直线
C．仅垂直平面内的两条直线D．与平面内的任意一条直线垂直
5．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ）
A．16B．12C．D．
6．已知样本数据，，…，的平均数为8，方差为32，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中（，2，…，15），则得到的新样本数据的平均数和方差分别是（ ）
A．24，B．24，96C．25，288D．25，
7．在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，则此三角形（ ）
A．无解B．有一解C．有两解D．解的个数不确定
8．如图所示，在正方体中，，分别为，上的中点，且，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知为虚数单位，复数，，则（ ）
A．的共轭复数为B．
C．为实数D．在复平面内对应的点在第一象限
10．已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（ ）
A．如果，，，那么
B．如果，，那么
C．如果，，那么
D．如果，，那么与所成的角和与所成的角相等
11．如图为清代官员夏日所用官帽、凉帽的形制，无檐，形如圆锥，俗称喇叭式．材料多为藤、竹制成．外裹绫罗，多用白色，也有用湖色、黄色等．不同型号的官帽大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆的直径长）两个指标进行衡量．现有一个官帽，帽坡长，帽底宽，关于此官帽，下面说法正确的是（ ）
A．官帽轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为
B．过官帽顶点和官帽侧面上任意两条母线的截面三角形的最大面积为
C．若此官帽顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为
D．此官帽放在平面上，可以盖住的球（保持官帽不变形）的最大半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知是虚数单位，复数满足，则复数的模为_________．
13．已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角为_________．
14．一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，其尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要_________立方米混凝土（钢筋体积略去不计）．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
16．（本小题满分15分）
某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，随机抽查了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（棉花纤维的长度均在内），绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，并估计棉花纤维的长度的众数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；
（2）估计棉花纤维的长度的75%分位数．
17．（本小题满分15分）
在底面为平行四边形的四棱锥中，，分别为棱，的中点．
（1）求证：平面；
（2）设平面平面，求证：平面．
18．（本小题满分17分）
如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时5km的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市25km，且与海岸距离为15km的海上处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员．
（1）小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？
（2）求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角．
19．（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，，．是棱上一点，且，平面．
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
昭平中学2024年春季学期高一年级第二次月考·数学
参考答案、提示及评分细则
1．A 由题意，得，则，．故选A．
2．C 因为向量，，它们的夹角为，所以，
所以．故选C．
3．A 根据题意得，应抽取高一年级学生的人数为，故选A．
4．D 若直线平面，则与平面内的任意一条直线都垂直．
5．A 易知原图形是平行四边形，其底边长2，高为，另一边长为，所以原图形的周长为．
6．C 设样本数据，，…，的方差为，新样本数据的方差为，因为（，2，…，15），所以新样本数据的平均数，新样本数据的方差为，故选C．
7．C 由正弦定理，得，解得．
因为，所以．
又因为，所以或，
故此三角形有两解．故选C．
8．C 如图所示，作交于点，作交于点，连接，
，，，平面平面，又点是正方形内的动点，点在线段上，即轨迹．
9．BD 因为的共轭复数为，所以A不正确；
因为，，所以B正确；
因为，所以C不正确；
因为，点的坐标在第一象限，所以D正确．
10．BCD 对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，
不妨设为直线，为直线，四边形所在的平面为，四边形所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立；
B正确，证明如下：设过直线的某平面与平面相交于直线，则，由知，从而；
由平面与平面平行的定义知，如果，，那么，C正确；
由平行的传递性及线面角的定义知，如果，，那么与所成的角和与所成的角相等，D正确．
故选BCD．
11．ACD 如图所示，，，，，所以A是正确的；
，所以最大面积应为200，所以B是错误的；
设外接球的球心为，则，，，可见球心在延长线上，，所以C正确；
设是内切球的球心，则，，，得到最大半径为，所以D是正确的．
12． 由，有，可得，有，可得．
13． 由，得，即，
因为，，所以，所以，
所以向量与的夹角为．
14．324 将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体．
所以（平方米），
所以该预制件的体积（立方米）．
故浇制一个这样的预制件需要约324立方米的混凝土．
15．解：（1）由正弦定理有
因为，，可得；
（2）由（1）知，，
故有．
16．解：（1）由频率分布直方图知，解得．
最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为．
平均数；
（2）设棉花纤维的长度的75%分位数为，
所以，解得．
17．证明：（1）取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，所以，且，
又因为为的中点，所以，
在平行四边形中，有，则，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）在平行四边形中，有，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面平面，面，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
18．解：设小艇以的速度从处出发，沿方向，后与运动员在处相遇，过作的垂线，则，，
在中，，，，则，．
由余弦定理，得，
即．
整理得．
当，即时，取得最小值9，即，
所以小艇至少以的速度行驶才能追上这位运动员．
（2）当时，在中，，，，
由余弦定理，得，
所以，
所以小艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为．
19．（1）证明：在矩形中，所以，
平面，平面，平面，，，
，
在中，，，为中点，，
，即，
又，，平面，平面，
平面，又平面，平面平面；
（2）解：由（1）知，，
平面，平面，，
又，，，平面，平面，
又，平面，又平面，，
，平面平面，平面，
平面，由（1）知为中点，所以到平面距离为，
设到平面的距离为，由，
即，解得，
设直线与平面所成的角为，则．