湖北省襄阳市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
故选：C.
2. 已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（ ）
A. -2或-1B. -2或1C. -1或2D. 1或2
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量共线基本定理列等式，利用不共线向量相等列方程组求解.
【详解】若向量与共线，则存在实数，使得
，
又因为向量，不共线，所以
，
解得或.
故选：B
3. 利用简单随机抽样，从个个体中抽取一个容量为10的样本.若抽完第一个个体后，余下的每个个体被抽到的机会为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等可能事件的概率计算求得，即可求解.
【详解】由题意可得，故，所以每个个体被抽到的机会为，
故选：D.
4. 《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长丈，上底边长丈．高丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用棱台的体积公式即可求解.
【详解】
.
故选:
【点睛】本题主要考查了空间几何体表面积与体积，属于基础题.
5. 甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】6元分成整数元有3份，可能性有(1，1，4)，(1，2，3)，(2，2，2)，然后求出每一种分法的个数，再求出符合“最佳手气”的个数，再利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】6元分成整数元有3份，可能性有(1，1，4)，(1，2，3)，(2，2，2)，第一个分法有3种，第二个分法有6种，第三个分法有1种，其中符合“最佳手气”的有4种，
故概率为．
故选：D
【点睛】此题考查古典概型的概率公式的应用，属于基础题
6. 水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中 ，则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得，,绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积.
【详解】根据“斜二测画法”可得，，，
绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，
它的表面积为.
故选:
【点睛】本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.
7. 已知，则的取值范围是（ ）
A. [0，1]B. C. [1，2]D. [0，2]
【答案】D
【解析】
【分析】设，可得，构造，可得，根据向量减法的模长不等式可得解.
【详解】设，则，
，所以
∴
，又，
所以，
又
则[0，2].
故选：D
【点睛】本题考查了向量的综合运算，考查学生综合分析，转化化归，数学运算的能力.
8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意画出图形，设球O得半径为R，AB=x，AC=y，由球O的表面积为29π，可得x2+y2=25，写出侧面积，再由基本不等式求最值．
【详解】设球O得半径为R，AB=x，AC=y，
由4πR2=29π，得4R2=29．又x2+y2+22=（2R）2，得x2+y2=25．三棱锥A-BCD的侧面积：S=S△ABD+S△ACD+S△ABC=由x2+y2≥2xy，得xy≤当且仅当x=y=时取等号，由（x+y）2=x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得x+y≤5,当且仅当x=y=时取等号，∴S≤5+=当且仅当x=y=时取等号. ∴三棱锥A-BCD的侧面积的最大值为.故选A.
【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 用一个平面去截一个几何体， 所得截面的形状是正方形， 则原来的几何体可能是（ ）
A. 长方体B. 圆台C. 四棱台D. 正四面体
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用特例判断A、C，显然B错误，画出图形，根据正方体的性质判断D；
【详解】解：对于A：若长方体的底面为正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故A正确；
对于B：圆台的截面均不可能是正方形，故B错误；
对于C：若四棱台的底面是正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故C正确；
对于D：如图所示正四面体，将其放到正方体中，
取的中点，的中点，取的中点，的中点，
依次连接、、、，由正方体的性质可知截面为正方形，故D正确；
故选：ACD
10. 疫情带来生活方式和习惯的转变， 短视频成为观众空闲时娱乐活动的首选． 某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A. 图中
B. 在份有效样本中， 短视频观众年龄在岁的有人
C. 估计短视频观众的平均年龄为岁
D. 估计短视频观众年龄的分位数为岁
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据频率和为可构造方程求得，知A错误；由频率和频数的关系可求得观众年龄在岁的人数，知B正确；由平均数和百分位数的估计方法可验证知CD正确.
【详解】对于A，，，A错误；
对于B，由频率分布直方图知：短视频观众年龄在岁的人对应频率为，
短视频观众年龄在岁的有人，B正确；
对于C，平均年龄，C正确；
对于D，设分位数为，则，解得：，D正确.
故选：BCD.
11. 已知是等腰直角三角形， ， 用斜二测画法画出它的直观图 ， 则的长可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】通过斜二测画法的定义可知BC为轴时，为最大值，以BC为轴，则此时为最小值，故的长度范围是，C选项可以
以AB为轴进行求解出，从而求出正确结果.
【详解】以BC为轴，画出直观图，如图2，此时，
A正确，
以BC为轴，则此时，
则的长度范围是，
若以AB或AC为x轴，画出直观图，如图1，以AB为轴，则，此时过点作⊥于点D，则，
则，，
由勾股定理得：，C正确；
故选：AC
12. 如图， 已知均为等边三角形， 分别为的中点，为内一点 (含边界)． ， 下列说法正确的是（ ）
A. 延长交于， 则
B. 若， 则为的重心
C. 若，则点的轨迹是一条线段
D. 的最小值是
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，作出辅助线，根据面积比求出，判断A选项；
B选项，建立平面直角坐标系，设出边长为1，写出各点的坐标，然后写出直线CN，BM，AG的方程，联立后求出的坐标，求出与的重心坐标，两者重合；C选项，设出点的坐标，利用向量关系及求出，得出C正确；D选项，利用C选项，得到，结合，求出的最小值.
【详解】A选项，因为已知均为等边三角形，分别为的中点，
连接CD，AE，BF，延长BE交AC于点M，
则，
所以，则，，A正确；
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴建立平面直角坐标系，
延长AD交BC于点G，延长CF交AB于点N，由A选项可知：，
设边长为1，则，
则直线，直线BM：，
联立直线CN与BM，求得：，所以，
直线AG：，联立直线AG与BM，求得：，所以，
联立直线AG与CN，求得：，所以，
因为， 则为的重心，
则，即，
而的重心为，即，
故为的重心，B正确；
设，，结合B选项中建立的坐标系，可知：
，即，解得：
若， 则，整理得：，
因为为内一点 (含边界)，所以点的轨迹是一条线段，C正确；
结合C选项，可知，
其中，
当时，取得最小值，
最小值为，故D错误.
故选：ABC
【点睛】建立平面直角坐标系，利用坐标来解决平面向量问题，对于一些平面向量问题可以做到事半功倍.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 直播带货已成为一种新的消费方式， 据某平台统计， 在直播带货销量中， 服装鞋帽类占， 食品饮料类占， 家居生活类占19%， 美妆护肤类占， 其他占．为了解直播带货各品类的质量情况，现按分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本．已知在抽取的样本中，服装鞋帽类有560件，则家居生活类有_____________件
【答案】380
【解析】
【分析】根据服装鞋帽类的件数，求出，进而求出家具生活类件数.
【详解】，故家具生活类件数为.
故答案为：380
14. 如图，在四面体中，，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角是_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】取的中点，连接，，即可得到即为异面直线与所成的角，再由线段关系及勾股定理逆定理得到为等腰直角三角形，即可得解；
【详解】解：取的中点，连接，，因为为的中点，为的中点，
所以且，且，
所以即为异面直线与所成的角或其补角，
又，，，
所以，，所以，所以，
所以为等腰直角三角形，所以；
故答案为：
15. 如图， 在Rt 中， 点是斜边的中点， 点在边上， 且， 则___________．
【答案】
【解析】
【分析】设长后列方程求解
【详解】设，则，由题意得，
即，解得，此时，得，
故答案为：
16. 已知，且，实数满足，且，则的最小值是___________．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】在平面直角坐标系中，令，由此求出与的坐标，再用x，y表示出，然后借助柯西不等式求解作答.
【详解】在平面直角坐标系中，令，设，则，
，解得，则，依题意，不妨令，，
而，则，有
，
当且仅当，即时取“=”，而，则，当且仅当时取“=”，
因此，，当且仅当且，即且时取“=”，
所以当，，时，取得最小值.
故答案为：
【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知向量满足．
（1）若，求||的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）将两边平方化简求解即可；
（2）将两边平方化简得到，根据求解即可
【小问1详解】
∵ ∴，∴，即
【小问2详解】
，∴，即
．
18. 如图，已知在正三棱柱中，D为棱AC的中点，．
（1）求正三棱柱的表面积；
（2）求证：直线//平面．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求解上下底的面积，结合侧面积求解即可；
（2）取和交点M，连DM，再证明即可
小问1详解】
．
【小问2详解】
取和交点M，连DM，
∵D，M分别为AC，中点，故．
平面，DM平面．
∴//平面．
19. 如图， 四棱锥的底面四边形为正方形， 顶点 在底面的射影为线段的中点 是的中点，

（1）求证：平面；
（2）求过点的平面截该棱锥得到两部分的体积之比．
【答案】（1）证明见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）取PC中点F，证四边形ODEF为平行四边形，即可由线线平行证线面平行；
（2）过点的截面为平面ADEF，则截出的两部分可看作四棱锥与三棱锥组合，以及三棱锥与三棱锥组合；利用几何关系，跟别求出各部分体积的占比，即可得出比值
【小问1详解】
由题，如图，取PC中点F，连接EF、DF，则EF为的中位线，故，，故四边形ODEF为平行四边形，故，又平面PCD，平面PCD，故平面
【小问2详解】
由（1）得，过点的截面为平面ADEF，截出的两部分可看作四棱锥与三棱锥组合，以及三棱锥与三棱锥组合；
由是的中点，易得，；由是的中点，易得；
故过点的平面截该棱锥得到两部分的体积之比为
20. 在①，②，③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中并求解． 问题： 如图， 在中， 角所对的边分别为是边上一点， ， ， 若_________，
（1）求角A的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选①：用余弦定理可得；选②：由内角和定理化简，再由二倍角公式可得；选③：由正弦定理边化角可得；
（2）由已知结合（1）可求，再由正弦定理可得b、c比值，利用余弦定理可表示出a，然后由已知和余弦定理可解.
【小问1详解】
选①：由题知；
选②：，因为，，
所以；
选③：由正弦定理边化角可得：，同②可得.
因为，所以
【小问2详解】
因为，，
所以由解得
所以
所以
记
则，即
因为，所以
所以，得
所以
因为，所以，所以
21. 如图， 在正六边形中，，为上一点， 且 交于点
（1）当 时， 试用表示；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正六边形的性质和平面向量的线性运算结合图形可得；
（2）记，，借助F、G、H共线可得和之间的关系，然后根据平面向量的线性运算表示出所求，利用对勾函数的性质可得.
【小问1详解】
由正六边形性质可知，，
因为，所以
所以
【小问2详解】
记，
则，…①
将代入①整理得
因为F、G、H共线，所以，即
又
，
所以
将代入上式整理可得
令，则
由对勾函数可知，当在区间上单调递减，
所以当时，取得最大值6；当时，取得最小值4.
所以的取值范围为.
22. 某校有高中生2000人，其中男女生比例约为，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为的样本，得到频数分布表和频率分布直方图.方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20.
（1）根据图表信息，求，并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）
（2）计算方案二中总样本的均值及方差；
（3）计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？
【答案】（1），，频率分布直方图见解析，身高均值（2）均值为，方差为；（3）总样本均值的差为，不合适，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）利用身高在区间频率和频数即可求的值，进而可得的值，求出各组的频率即可补全频率分布直方图，由平均数的计算公式即可求身高均值；
（2）把男生样本记为：，其均值为，方差为，把女生样本记为：，其均值为，方差为，则总体样本均值为，
根据方差公式和平均数公式变形即可得样本总体方差.
（3）两个方案的均值相减即可求均值差，由于没有进行等比例的分层抽样，每个个体被抽到的可能性不同，代表性较差，因此不合适.
【详解】（1）因为身高在区间的频率为，频数为，
所以样本容量为，，，
，
所以身高在的频率为，小矩形的高为，
所以身高在的频率为，小矩形的高为，
由此补全频率分布直方图：
由频率分布直方图可知：样本的身高均值为：

，
所以由样本估计总体可知，估计该校高中生身高均值为
（2）把男生样本记为：，其均值为，方差为，
把女生样本记为：，其均值为，方差为，
总体样本均值记为，方差记为，
所以，
又因为，
所以，
同理可得：，
所以


，
（3）两种方案总样本均值的差为，身高（单位：）
频数
6
4