湖北省襄阳市第四中学2023-2024学年高一下学期质量检测（一）数学试卷（Word版附解析）

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数学试题
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 若角的终边与单位圆相交于点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数定义直接计算即可.
【详解】由题意，根据三角函数定义，所以.
故选：D
2. 若，则的化简结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同角平方和的关系，结合角的范围即可化简求解.
【详解】
，
由于，所以，故，
故选：D
3. 已知为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】注意到，利用同角三角函数的关系求角的正弦，再利用诱导公式求角的正弦、余弦，从而得到的正切.
【详解】因为为锐角，所以且，所以得，
由诱导公式得，.
所以.
故选:D
4. 已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设扇形的半径为，弧长为，由扇形的弧长公式结合扇形的周长可求得、的值，再利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，
扇形的周长为，可得，所以，，
故该扇形面积为.
故选：D.
5. 已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角恒等变换化简函数，再由图象的平移得到函数的解析式，利用函数的值域，可知的值为函数的最小正周期的整数倍，从而得出选项.
【详解】函数，
将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；
再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，所以函数的值域为.
若，则且，均为函数的最大值，
由，解得；
其中､是三角函数最高点的横坐标，
的值为函数的最小正周期的整数倍，且.
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象的平移，以及函数的值域和周期，属于中档题.
6. 已知函数，则下列结论成立的是（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称
C. 的最小值与最大值之和为0D. 在上单调递增
【答案】B
【解析】
【分析】对于根据即可求出；对于可根据函数在对称轴处取的最值验证；对于利用解析式可直接求得最大和最小值，验证即可；对于可求得函数的单调增区间，验证即可.
【详解】对于,的最小正周期为,故错误；
对于，2为最大值，
所以的图象关于直线对称，故正确；
对于依据函数解析式得故错误；
对于令，解得
令，得的一个增区间为，
故在上为减函数，在上为增函数，故错误.
故选：
7. 已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）

A. 为偶函数
B. 的最小正周期是
C. 的图象关于直线对称
D. 在区间上单调递减
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的图象依次求出，得函数的解析式，结合图象变换求出函数，再根据正弦函数性质逐项判断作答.
【详解】观察图象知，，，则，而，于是，
函数的周期满足：，即，解得，
又，即有，而，于，
因此，所以，
把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，
则，所以，
显然函数为非奇非偶函数，故A错误；
的最小正周期，故B正确；
因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误；
当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，
则的图象不单调，故D错误.
故选：B
8. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”．若函数的图象关于点对称，且，则函数与在内的交点个数为（ ）
A. 196B. 198C. 199D. 200
【答案】B
【解析】
【分析】由题意首先得，进一步，通过数形结合找规律即可得解.
【详解】由题意，
在中，不妨令，得，
所以，经检验满足题意，
所以
所以，
如图所示：
由于与都是奇函数，先考虑时的交点个数，
由图可知时，与的交点分布在这49个区间内，
且每个区间内都有2个交点，
同理时，与的交点分布在这50个区间内，
且每个区间内都有2个交点，
综上所述，函数与在内的交点个数为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：在由求参数时，可先通过令特殊的值代入表达式得到关于的方程组，进一步解之并检验，由此即可顺利得解.
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 下列代数式的值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式可判断CD选项.
【详解】对于A选项，；
对于B选项，；
对于C选项，；
对于D选项，
.
故选：BCD.
10. 函数的部分图像如图所示，则下列说法中错误的是（ ）

A. 的最小正周期是B. 是奇函数.
C. 在上单调递增D. 直线是曲线的一条对称轴
【答案】BC
【解析】
【分析】由图像求函数解析式，再根据选项研究函数相关性质.
【详解】由函数图像可得，，
最小正周期，，，
则，
又由题意可知当时，，
即，则，
故，所以.
的最小正周期是，A选项正确；
，是偶函数，B选项错误；
时，，是正弦函数单调递减区间，C选项错误；
由，得曲线的对称轴方程为，
当时，得直线是曲线的一条对称轴，D选项正确；
选项中错误的说法是BC.
故选：BC
11. 主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线，且经过点，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数奇函数
B. 函数在区间上单调递减
C. ，使得
D. ，存在常数使得
【答案】ABD
【解析】
【分析】由经过可求出的解析式，利用奇偶性定义可判断A；利用正弦函数的单调性可判断B；求的值可判断D，利用，分、、，三种情况求的化简式可判断C．
【详解】因为经过，
所以，即，，解得，，
又，所以，则，
对于A，，
时，令，可得，
故为奇函数，所以A正确；
对于B，时，，
对于在上单调递减，可得在上单调递减，
所以B正确；
对于D，
，
所以恒，即存在常数m=0，所以D正确；
对于C，当，时，，
当，时，，
当，时，
，所以C错误．
故答案为：ABD.
【点睛】关键点睛：对于C选项的关键点是利用，分、、，三种情况求的化简式.
三、填空題（每题5分，共15分）
12. 函数的最小正周期是，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数的周期公式直接求出即可.
【详解】因为函数的最小正周期是，
所以可得，解得，
故答案为：.
13. 已知，点为角终边上的一点，且，则角________．
【答案】．
【解析】
【分析】由三角函数定义可得，已知等式用诱导公式变形得可得，结合角的大小及范围求得，然后由两角差的正弦公式求得后可得．
【详解】∵，∴，
∴，．
又，∴．
∵，∴，
∴，
∴
．
∵，∴．
故答案为：.
【点睛】本题考查已知三角函数值求角，要求角，一般先求出这个角的某个三角函数值，这里有一个技巧，由角的范围（也可先缩小范围），确定在此范围内三角函数是单调的函数值，这样所求角唯一易得．
14. 已知函数，若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为对任意的，当时，恒成立，不妨设，将问题转化为在单调递减，再结合利用正弦函数的性质求出的取值范围．
【详解】，
由，
得，
所以，
所以，
因为对任意的，当时，恒成立，
所以对任意的，
当时，恒成立，
，
不妨设，则问题转化成在单调递减，
所以，其中，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
四、解答题（5道题，共77分）
15. 已知，其中.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方关系、结合的范围计算可得答案；
（2）先用诱导公式，然后用平方关系变形，再用弦化切计算可得答案.
【小问1详解】
由题意，
又在第三象限，，故解得；
【小问2详解】
.
16. 已知函数的部分图象如图所示，

（1）求的解析式；
（2）当时，求的最值．
【答案】（1）
（2）最小值是－1，最大值是2．
【解析】
【分析】（1）由求，由最小正周期求，由求，可得的解析式；
（2）时，，结合正弦函数的图像和性质，求的最值．
【小问1详解】
∵，，∴；
由图象可知：最小正周期，∴，
又，∴，解得：，
又，∴，∴；
【小问2详解】
当时，，
∴当即时，，
∴当即时，，
∴当时，的最小值是－1，最大值是2．
17. 设函数，.
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，求函数在区间上的值域.
【答案】（1）的最小正周期为，对称中心为；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简函数的解析式为，根据正弦函数的图象与性质即可求解的最小正周期与对称中心；（2）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，判断函数在上的单调性从而求得值域.
【详解】（1）
令，解得，
所以的最小正周期为，对称中心为；
（2）函数的图像向左平移个单位得到函数，
令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以函数在区间上的值域为.
【点睛】本题考查三角恒等变换，求正弦型函数的周期性、对称性与单调性，三角函数图象变换规则，属于中档题.
18. 如图是一种升降装置结构图，支柱垂直水平地面，半径为1的圆形轨道固定在支柱上，轨道最低点，，.液压杆、，牵引杆、，水平横杆均可根据长度自由伸缩，且牵引杆、分别与液压杆、垂直.当液压杆、同步伸缩时，铰点在圆形轨道上滑动，铰点在支柱上滑动，水平横杆作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，使零件之间可围绕铰点转动）.

（1）设劣弧的长为，求水平横杆的长和离水平地面的高度（用表示）；
（2）在升降过程中，求铰点距离的最大值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）轨道圆心为，圆的半径为1，劣弧的长为时，有，由三角函数表示出和的长；
（2）证明出，则，通过换元利用基本不等式求出最大值.
【小问1详解】
记轨道圆心为，则，
设劣弧的长为，则，
得，
.
【小问2详解】
由已知，，，，
则，又，所以，
则，
令，有，.
则，，
因为，当且仅当时，取到等号，
所以铰点距离的最大值为.
【点睛】方法点睛：
求的最大值时，证明，由已知的和，有，通过换元，有，借助基本不等式可求最大值.
19. 设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式．例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式．
（1）若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值；
（2）已知函数在上有3个不同的零点，分别记为，证明：．
【答案】（1）a，b，c，d的值分别为；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用给定的定义，结合和角的余弦化简并求出作答.
（2）利用（1）的结论，求出，再利用和差角的余弦计算作答.
【小问1详解】
依题意，
，
因此，即，则，
所以实数a，b，c，d的值分别为.
【小问2详解】
函数在上有3个不同的零点，即方程在上有3个不同的实根，
令，由（1）知，而，则或或，
于是，则，
而，
所以.
【点睛】思路点睛：由方程的特点，联系切比雪夫多项式，把函数零点问题转化为三角函数求角的问题求解.