2023-2024学年北京市丰台区高二下学期期末练习数学试题（含解析）

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这是一份2023-2024学年北京市丰台区高二下学期期末练习数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=x0A. 0,3B. 0,3C. −1,0)∪(0,4D. −1,4
2.在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是( )
A. 某商品的销售价格与销售量B. 汽车匀速行驶时的路程与时间
C. 气温与冷饮的销售量D. 人的年龄与视力
3.已知命题p：∃x>1，x2+1>0，则¬p是( )
A. ∀x>1，x2+1>0B. ∀x>1，x2+1≤0
C. ∃x>1，x2+1≤0D. ∃x≤1，x2+1≤0
4.已知复数z=11−i，则它的共轭复数z=( )
A. 12+12iB. 12−12iC. −12+12iD. −12−12i
5.下列求导运算错误的是( )
A. 2x3−3x2+5′=6x2−6xB. cs2x′=−sin2x
C. x′=12 xD. xex′=x+1ex
6.已知复数z=x+yi(x,y∈R)，则“x=0”是“复数z对应的点在虚轴上”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数fx=3x2−csx，则( )
A. f−3C. fπ8.若a>0，b>0，且ab=a+b+3，则ab的最小值为( )
A. 1B. 3C. 9D. 10
9.在同一平面直角坐标系内，函数y=fx及其导函数y=f′x的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为0,1，则( )
A. 函数y=fx⋅ex的最大值为1B. 函数y=fx⋅ex的最小值为1
C. 函数y=fxex的最大值为1D. 函数y=fxex的最小值为1
10.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩．老师对甲说：“你不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军．”对丙说：“你不是第2名．”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为( )
A. 44B. 46C. 52D. 54
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.2x−1x6的展开式中的常数项为．
12.已知线性相关的两个变量x和y的取值如下表，且经验回归方程为y=0.95x+a，则．
13.某校举办“品味‘蔬’香，‘勤’满校园”蔬菜种植活动．某小组种植的番茄出芽率(出芽的种子数占总种子数的百分比)为80%，出苗率(出苗的种子数占总种子数的百分比)为70%.若该小组种植的其中一颗种子已经出芽，则它出苗的概率为．
14.能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组实数a，b，c的值依次为．
15.已知函数f(x)=ex(ax2−x−1)(a∈R).给出下列四个结论：
①当a=1时，若f(x)的图象与直线y=m恰有三个公共点，则m的取值范围是(−e,5e2)；
②若f(x)在x=−2处取得极小值，则a的取值范围是(−∞,−12)；
③∀a∈R，曲线y=f(x)总存在两条互相垂直的切线；
④若f(x)存在最小值，则a的取值范围是(0,+∞)．
其中所有正确结论的序号是．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
2024年春节期间，全国各大影院热映《第二十条》、《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《熊出没．逆转时空》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看．
(1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
(2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《第二十条》、《飞驰人生2》，那么共有多少种不同的选择方法？
(3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
17.(本小题12分)
在上个赛季的所有比赛中，某支篮球队的胜负情况及该球队甲球员的上场情况如下表：
(1)求甲球员上场时，该球队获胜的概率；
(2)从表中该球队未获胜的所有场次中随机选取3场，记ξ为甲球员未上场的场数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
18.(本小题12分)
已知函数fx=2x+1x2+2．
(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)求fx的极值．
19.(本小题12分)
随着科技的不断发展，人工智能技术在人类生产生活中的应用越来越广泛．为了解用户对A，B两款人机交互软件(以下简称软件)的满意度，某平台随机选取了仅使用A款软件的用户和仅使用B款软件的用户各500人，采用打分方式进行调查，情况如下图：

根据分数把用户的满意度分为三个等级，如下表：
假设用频率估计概率，且所有用户的打分情况相互独立．
(1)分别估计仅使用A款软件的全体用户和仅使用B款软件的全体用户对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率；
(2)从仅使用A款软件的全体用户中随机选取2人，从仅使用B款软件的全体用户中随机选取1人，估计这3人中恰有1人对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率；
(3)从仅使用A，B两款软件的全体用户中各随机选取10人进行电话回访，记X为仅使用A款软件的10人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，Y为仅使用B款软件的10人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，试比较X，Y的方差DX，DY的大小．(结论不要求证明)
20.(本小题12分)
已知函数fx=2x+1ln−x−ax(a∈R).
(1)若fx在区间−1,0上单调递减，求a的取值范围；
(2)当a=−1时，求证：fx<0．
21.(本小题12分)
已知集合M=1,2,⋅⋅⋅,n(n∈N∗，且n≥4).若集合A，B同时满足下列两个条件，则称集合A，B具有性质P．
条件(1)：A∩B=⌀，A∪B=M，且A，B都至少含有两个元素；
条件(2)：对任意不相等的a1，a2∈A，都有a1+a2∉A，对任意不相等的b1，b2∈B，都有b1b2∉B．
(1)当n=5时，若集合A，B具有性质P，且集合A中恰有三个元素，试写出所有的集合B；
(2)若集合A，B具有性质P，且2∈B，3∈B，求证：n<14；
(3)若存在集合A，B具有性质P，求n的最大值．
答案解析
1.D
【解析】由题意，在数轴上表示出集合A,B，如图所示，
则A∪B=x|−1≤x≤4．
故选：D．
2.C
【解析】对于A，某商品的销售价格与销售量呈负相关关系，故错误；
对于B，汽车匀速行驶时的路程与时间是函数关系，故错误；
对于C，气温与冷饮的销售量呈正相关，故正确；
对于D，人的年龄与视力呈负相关，故错误．
故选：C．
3.B
【解析】方法一：使用命题取否定的通法：
将命题p的特称量词∃x改为全称量词∀x，论域1,+∞不变，结论x2+1>0改为其否定的结论x2+1≤0．
得到命题p的否定¬p是：∀x>1，x2+1≤0．
方法二：命题p的含义是，存在一个1,+∞上的实数x满足x2+1>0．
那么要使该结论不成立，正是要让每个1,+∞上的实数x都不满足x2+1>0．
也就是对任意的1,+∞上的实数x，都有x2+1≤0．
所以p的否定¬p是：∀x>1，x2+1≤0．
故选：B．
4.B
【解析】z=11−i=1+i(1−i)(1+i)=12+12i，∴z=12−12i，
故选：B．
5.B
【解析】A，2x3−3x2+5′=6x2−6x，正确；
B，cs2x′=−2sin2x，B错；
C， x′=(x12)′=12x−12=12 x， C正确；
D，xex′=ex+xex=x+1ex， D正确．
故选：B．
6.C
【解析】x=0时z=yi，对应点在虚轴上，充分性成立，
当复数z对应的点在虚轴上，一定有x=0，必要性成立，
“x=0”是“复数z对应的点在虚轴上”的充分必要条件．
故选：C．
7.D
【解析】函数fx=3x2−csx的定义域为R，且f−x=3−x2−cs−x=3x2−csx=fx，
所以fx=3x2−csx为偶函数，
又f′x=6x+sinx，令gx=f′x=6x+sinx，则g′x=6+csx>0，
所以gx(f′x)在定义域R上单调递增，
又f′0=0，所以当x>0时f′x>0，
所以fx在0,+∞上单调递增，因为e<3<π，所以fe又f−3=f3，所以fe故选：D
8.C
【解析】∵a>0,b>0，
所以ab=a+b+3≥2 ab+3，当且仅当a=b时等号成立，
( ab−3)( ab+1)≥0，所以ab≥9，当且仅当a=b=3时取等号，
故选：C．
9.C
【解析】解：不妨设函数y=f(x)的定义域为−∞,+∞，
从图像成看出实线所表示的函数图像在−∞,+∞上单调递增且一直在x轴上方，
即对应的函数值大于零；
虚线所表示的函数图像在−∞,+∞上有增有减，
但一直在x轴及其上方，即对应的函数值大于或等于零；
所以可以判断实线所表示的函数图像为函数y=f(x)的图像，
虚线所表示的函数图像为其导函数y=f′(x)的图像．
已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为(0,1)，即f(0)=1，且x<0时，f′(x)>f(x)；x>0时，f′(x)对于函数y=f(x)·ex，因为f′(x)⩾0,f(x)>0,ex>0，
所以y′=f′(x)+f(x)·ex>0，函数y=f(x)·ex在−∞,+∞上单调递增，
且x→+∞时,ex→+∞,f(x)→+∞,y=f(x)·ex→+∞；x→−∞时,ex→0,f(x)→0,y=f(x)·ex→0；
所以函数y=f(x)·ex既没有最小值也没有最大值，故A、B均不正确；
对于函数y=f(x)ex，因为x<0时，f′(x)>f(x)，ex>0，
所以y′=f′(x)−f(x)ex>0，函数y=f(x)ex在−∞,0上单调递增；
因为x>0时，f′(x)0，所以y′=f′(x)−f(x)ex<0，
函数y=f(x)ex在0,+∞上单调递减；
又f(0)=1，所以x=0时，函数y=f(x)ex有最大值f0)e0=1.故C正确；D错误．
选C
10.B
【解析】由题意得：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名．甲的限制最多，故先排甲，
有可能是第二、三、四名3种情况；再排乙，也有3种情况；余下3人有A33种排法，
故共有3×3×A33=3×3×3×2×1=54种不同的情况，
假如丙是第2名，则甲有可能是第三、四名2种情况；
再排乙，也有2种情况；余下2人有A22种排法，
故共有2×2×A22=2×2×2×1=8种不同的情况，
由间接法得：满足题意的，5名同学可能的名次排列情况种数为54−8=46种，
故选：B．
11.−160
【解析】2x−1x6展开式通项为：Tr+1=C6r⋅2x6−r⋅−1xr=−1r⋅26−r⋅C6r⋅x6−2r；
令6−2r=0，解得：r=3，∴展开式中的常数项为−13×23×C63=−160．
故答案为：−160．
12.2.6
【解析】由已知可得x=0+1+3+44=2，y=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5，
∴4.5=0.95×2+a=1.9+a
∴a=2.6．
故答案为：2.6．
13.78
【解析】由条件概率可得所求概率为P=70%80%=78．
故答案为：78．
14.−1，−2，−3(答案不唯一)
【解析】解：∵a>b，∴a+b>b+b=2b，又∵b>c，∴2b>2c.∴a+b>2c．
当c<0时，2c2c但是a+b>c．
∴举出a、b、c都小于0，且a+b≥c的例子即可．
∴该命题是假命题的一组数a，b，c的值依次为−1，−2，−3(答案不唯一)．
故答案为−1，−2，−3(答案不唯一)．
15.②④
【解析】对于①，当a=1时，f(x)=ex(x2−x−1)，由f(x)=0，解得x=1± 52，
则当m=0时，f(x)的图象与直线y=m只有两个公共点，而0∈(−e,5e2)，①错误；
对于②，函数f(x)=ex(ax2−x−1)的定义域为R，求导得f′(x)=ex(ax−1)(x+2)，
当a>0时，x<−2，f′(x)>0，−2当a=0时，x<−2，f′(x)>0，x>−2，f′(x)<0，f(x)在x=−2处取得极大值，不符合题意；
当−120，x>−2，f′(x)<0，f(x)在x=−2处取得极大值，不符合题意；
当a=−12时，f′(x)≤0，函数f(x)在R上单调递减，无极值点；
当a<−12时，x<−2，f′(x)<0，−20，f(x)在x=−2处取得极小值，符合题意，
因此f(x)在x=−2处取得极小值时，a的取值范围是(−∞,−12)，②正确；
对于③，当a=−12时，f′(x)=−12ex(x+2)2，假定曲线y=f(x)存在两条互相垂直的切线，
设两条切线对应的切点分别为(x1,f(x1)),(x2,f(x2))，切线斜率分别为f′(x1),f′(x2)，
于是f′(x1)f′(x2)=[−12ex1(x1+2)2]⋅[−12ex2(x2+2)2]>0与f′(x1)⋅f′(x2)=−1矛盾，③错误；
对于④，当a≤0时，x∈(0,+∞)，ax−10,x+20,f′(x)<0，即f(x)在(0,+∞)上单调递减，
此时f(x)<−ex，而函数y=−ex在(0,+∞)的取值集合为(−∞,0)，则f(x)在R上无最小值，
当a>0时，由f′(x)>0，得x<−2或x>1a，由f′(x)<0，得−2即函数f(x)在(−∞,−2),(1a,+∞)上单调递增，在(−2,1a)上单调递减，
则函数f(x)在x=−2处取得极大值，在x=1a处取得极小值，
而当x<−1时，ax2−x−1>0，则f(x)>0恒成立，因此f(x)在x=1a处取得最小值，
于是f(x)存在最小值时，a的取值范围是(0,+∞)，
所以所有正确结论的序号是②④．
故答案为：②④
16.(1)因为4名同学观看的影片均不相同，
所以不同的选择方法共有A44=24种．
(2)因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定，
所以不同的选择方法共有4×4=16种．
(3)因为恰有2名同学选择观看同一部影片，
所以不同的选择方法共有C42C41 A32=6×4×6=144种．
【解析】(1)直接全排列可得；
(2)另外2人观影4部电影，用乘法原理计算可得；
(3)先选2人观看同一部电影，然后再安排另外2人观看其余的3部电影．
17.(1)设事件A=“甲球员上场参加比赛时，该球队获胜”，
则PA=4040+5=89．
(2)表中该球队未获胜的场次共有5+3=8场，其中甲球员上场的场次有5场，未上场的场次有3场，
则ξ的可能取值为0，1，2，3．
Pξ=0=C30C53C83=528，Pξ=1=C31C52C83=1528,
Pξ=2=C32C51C83=1556，Pξ=3=C33C50C83=156．
所以ξ的分布列如下：
所以Eξ=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98．
【解析】(1)运用古典概型求解概率即可；
(2)运用超几何分布求解概率，进而得出ξ的分布列和数学期望Eξ．
18.(1)由已知得f′x=2x2+2−2x2x+1x2+22=−2x2−2x+4x2+22，
所以f′1=0．
因为f1=1，所以切点为1,1，
故曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=1．
(2)由(1)知，f′x=−2x+2x−1x2+22，x∈R．
令f′x>0，得−2令f′x<0，得x<−2或x>1，
所以fx的单调递增区间为−2,1，
单调递减区间为−∞,−2，1,+∞．
所以fx有极小值为f−2=−12，极大值为f1=1．
【解析】(1)求导，利用导数值求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，
(2)由导数确定单调性即可解极值．
19.(1)设事件E=“仅使用A款软件的全体用户对所使用软件的满意度为‘非常满意’”，
事件F=“仅使用B款软件的全体用户对所使用软件的满意度为‘非常满意’”，
则PE=300500=35，PF=250500=12；
(2)设事件C=“这3人中恰有1人对所使用软件的满意度为‘非常满意’”，
则PC=C21×35×25×12+252×12=825；
(3)样本中使用A款软件不满意的概率为140500=725，使用B款软件不满意的概率为180500=925，
且随机选取的10人进行电话回访，
随机变量X服从二项分布，X∼B10,725，即方差为DX=np1−p=10×725×1−725=252125，
随机变量Y服从二项分布，Y∼B10,925，即方差为DY=np1−p=10×925×1−925=288125，
DX【解析】(1)根据古典概型的概率公式即可求解；
(2)根据独立事件的概率乘法公式即可求解；
(3)根据方差的实际意义判断．
20.(1)由已知得f′x=2ln−x+2x+1x−a=2ln−x+1x+2−a，
设gx=2ln−x+1x+2−a，x∈−1,0,
因为fx在区间−1,0上单调递减，
所以x∈−1,0时，gx≤0恒成立．
因为x∈−1,0时，g′x=2x−1x2<0，
所以gx在区间−1,0上单调递减，
所以gx的最大值为g−1=1−a≤0，即a≥1．
当a=1时，符合题意．
所以a≥1．
(2)当a=−1时，fx=2x+1ln−x+x，x<0，
则f′x=2ln−x+2x+1x+1=2ln−x+1x+3．
设ℎx=2ln−x+1x+3,x<0，则ℎ′x=2x−1x2<0，
所以ℎx在区间−∞,0上单调递减．
因为ℎ−1=2>0，ℎ−12=1−2ln2<0，
所以∃x0∈−1,−12，使得ℎx0=2ln−x0+1x0+3=0，
即ln−x0=−3x0+12x0．
当x变化时，ℎx，f′x，fx的变化如下表：
所以fx的最大值为fx0=2x0+1ln−x0+x0
=−3x0+12x0+12x0+x0
=−4x0+1x0+12x0．
因为x0∈−1,−12，所以4x0+1<0，x0+1>0，
所以fx0<0，故fx<0．
【解析】(1)由f′(x)≤0在[−1,0)上恒成立可得，再由导数确定f′(x)的单调性与最值后可得参数范围；
(2)利用导数求得f(x)的最大值，由这个最大值小球0可得证，为此需要对f′(x)的零点x0进行定性确定，然后利用x0的性质写明f(x0)<0．
21.(1)所有的集合B为2,4，3,4，3,5；
(2)记“对任意不相等的a1，a2∈A，都有a1+a2∉A”为条件①，
记“对任意不相等的b1，b2∈B，都有b1b2∉B”为条件②．
由条件②得1∈A．
由2∈B，3∈B和条件②得2×3=6∉B，即6∈A．
由条件①得6−1=5∉A，即5∈B．
由条件②得2×5=10∉B，即10∈A．
由条件①得10−6=4∉A，即4∈B．
由条件②得2×4=8∉B，即8∈A．
由条件①得8+6=14∉A，即14∈B．
由条件①得8−1=7∉A，即7∈B．
由条件②得2×7=14∉B，与14∈B矛盾，
所以14∉M，即n<14
(3)n的最大值为32.证明如下：
一方面，当n=32时，可构造集合A=1,2,4,7,10,15,18,24,27,30，
B=3,5,6,8,9,11,12,13,14,16,17,19,20,21,22,23,25,26,28,29,31,32
具有性质P；
另一方面，当n≥33时，可证明不存在具有性质P的集合A，B．
证明如下：
由(2)知，1∈A，且当2∈B，3∈B时，n<14，
此时不存在具有性质P的集合A，B．
由条件①得2，3不能同时属于集合A．
下面讨论2和3一个属于集合A，一个属于集合B的情况：
(1)当3∈A，2∈B时，由条件①得1+3=4∉A，即4∈B．
由条件②得2×4=8∉B，即8∈A．
由条件①得8−3=5∉A，8−1=7∉A即5∈B，7∈B．
因为2∈B，4∈B，5∈B，7∈B，
由条件②得2×7=14∉B，4×5=20∉B，
即14∈A，20∈A．
由条件①得14−8=6∉A，20−8=12∉A，即6∈B，12∈B．
由条件②得2×6=12∉B，与12∈B矛盾，
此时不存在具有性质P的集合A，B．
(2)当2∈A，3∈B时，由条件②得4，5不能同时属于集合A，
下面分三种情形：
情形一：若4∈A，5∈B，由条件①得2+4=6∉A，即6∈B．
由条件②得3×5=15∉B，3×6=18∉B，即15∈A，18∈A．
由条件①得15+18=33∉A，即33∈B．
由条件①得15−4=11∉A，即11∈B．
由条件②得3×11=33∉B，与33∈B矛盾，
此时不存在具有性质P的集合A，B．
情形二：若5∈A，4∈B，由条件①得1+5=6∉A，2+5=7∉A，
即6∈B，7∈B．
由条件②得4×7=28∉B，即28∈A．
由条件①得5+28=33∉A，即33∈B．
由条件②得3×4=12∉B，即12∈A．
由条件①得12−1=11∉A，即11∈B．
由条件②得3×11=33∉B，与33∈B矛盾，
此时不存在具有性质P的集合A，B．
情形三：若4∈B，5∈B，由条件②得4×5=20∉B，即20∈A．
由条件①得20−2=18∉A，即18∈B．
由条件②得18÷3=6∉B，即6∈A．
由条件①得1+6=7∉A，即7∈B．
由条件②得3×7=21∉B，即21∈A．
由条件②得3×5=15∉B，即15∈A．
由条件①得6+15=21∉A，与21∈A矛盾，
此时不存在具有性质P的集合A,B，
综上，n的最大值为32．
【解析】(1)根据性质可得答案；
(2)记“对任意不相等的a1，a2∈A，都有a1+a2∉A”为条件①，记“对任意不相等的b1，b2∈B，都有b1b2∉B”为条件②，分析条件①②中的元素可得答案；
(3)一方面求出n=32时，可构造集合A、B使其具有性质P；一方面，当n≥33时，可证明不存在具有性质P的集合A，B可得答案．
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
胜负情况甲球员上场情况
获胜
未获胜
上场
40场
5场
未上场
2场
3场
分数
5
4
≤3
满意度
非常满意
满意
不满意
ξ
0
1
2
3
P
528
1528
1556
156
x
−∞,x0
x0
x0,0
ℎx
+
0
−
f′x
+
0
−
fx
单调递增
极大值fx0
单调递减

2023-2024学年北京市丰台区高二下学期期末练习数学试题（含解析）

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