北京市丰台区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试卷（含答案）

这是一份北京市丰台区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了如图，在四面体中，，，等内容，欢迎下载使用。

考生须知
1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2.本次练习所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效。
4.本练习卷满分共150分，作答时长120分钟。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
（A）B.C.D.
2.已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A.B.C.1D.3
3.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则（ ）
A.2B.3C.4D.5
4.已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
5.如图，在四面体中，，，.点在上，且，为的中点，则（ ）
A.B.
C.D.
6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（ ）
A.2B.4C.8D.9
7.月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼.1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则（ ）
A.40B.80C.96D.112
8.已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动.设点，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
9.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一动点.给出下列四个结论：
①存在点，使得平面；
②直线与所成角的最大值为；
③点到平面的距离为；
④点到直线的距离为.
其中所有正确结论的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
10.过双曲线的右焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知向量，，若与共线，则_______.
12.双曲线的渐近线方程为_______.
13.已知等差数列的前项和为，能够说明“对，若，则”是假命题的的一个通项公式为_______.
14.在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，当取最大值时，PQ的长为_______.
15.已知是各项均为正数的无穷数列，其前项和为，且给出下列四个结论：
①；
②各项中的最大值为2；
③，使得；
④，都有.
其中所有正确结论的序号是_______.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
已知等差数列的前项和为，且，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
17.（本小题14分）
如图，在四面体中，平面，，，分别为，的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.
条件①：；
条件②：为等边三角形.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题14分）
已知圆C经过，两点，且圆心在直线上.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线与圆交于D，E两点，求四边形的面积.
19.（本小题15分）
如图，在三棱柱中，中，侧面为正方形，平面平面，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
20.（本小题15分）
已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，上顶点为，的面积为2，椭圆的离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆上不同于顶点的两点M，N关于轴对称，直线与直线交于点，直线与直线交于点.设点，求的值.
21.（本小题14分）
已知数表，，，其中，，分别表示，，中第行第列的数.若，则称是，的生成数表.
（Ⅰ）若数表，，且是，的生成数表，求；
（Ⅱ）对，，
数表，，与满足第i行第j列的数对应相同（）.是，的生成数表，且.
（ⅰ）求，；
（ⅱ）若恒成立，求的最小值.
丰台区2023～2024学年度第一学期期末练习
高二数学参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.12.13.（答案不唯一）
14.215.①②④
（注：15题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.）
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本小题13分）
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，
由题意，，解得.
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
所以
.
7.（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为D，E分别为，的中点，
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（Ⅱ）选条件①：
因为，
所以，即.
因为平面，所以，，
故以为原点，建立如图所示空间直角坐标系.
则，，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则，即.
令，则，，所以.
设直线与平面所成角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为
（Ⅱ）选条件②：
因为平面，所以，.
在直角三角形中，，所以.
因为为等边三角形，所以.
在中，因为，
所以，即.
故以为原点，建立如图所示空间直角坐标系.以下解答过程与选择条件①相同.
18.（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为圆心在直线上，所以设，
由A，B是圆上两点，所以，
即，解得，
所以圆心的坐标为.
圆的半径，
故圆的方程为.
（Ⅱ）过点作的垂线，垂足为，则为线段的中点，
由点到直线的距离公式，得，
所以.
因为，，所以，
直线的方程为.
而直线的方程为，所以，且，
由此得四边形是平行四边形.
因为，之间的距离，
所以平行四边形的面积为，
故四边形的面积为30.
19.（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为侧面为正方形，所以.
又平面平面，
平面平面，
平面，所以平面，
又平面，所以.
又，且，
所以平面，又平面，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，故以为原点，建立如图所示空间直角坐标系.则，，，.
设，其中.
则，
所以，
又.
设平面的一个法向量为，
则，所以，
令，，所以.
由题意，为平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，
所以，
解得，或（舍）.所以.
20.（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意，，，
所以，即，
所以，解得，由此得，
故椭圆的方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，所以直线的方程为.
设，则，所以直线的方程为，
与直线的方程联立，得点的横坐标.
又直线的方程为，与直线的方程联立，
得点的横坐标，
所以
.
因为点在椭圆上，所以，即，
所以.
又，所以P，Q两点关于点对称.
又，，所以A，R两点关于点对称，
所以四边形为平行四边形，即，故.
21.（本小题14分）
解：（Ⅰ）由题意，，，
，，
所以.
（Ⅱ）由题意，当，时有
①
即.
（ⅰ）当时，，解得.
当时，由①得
②
，得.
所以.
又，，，均符合上式，
所以，时，.
（ⅱ）由（ⅰ）知，.
所以对于，，
有
.
由及知，，
所以时，对于，，恒成立.
显然时，恒不成立.
下面证明：对于任意，不能恒成立.
记，
此时.
所以，
即当时，有成立，这与恒成立矛盾.
所以对于任意，不能恒成立.
综上，的最小值为.
（若用其他方法解题，请酌情给分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
C
D
B
B
B
C
D