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数学-宁夏银川一中2023-2024学年度（下）高一期末考试
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这是一份数学-宁夏银川一中2023-2024学年度（下）高一期末考试，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题教师：
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若a=(2,−3,1)，b=(2,0,3)，c=(0,2,2)，则a·(b+c)的值为（ ）
A．4 B．15 C．7 D．3
2．已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α // βB．若m // α，m // β，则α // β
C．若m⊥α，m⊥β，则α//βD．若m // α，n // α，则m // n
3．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为xA和xB，样本标
准差分别为sA和sB，则（ ）
A．xA>xB，sA>sB
B．xAC．xA>xB，sAD．xAsB
4．已知A，B，C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且P(A)=0.2，P(C)=0.7，
则=（ ）
A．0.9B．0.6C．0.5D．0.2
5．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1= 2，
BC=2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角
为（ ）
A．π2B．π3
C．π4D．π6
6．某兴趣小组有3名男生和2名女生，现从中选2人参加公益活动，则至少选中一名女生
的概率为（ ）
A. 110B. 310C. 710D. 910
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，acsB=(2c−b)csA，则
△ABC面积的最大值为（ ）
A．9 34B．9 32C．94D．92
8．《九章算术⋅商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，
一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验
之棊，其形露矣.”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四
棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
如图所示为鳖臑V−ABC，VA⊥平面ABC，AB⊥BC，E，F分别在
棱VB，VC上，且EF⊥VC，AE⊥VB.若VA=4，则三棱锥V−AEF
外接球的体积为（ ）
A．163πB．4 2πC．323πD．16 23π
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．某市7天国庆节假期期间的楼房认
购量(单位：套)与成交量(单位：
套)的折线图如图所示，则以下说
法错误的是（ ）
A．成交量的中位数是16
B．日成交量超过日平均成交量的
有1天
C．认购量越大，则成交量就越大
D．认购量的第一四分位数是100
10．已知事件A，B相互独立，且PA=13，PB=12，则（ ）
A．PA=23B．PAB=13
C．PA+B=23D．PAB+AB=12
11．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为 5，则（ ）
A．圆台的高为2B．圆台的侧面积为3 5π
C．圆台的体积为7πD．圆台的轴截面面积为4π
12．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，F是侧面ADD1A1上的一个动点(含边界)，点E在棱CC1上，且|C1E|=1，则下列结论正确的有（ ）
A．平面AD1E被正方体ABCD−A1B1C1D1截得截面为三角形
B．若DF=FD1，直线AF⊥D1E
C．若F在DD1上，BF+FE的最小值为 57+32 2
D．若DF⊥BD1，点F的轨迹长度为4 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某眼科医院为了了解高中学生的视力情况，利用分层抽样的方法从某高中三个年级中抽取了45人进行问卷调查，其中高一年级抽取了12人，高二年级抽取了15人，且高三年级共有学生540人，则该高中三个年级的学生总数为______人.
14．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为______．
15．甲、乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为60kg，方差为100，乙队体重的平均数为64kg，方差为200，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1:3，那么甲、乙两队全部队员的方差等于 ．
16．电路从A到B上共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡
断路的概率是13，整个电路的连通与否取决于灯泡
是否断路．则从A到B连通的概率是 _________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且∠C=2π3，a=6．
(1)若c=14，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积为3 3，求c的值．
18．(本小题12分)
如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1，D是BC的中点，D1是B1C1
的中点．求证：
(1)A1B//平面AC1D；
(2)平面A1BD1//平面AC1D.
19．(本小题12分)
新高考实行“3+1+2”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考；“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科；“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科.
(1)写出所有选科组合的样本空间.从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率；
(2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率.
20．(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD//BC，BC=6，PA=AD=CD=2，E是BC上一点且BE=23BC，PB⊥AE．
(1)求证：AB⊥平面PAE；
(2)求点C到平面PDE的距离．
21．(本小题12分)
某校在一次期末数学测试中，为统计学生考试情况，从学校2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65,75)，第二组[75,85),⋯第八组[135,145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
(1)根据图表，计算第七组的频率，并估计该
校的2000名学生这次考试成绩的平均分(同一
组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据
平均值)；
(2)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值不超过10分的概率．
22．(本小题12分)
如图，在四棱锥中，BC⊥平面，，且，是的中点．
(1)证明：；
(2)若，直线与直线所成角的余弦值为．
（ⅰ）求直线与平面所成角；
（ⅱ）求二面角的余弦值．
高一期末数学试卷参考答案(2024下)
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标运算以及空间向量的数量积，属于基础题．
先计算b+c，然后与a进行数量积运算．
【解答】
解：∵b=(2,0,3)，c=(0,2,2)，
∴b+c=(2,2,5)，
∵a=(2,−3,1)，
∴a·(b+c)=4−6+5=3．
故选D．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与平面，平面与平面的位置关系，属于基础题．
根据直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断即可．
【解答】
解：A.若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能平行或者相交，故A错误；
B.若m //α，m//β，则α，β可能平行或者相交，故B错误；
C.若m⊥α，n⊥α，则根据垂直于同一直线的两平面平行，可知α//β正确，故C正确；
D.若m //α，n//α，则m，n也有可能相交或异面，故D错误．
故选C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平均数、标准差的大小的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，判断平均数大小;由A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，判断标准差的大小．
【解答】
解：由图可得样本A的数据都在10及以下，样本B的数据都在10及以上，所以xAsB．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查对立事件概率公式、互斥事件概率加法公式能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用对立事件概率公式先求出P(B)=1−P(C)，再由互斥事件概率加法公式能求出P(A∪B)=P(A)+P(B)的值．
【解答】
解：因为事件 B 与事件 C 互为对立，所以 PB=1−PC=0.3 ，
因为事件 A 与事件 B 互斥，
则 PA∪B=PA+PB=0.5 ，
故选：C．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了异面直线所成的角，属中档题．
取B1C1的中点E，连A1E，DE，CE，则A1E//AD，所以异面直线AD与A1C所成角是∠EA1C或其补角，在三角形A1EC中由余弦定理可得结果．
【解答】解：取B1C1的中点E，连A1E，DE，CE，
则DE//BB1//AA1，且DE=BB1=AA1，
则四边形ADEA1为平行四边形，
∴A1E//AD，
所以异面直线AD与A1C所成角是∠EA1C或其补角，
∵AB=AC=AA1= 2,BC=2，
∴A1E=AD= AB2−BD2=1，
EC= C1C2+C1E2= 3，
A1C= A1A2+AC2=2，
在△A1EC中，由余弦定理可得
cs∠EA1C=A1E2+A1C2−EC22A1E·A1C=1+4−32×1×2=12，
因为0<∠EA1C<π，
所以∠EA1C=π3，
即异面直线AD与A1C所成的角为π3，
故选B．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查古典概型的计算，考查学生数学应用能力，属于基础题．
记2名女生分别为A，B，3名男生分别为a，b，c，将任选两名学生的所有情况写出来，再找出两名学生都是男生的情况，利用对立事件即可求出至少选中一名女生的概率．
【解答】
解：记2名女生分别为A，B，3名男生分别为a，b，c，
则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，
其中恰好选中2名男生有ab，ac，bc，共3种情况，
则恰好选中2名男生的概率为310，
所以至少选中一名女生的概率为1−310=710．
故本题选C．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查正余弦定理，考查三角形面积公式，考查两角和的正弦公式，考查基本不等式，属于一般题．
由正弦定理及两角和的正弦公式可得csA=12，从而可得A=π3，再根据余弦定理及基本不等式可求bc⩽9，最后根据三角形面积公式即可求解．
【解答】
解：根据acsB=(2c−b)csA及正弦定理可得sinAcsB=(2sinC−sinB)csA，
即sinAcsB+csAsinB=2sinCcsA，即sin(A+B)=2sinCcsA，
即sinC=2sinCcsA．
因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，
所以csA=12．
因为A∈(0,π)，所以A=π3．
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=b2+c2−92bc=12，
所以bc=b2+c2−9⩾2bc−9，可得bc⩽9，当且仅当b=c=3时等号成立，
所以S△ABC=12bcsinA= 34bc⩽9 34，即△ABC面积的最大值为9 34．
8.【答案】C
【解析】解：∵VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴VA⊥BC，
∵AB⊥BC，VA∩AB=A，∴BC⊥平面VAB，而BC⊂平面VBC，可得平面VBC⊥平面VAB，
∵平面VBC∩平面VAB=VB，AE⊥VB，AE⊂平面VAB，∴AE⊥平面VBC，则AE⊥VC，
又EF⊥VC，AE∩EF=E，∴VC⊥平面AEF，可得VC⊥AF，
∵AE⊥VB，AF⊥VC，∴VA为三棱锥V−AEF外接球的直径，则半径R=12VA=2．
∴三棱锥V−AEF外接球的体积为43π×23=323π．
故选：C．
由已知证明VC⊥AF，可得VA为三棱锥V−AEF外接球的直径，求出外接球的半径，代入球的体积公式得答案．
本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了统计的整理分析，属于基础题．
利用图中数据判断即可解得．
【解答】
解：由图中日成交量的数据13，8，32，16，26，38，166．
故可得中位数为26，可知选项A错误；
由图中折线可知：日平均成交量=13+8+32+16+26+38+1667≈43，
日成交量超过日平均成交量的只有10月7日1天，故选项B正确；
由折线可知日认购量与日期不是正相关关系，故选项C错误；
由图中折线可知选项D正确．
故选AC．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．
根据相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果．
【解答】
解：对于A：∵P(A)=13，P(A)=1−PA=1−13=23，故A正确．
对于B：P(AB)=P(A)·P(B)=13×1−P(B)=13×12=16，故B错误．
对于C：P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB )=13+12−13×12=23，故C正确。
对于D：P(AB+AB)=PAB+PAB−P(AB·AB)=13×12+23×12−0=12，故D正确．
故选ACD．
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查圆台的结构特征，圆台的表面积与体积，考查运算求解能力，属于基础题．
作出圆台的轴截面，由圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线长为 5，能求出该圆台的高，从而根据侧面积公式，体积公式及圆台轴截面特点计算求解即可．
【解答】
【解答】
解：如图是圆台的轴截面，
圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线长为 5，
则该圆台的高 5−(2−1)2=2，A正确；
圆台的侧面积为π(1+2)× 5=3 5π，B正确；
圆台体积为13π(12+22+1×2)×2=143π，C错误；
圆台的轴截面面积为12(2+4)×2=6，D错误．
故选AB．
12.【答案】CD
【解析】解：A：过E作EG//BC1交BC于G，又AD1//BC1，故AD 1//EG，
∴平面AD1E被正方体ABCD−A1B1C1D1截得截面为四边形，因此A错误；
B：取CH=14CC1，又DF=FD1，|C1E|=1，则FD1=EH=2，
显然FD1//EH，
∴FHED1为平行四边形，∴FH//ED1，
连接AH，而AF=2 5,FH= 17,AH= 33，
显然AF2+FH2≠AH2，即AF，FH不垂直，
∴AF⊥D1E不成立，因此B错误；
C：将面BB1D1D与面CC1D1D展开在一个平面内，如下图，
要使BF+FE最小，只需B，F，E共线，
则最小为BE= 32+16( 2+1)2= 57+32 2，因此C正确；
D：如下图中BB1⊥面A1B1C1D1，A1C1⊂面A1B1C1D1，
则BB1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，
BB1∩B1D1=B1，BB1，B1D1⊂面BB1D1，
则A1C1⊥面BB1D1，BD1⊂面BB1D1，
∴A1C1⊥BD1，同理可证A1D⊥BD1，A1C1∩A1D=A1，
且A1C1，A1D⊂面A1C1D，
∴BD1⊥面A1C1D，要使DF⊥BD1，且F是侧面ADD1A1上
的一个动点(含边界)，
∴F的轨迹为线段DA1，长度为4 2，因此D正确．
故选：CD．
过E作EG//BC1交BC于G，结合平面的基本性质找到截面判断A；取CH=14CC1，结合DF=FD1，易得FH//ED1，在三角形AFH中用勾股逆定理判断直线是否垂直判断B；将面BB1D1D与面CC1D1D展开在一个平面内，利用两点距离最短为线段求最小值判断C；首先证BD1⊥面A1C1D，再判断F的轨迹得长度判断D．
本题考查了空间位置关系与距离，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】1350
【解析】解：由题意可知，高三年级抽取了45−12−15=18人，
设该高中三个年级的学生总数为x人，
则540x=1845，解得x=1350．
故答案为：1350．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
14.【答案】 105
【解析】解：取AB的中点F，连接B1F，则B1F//AE，
故AE与平面ABC1D1所成角和B1F与平面ABC1D1所成角相等，
连接B1C交BC1于点G，则B1G⊥BC1，
∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1G，
∴B1G⊥平面ABC1D1，
∴∠B1FG为B1F与平面ABC1D1所成角，
设正方体棱长为a，则B1G= 22a，B1F= 52a，
∴sin∠B1FG=B1GB1F= 105．
故答案为： 105
作出B1F与平面ABC1D1所成角，根据AE//B1F即可得出答案．
本题考查了直线与平面所成角的计算，属于基础题．
15.【答案】178
【解析】【分析】
本题考查了平均数与方差求解，考查了学生的计算能力，属于一般题．
由题意，根据甲乙队的人数之比为1:3，以及甲乙两队的平均值与方差，利用公式求解即可．
【解答】
解：由题意可知甲队的平均数为60，乙队体重的平均数为64，
甲队队员在所有队员中所占权重为11+3=14，
乙队队员在所有队员中所占权重为31+3=34，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为x−=14×60+34×64=63，
甲、乙两队全部队员体重的方差为s2=14[100+(60−63)2]+34[200+(64−63)2]=178．
故答案为178．
16.【答案】448729
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，根据条件求出A到C连通的概率为89；D到B连通的概率为5681，即可求出A到B连通的概率，属于中档题．
【解答】
解：由题意可知A到C连通的概率为1−13×13=89；
E到F连通的概率为23×23=49，
故D到B连通的概率为1−1−49×1−49=5681，
所以A到B连通的概率为89×5681=448729．
17. 【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理得asinA=csinC，
∴sinA=acsinC，即sinA=614sin2π3=3 314．
(2)∵S△ABC=12absinC，
则3 3=12×6b·sin2π3，
解得b=2，
又∵c2=a2+b2−2abcsC，
∴c2=4+36−2×2×6×(−12)=52，
∴c=2 13．
【解析】本题考查了三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理，属于基础题．
(1)利用正弦定理即可得出；
(2)利用三角形的面积公式求出b，再利用余弦定理即可得出结果．
18.【答案】证明：(1)由题意，ABC−A1B1C1是三棱柱，
连接A1C，与AC1交于O，连接DO，可得A1B//DO，
∵DO⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，
∴A1B//平面AC1D.
(2)∵D是BC的中点，D1是B1C1的中点，
∴D1C1= //BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，
∴D1B//C1D，
又D1B⊄平面AC1D，C1D⊂平面AC1D，
∴D1B//平面AC1D，
∵由(1)可知A1B//平面AC1D，
又D1B∩A1B=B，D1B、A1B⊂平面A1BD1，
∴平面A1BD1//平面AC1D.
【解析】本题考查了线面平行和面面平行的证明，转化为线线平行证明即可，属于基础题．
(1)证明线面平行，转化为线线平行即可，连接A1C，与AC1交于O，连接DO，可得A1B//DO，即可证明；
(2)由D是BC的中点，D1是B1C1的中点，可得D1B//C1D，即可得D1B//平面AC1D，由(1)可知A1B//平面AC1D，即可证明平面A1BD1//平面AC1D.
19.【答案】
（1）依题意，样本空间为{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化生，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政}，，
记事件“所选组合符合该大学某专业报考条件”，则{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政}，，所以.
（2）记事件“甲符合该大学某专业报考条件”，
事件“乙符合该大学某专业报考条件”，
事件“甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”，
由（1）可知，，
所以.
【解析】（1）利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果；
（2）根据对立事件概率公式和独立事件的乘法公式可求出结果.
20.【答案】(Ⅰ)证明：∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
∴PA⊥AE，
又∵PB⊥AE，PB∩PA=P，PB、PA⊂平面PAB，
∴AE⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，
∴AE⊥AB．
又∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，
又PA∩AE=A，PA、AE⊂平面PAE，
∴AB⊥平面PAE，
(Ⅱ)解：由EC=13BC=2=AD，且ABCD为梯形，AD//EC，且AD=DC=2，
则ADCE为菱形，所以AE=2，
由(1)得，AB⊥AE，又BE=4，所以∠ABE=30°，
则∠AEC=120°
从而有△CDE是边长为2的等边三角形．
在△PDE中：PE=PD=2 2，DE=2，
设C到平面PDE的距离为ℎ，
由VP−ECD=VC−PDE得13S△ECD⋅PA=13S△PDE⋅ℎ，
13×12×2× 3×2=13×12×2× 8−1×ℎ，
解得ℎ=2 217，
即C到平面PDE的距离为2 217．
【解析】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查三棱锥体积的计算，属于中档题．
(Ⅰ)证明AE⊥平面PAB，可得AE⊥AB.利用PA⊥AB，即可证明AB⊥平面PAE；
(Ⅱ)由VP−ECD=VC−PDE得点C到平面PDE的距离．
21.【答案】解：(1)由频率分布直方图得第七组的频率为：
1−0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004×10=0.08．
用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：
x=70×0.04+80×0.12+90×0.16+100×0.3+110×0.2+120×0.06
+130×0.08+140×0.04=102．
(2)样本成绩属于第六组的有0.006×10×50=3人，设为A,B,C，
样本成绩属于第八组的有0.004×10×50=2人，设为a,b，
从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，
基本事件有：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10个，
他们的分差的绝对值不超过10分包含的基本事件个数AB，AC，BC，ab共4个，
∴他们的分差的绝对值不超过10分的概率p=410=25．
【解析】本题考查频率分布直方图，考查平均数及古典概型的计算与应用，属于中档题．
(1)由频率分布直方图得第七组的频率，再计算该校的2000名学生这次考试成绩的平均分；
(2)求出样本成绩属于第六组的有3人，设为A,B,C，样本成绩属于第八组的有2人，设为a,b， 即可得基本事件有共10个，他们的分差的绝对值不超过10分包含的基本事件个数共4个，即可得概率.
22.【答案】(1)证明见解析. (2)（ⅰ）；（ⅱ）.
（1）取的中点，连接，由平面，，得平面，而平面，则，由为的中点，得，
则四边形是平行四边形，因此，
所以.
（2）
（ⅰ）由为的中点，，则，而，
平面，于是平面，平面，
则，由，得直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，为，
在中，，而，
解得，则，由平面，得直线与平面所成角为，
显然，则，
所以直线与平面所成角为.
（ⅱ）过作于，由（ⅰ）可得，为等腰三角形，
，，由三角形面积法得，
由勾股定理得，过作交于，与延长线交于点，
在直角梯形中，，则，
，显然∽，则，
于是，，为线段的中点，
显然是二面角的平面角，在正中，，
由平面，平面，则，平面，
于是平面，而平面，则，，
所以二面角的余弦值.
【解析】
（1）取的中点，利用线面垂直的性质、异面直线垂直推理即得.
（2）（ⅰ）利用线面垂直的判定性质证得，再由异面直线夹角余弦求出，确定线面角并求出大小；（ⅱ）过作于，过作交于，再借助图形求出二面角的余弦值
命题教师：
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若a=(2,−3,1)，b=(2,0,3)，c=(0,2,2)，则a·(b+c)的值为（ ）
A．4 B．15 C．7 D．3
2．已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α // βB．若m // α，m // β，则α // β
C．若m⊥α，m⊥β，则α//βD．若m // α，n // α，则m // n
3．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为xA和xB，样本标
准差分别为sA和sB，则（ ）
A．xA>xB，sA>sB
B．xA
4．已知A，B，C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且P(A)=0.2，P(C)=0.7，
则=（ ）
A．0.9B．0.6C．0.5D．0.2
5．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1= 2，
BC=2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角
为（ ）
A．π2B．π3
C．π4D．π6
6．某兴趣小组有3名男生和2名女生，现从中选2人参加公益活动，则至少选中一名女生
的概率为（ ）
A. 110B. 310C. 710D. 910
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，acsB=(2c−b)csA，则
△ABC面积的最大值为（ ）
A．9 34B．9 32C．94D．92
8．《九章算术⋅商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，
一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验
之棊，其形露矣.”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四
棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
如图所示为鳖臑V−ABC，VA⊥平面ABC，AB⊥BC，E，F分别在
棱VB，VC上，且EF⊥VC，AE⊥VB.若VA=4，则三棱锥V−AEF
外接球的体积为（ ）
A．163πB．4 2πC．323πD．16 23π
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．某市7天国庆节假期期间的楼房认
购量(单位：套)与成交量(单位：
套)的折线图如图所示，则以下说
法错误的是（ ）
A．成交量的中位数是16
B．日成交量超过日平均成交量的
有1天
C．认购量越大，则成交量就越大
D．认购量的第一四分位数是100
10．已知事件A，B相互独立，且PA=13，PB=12，则（ ）
A．PA=23B．PAB=13
C．PA+B=23D．PAB+AB=12
11．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为 5，则（ ）
A．圆台的高为2B．圆台的侧面积为3 5π
C．圆台的体积为7πD．圆台的轴截面面积为4π
12．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，F是侧面ADD1A1上的一个动点(含边界)，点E在棱CC1上，且|C1E|=1，则下列结论正确的有（ ）
A．平面AD1E被正方体ABCD−A1B1C1D1截得截面为三角形
B．若DF=FD1，直线AF⊥D1E
C．若F在DD1上，BF+FE的最小值为 57+32 2
D．若DF⊥BD1，点F的轨迹长度为4 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某眼科医院为了了解高中学生的视力情况，利用分层抽样的方法从某高中三个年级中抽取了45人进行问卷调查，其中高一年级抽取了12人，高二年级抽取了15人，且高三年级共有学生540人，则该高中三个年级的学生总数为______人.
14．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为______．
15．甲、乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为60kg，方差为100，乙队体重的平均数为64kg，方差为200，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1:3，那么甲、乙两队全部队员的方差等于 ．
16．电路从A到B上共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡
断路的概率是13，整个电路的连通与否取决于灯泡
是否断路．则从A到B连通的概率是 _________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且∠C=2π3，a=6．
(1)若c=14，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积为3 3，求c的值．
18．(本小题12分)
如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1，D是BC的中点，D1是B1C1
的中点．求证：
(1)A1B//平面AC1D；
(2)平面A1BD1//平面AC1D.
19．(本小题12分)
新高考实行“3+1+2”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考；“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科；“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科.
(1)写出所有选科组合的样本空间.从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率；
(2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率.
20．(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD//BC，BC=6，PA=AD=CD=2，E是BC上一点且BE=23BC，PB⊥AE．
(1)求证：AB⊥平面PAE；
(2)求点C到平面PDE的距离．
21．(本小题12分)
某校在一次期末数学测试中，为统计学生考试情况，从学校2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65,75)，第二组[75,85),⋯第八组[135,145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
(1)根据图表，计算第七组的频率，并估计该
校的2000名学生这次考试成绩的平均分(同一
组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据
平均值)；
(2)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值不超过10分的概率．
22．(本小题12分)
如图，在四棱锥中，BC⊥平面，，且，是的中点．
(1)证明：；
(2)若，直线与直线所成角的余弦值为．
（ⅰ）求直线与平面所成角；
（ⅱ）求二面角的余弦值．
高一期末数学试卷参考答案(2024下)
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标运算以及空间向量的数量积，属于基础题．
先计算b+c，然后与a进行数量积运算．
【解答】
解：∵b=(2,0,3)，c=(0,2,2)，
∴b+c=(2,2,5)，
∵a=(2,−3,1)，
∴a·(b+c)=4−6+5=3．
故选D．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与平面，平面与平面的位置关系，属于基础题．
根据直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断即可．
【解答】
解：A.若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能平行或者相交，故A错误；
B.若m //α，m//β，则α，β可能平行或者相交，故B错误；
C.若m⊥α，n⊥α，则根据垂直于同一直线的两平面平行，可知α//β正确，故C正确；
D.若m //α，n//α，则m，n也有可能相交或异面，故D错误．
故选C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平均数、标准差的大小的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，判断平均数大小;由A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，判断标准差的大小．
【解答】
解：由图可得样本A的数据都在10及以下，样本B的数据都在10及以上，所以xA
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查对立事件概率公式、互斥事件概率加法公式能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用对立事件概率公式先求出P(B)=1−P(C)，再由互斥事件概率加法公式能求出P(A∪B)=P(A)+P(B)的值．
【解答】
解：因为事件 B 与事件 C 互为对立，所以 PB=1−PC=0.3 ，
因为事件 A 与事件 B 互斥，
则 PA∪B=PA+PB=0.5 ，
故选：C．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了异面直线所成的角，属中档题．
取B1C1的中点E，连A1E，DE，CE，则A1E//AD，所以异面直线AD与A1C所成角是∠EA1C或其补角，在三角形A1EC中由余弦定理可得结果．
【解答】解：取B1C1的中点E，连A1E，DE，CE，
则DE//BB1//AA1，且DE=BB1=AA1，
则四边形ADEA1为平行四边形，
∴A1E//AD，
所以异面直线AD与A1C所成角是∠EA1C或其补角，
∵AB=AC=AA1= 2,BC=2，
∴A1E=AD= AB2−BD2=1，
EC= C1C2+C1E2= 3，
A1C= A1A2+AC2=2，
在△A1EC中，由余弦定理可得
cs∠EA1C=A1E2+A1C2−EC22A1E·A1C=1+4−32×1×2=12，
因为0<∠EA1C<π，
所以∠EA1C=π3，
即异面直线AD与A1C所成的角为π3，
故选B．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查古典概型的计算，考查学生数学应用能力，属于基础题．
记2名女生分别为A，B，3名男生分别为a，b，c，将任选两名学生的所有情况写出来，再找出两名学生都是男生的情况，利用对立事件即可求出至少选中一名女生的概率．
【解答】
解：记2名女生分别为A，B，3名男生分别为a，b，c，
则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，
其中恰好选中2名男生有ab，ac，bc，共3种情况，
则恰好选中2名男生的概率为310，
所以至少选中一名女生的概率为1−310=710．
故本题选C．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查正余弦定理，考查三角形面积公式，考查两角和的正弦公式，考查基本不等式，属于一般题．
由正弦定理及两角和的正弦公式可得csA=12，从而可得A=π3，再根据余弦定理及基本不等式可求bc⩽9，最后根据三角形面积公式即可求解．
【解答】
解：根据acsB=(2c−b)csA及正弦定理可得sinAcsB=(2sinC−sinB)csA，
即sinAcsB+csAsinB=2sinCcsA，即sin(A+B)=2sinCcsA，
即sinC=2sinCcsA．
因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，
所以csA=12．
因为A∈(0,π)，所以A=π3．
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=b2+c2−92bc=12，
所以bc=b2+c2−9⩾2bc−9，可得bc⩽9，当且仅当b=c=3时等号成立，
所以S△ABC=12bcsinA= 34bc⩽9 34，即△ABC面积的最大值为9 34．
8.【答案】C
【解析】解：∵VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴VA⊥BC，
∵AB⊥BC，VA∩AB=A，∴BC⊥平面VAB，而BC⊂平面VBC，可得平面VBC⊥平面VAB，
∵平面VBC∩平面VAB=VB，AE⊥VB，AE⊂平面VAB，∴AE⊥平面VBC，则AE⊥VC，
又EF⊥VC，AE∩EF=E，∴VC⊥平面AEF，可得VC⊥AF，
∵AE⊥VB，AF⊥VC，∴VA为三棱锥V−AEF外接球的直径，则半径R=12VA=2．
∴三棱锥V−AEF外接球的体积为43π×23=323π．
故选：C．
由已知证明VC⊥AF，可得VA为三棱锥V−AEF外接球的直径，求出外接球的半径，代入球的体积公式得答案．
本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了统计的整理分析，属于基础题．
利用图中数据判断即可解得．
【解答】
解：由图中日成交量的数据13，8，32，16，26，38，166．
故可得中位数为26，可知选项A错误；
由图中折线可知：日平均成交量=13+8+32+16+26+38+1667≈43，
日成交量超过日平均成交量的只有10月7日1天，故选项B正确；
由折线可知日认购量与日期不是正相关关系，故选项C错误；
由图中折线可知选项D正确．
故选AC．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．
根据相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果．
【解答】
解：对于A：∵P(A)=13，P(A)=1−PA=1−13=23，故A正确．
对于B：P(AB)=P(A)·P(B)=13×1−P(B)=13×12=16，故B错误．
对于C：P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB )=13+12−13×12=23，故C正确。
对于D：P(AB+AB)=PAB+PAB−P(AB·AB)=13×12+23×12−0=12，故D正确．
故选ACD．
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查圆台的结构特征，圆台的表面积与体积，考查运算求解能力，属于基础题．
作出圆台的轴截面，由圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线长为 5，能求出该圆台的高，从而根据侧面积公式，体积公式及圆台轴截面特点计算求解即可．
【解答】
【解答】
解：如图是圆台的轴截面，
圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线长为 5，
则该圆台的高 5−(2−1)2=2，A正确；
圆台的侧面积为π(1+2)× 5=3 5π，B正确；
圆台体积为13π(12+22+1×2)×2=143π，C错误；
圆台的轴截面面积为12(2+4)×2=6，D错误．
故选AB．
12.【答案】CD
【解析】解：A：过E作EG//BC1交BC于G，又AD1//BC1，故AD 1//EG，
∴平面AD1E被正方体ABCD−A1B1C1D1截得截面为四边形，因此A错误；
B：取CH=14CC1，又DF=FD1，|C1E|=1，则FD1=EH=2，
显然FD1//EH，
∴FHED1为平行四边形，∴FH//ED1，
连接AH，而AF=2 5,FH= 17,AH= 33，
显然AF2+FH2≠AH2，即AF，FH不垂直，
∴AF⊥D1E不成立，因此B错误；
C：将面BB1D1D与面CC1D1D展开在一个平面内，如下图，
要使BF+FE最小，只需B，F，E共线，
则最小为BE= 32+16( 2+1)2= 57+32 2，因此C正确；
D：如下图中BB1⊥面A1B1C1D1，A1C1⊂面A1B1C1D1，
则BB1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，
BB1∩B1D1=B1，BB1，B1D1⊂面BB1D1，
则A1C1⊥面BB1D1，BD1⊂面BB1D1，
∴A1C1⊥BD1，同理可证A1D⊥BD1，A1C1∩A1D=A1，
且A1C1，A1D⊂面A1C1D，
∴BD1⊥面A1C1D，要使DF⊥BD1，且F是侧面ADD1A1上
的一个动点(含边界)，
∴F的轨迹为线段DA1，长度为4 2，因此D正确．
故选：CD．
过E作EG//BC1交BC于G，结合平面的基本性质找到截面判断A；取CH=14CC1，结合DF=FD1，易得FH//ED1，在三角形AFH中用勾股逆定理判断直线是否垂直判断B；将面BB1D1D与面CC1D1D展开在一个平面内，利用两点距离最短为线段求最小值判断C；首先证BD1⊥面A1C1D，再判断F的轨迹得长度判断D．
本题考查了空间位置关系与距离，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】1350
【解析】解：由题意可知，高三年级抽取了45−12−15=18人，
设该高中三个年级的学生总数为x人，
则540x=1845，解得x=1350．
故答案为：1350．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
14.【答案】 105
【解析】解：取AB的中点F，连接B1F，则B1F//AE，
故AE与平面ABC1D1所成角和B1F与平面ABC1D1所成角相等，
连接B1C交BC1于点G，则B1G⊥BC1，
∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1G，
∴B1G⊥平面ABC1D1，
∴∠B1FG为B1F与平面ABC1D1所成角，
设正方体棱长为a，则B1G= 22a，B1F= 52a，
∴sin∠B1FG=B1GB1F= 105．
故答案为： 105
作出B1F与平面ABC1D1所成角，根据AE//B1F即可得出答案．
本题考查了直线与平面所成角的计算，属于基础题．
15.【答案】178
【解析】【分析】
本题考查了平均数与方差求解，考查了学生的计算能力，属于一般题．
由题意，根据甲乙队的人数之比为1:3，以及甲乙两队的平均值与方差，利用公式求解即可．
【解答】
解：由题意可知甲队的平均数为60，乙队体重的平均数为64，
甲队队员在所有队员中所占权重为11+3=14，
乙队队员在所有队员中所占权重为31+3=34，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为x−=14×60+34×64=63，
甲、乙两队全部队员体重的方差为s2=14[100+(60−63)2]+34[200+(64−63)2]=178．
故答案为178．
16.【答案】448729
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，根据条件求出A到C连通的概率为89；D到B连通的概率为5681，即可求出A到B连通的概率，属于中档题．
【解答】
解：由题意可知A到C连通的概率为1−13×13=89；
E到F连通的概率为23×23=49，
故D到B连通的概率为1−1−49×1−49=5681，
所以A到B连通的概率为89×5681=448729．
17. 【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理得asinA=csinC，
∴sinA=acsinC，即sinA=614sin2π3=3 314．
(2)∵S△ABC=12absinC，
则3 3=12×6b·sin2π3，
解得b=2，
又∵c2=a2+b2−2abcsC，
∴c2=4+36−2×2×6×(−12)=52，
∴c=2 13．
【解析】本题考查了三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理，属于基础题．
(1)利用正弦定理即可得出；
(2)利用三角形的面积公式求出b，再利用余弦定理即可得出结果．
18.【答案】证明：(1)由题意，ABC−A1B1C1是三棱柱，
连接A1C，与AC1交于O，连接DO，可得A1B//DO，
∵DO⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，
∴A1B//平面AC1D.
(2)∵D是BC的中点，D1是B1C1的中点，
∴D1C1= //BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，
∴D1B//C1D，
又D1B⊄平面AC1D，C1D⊂平面AC1D，
∴D1B//平面AC1D，
∵由(1)可知A1B//平面AC1D，
又D1B∩A1B=B，D1B、A1B⊂平面A1BD1，
∴平面A1BD1//平面AC1D.
【解析】本题考查了线面平行和面面平行的证明，转化为线线平行证明即可，属于基础题．
(1)证明线面平行，转化为线线平行即可，连接A1C，与AC1交于O，连接DO，可得A1B//DO，即可证明；
(2)由D是BC的中点，D1是B1C1的中点，可得D1B//C1D，即可得D1B//平面AC1D，由(1)可知A1B//平面AC1D，即可证明平面A1BD1//平面AC1D.
19.【答案】
（1）依题意，样本空间为{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化生，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政}，，
记事件“所选组合符合该大学某专业报考条件”，则{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政}，，所以.
（2）记事件“甲符合该大学某专业报考条件”，
事件“乙符合该大学某专业报考条件”，
事件“甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”，
由（1）可知，，
所以.
【解析】（1）利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果；
（2）根据对立事件概率公式和独立事件的乘法公式可求出结果.
20.【答案】(Ⅰ)证明：∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
∴PA⊥AE，
又∵PB⊥AE，PB∩PA=P，PB、PA⊂平面PAB，
∴AE⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，
∴AE⊥AB．
又∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，
又PA∩AE=A，PA、AE⊂平面PAE，
∴AB⊥平面PAE，
(Ⅱ)解：由EC=13BC=2=AD，且ABCD为梯形，AD//EC，且AD=DC=2，
则ADCE为菱形，所以AE=2，
由(1)得，AB⊥AE，又BE=4，所以∠ABE=30°，
则∠AEC=120°
从而有△CDE是边长为2的等边三角形．
在△PDE中：PE=PD=2 2，DE=2，
设C到平面PDE的距离为ℎ，
由VP−ECD=VC−PDE得13S△ECD⋅PA=13S△PDE⋅ℎ，
13×12×2× 3×2=13×12×2× 8−1×ℎ，
解得ℎ=2 217，
即C到平面PDE的距离为2 217．
【解析】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查三棱锥体积的计算，属于中档题．
(Ⅰ)证明AE⊥平面PAB，可得AE⊥AB.利用PA⊥AB，即可证明AB⊥平面PAE；
(Ⅱ)由VP−ECD=VC−PDE得点C到平面PDE的距离．
21.【答案】解：(1)由频率分布直方图得第七组的频率为：
1−0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004×10=0.08．
用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：
x=70×0.04+80×0.12+90×0.16+100×0.3+110×0.2+120×0.06
+130×0.08+140×0.04=102．
(2)样本成绩属于第六组的有0.006×10×50=3人，设为A,B,C，
样本成绩属于第八组的有0.004×10×50=2人，设为a,b，
从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，
基本事件有：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10个，
他们的分差的绝对值不超过10分包含的基本事件个数AB，AC，BC，ab共4个，
∴他们的分差的绝对值不超过10分的概率p=410=25．
【解析】本题考查频率分布直方图，考查平均数及古典概型的计算与应用，属于中档题．
(1)由频率分布直方图得第七组的频率，再计算该校的2000名学生这次考试成绩的平均分；
(2)求出样本成绩属于第六组的有3人，设为A,B,C，样本成绩属于第八组的有2人，设为a,b， 即可得基本事件有共10个，他们的分差的绝对值不超过10分包含的基本事件个数共4个，即可得概率.
22.【答案】(1)证明见解析. (2)（ⅰ）；（ⅱ）.
（1）取的中点，连接，由平面，，得平面，而平面，则，由为的中点，得，
则四边形是平行四边形，因此，
所以.
（2）
（ⅰ）由为的中点，，则，而，
平面，于是平面，平面，
则，由，得直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，为，
在中，，而，
解得，则，由平面，得直线与平面所成角为，
显然，则，
所以直线与平面所成角为.
（ⅱ）过作于，由（ⅰ）可得，为等腰三角形，
，，由三角形面积法得，
由勾股定理得，过作交于，与延长线交于点，
在直角梯形中，，则，
，显然∽，则，
于是，，为线段的中点，
显然是二面角的平面角，在正中，，
由平面，平面，则，平面，
于是平面，而平面，则，，
所以二面角的余弦值.
【解析】
（1）取的中点，利用线面垂直的性质、异面直线垂直推理即得.
（2）（ⅰ）利用线面垂直的判定性质证得，再由异面直线夹角余弦求出，确定线面角并求出大小；（ⅱ）过作于，过作交于，再借助图形求出二面角的余弦值
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