浙江省诸暨市浬浦镇中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末质量检测试题含解析

这是一份浙江省诸暨市浬浦镇中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末质量检测试题含解析，共29页。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若反比例函数y=图象经过点（5，-1），该函数图象在（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限
2．在单词prbability（概率）中任意选择一个字母，选中字母“i”的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数，则y的图象为( )
A．B．C．D．
4．已知是关于的一元二次方程的解，则等于（ ）
A．1B．-2C．-1D．2
5．如图：已知，且，则（ ）
A．5B．3C．3. 2D．4
6．向阳村年的人均收入为万元，年的人均收入为万元．设年平均增长率为，根据题意，可列出方程为（ ）
A．B．C．D．
7．关于反比例函数图象，下列说法正确的是( )
A．必经过点B．两个分支分布在第一、三象限
C．两个分支关于轴成轴对称D．两个分支关于原点成中心对称
8．为执行“均衡教育”政策，某区2018年投入教育经费7000万元，预计到2020年投入2.317亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．7000（1+x2）＝23170B．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝23170
C．7000（1+x）2＝23170D．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝2317
9．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=3，AF=5，则AC的长为（ ）
A．B．C．10D．8
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知，点A(－4，y1)，B(，y2)在二次函数y＝－x2+2x+c的图象上，则y1与y2的大小关系为________．
12．在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则sinB的值为 ______________
13．在等边三角形中，于点，点分别是上的动点，沿所在直线折叠后点落在上的点处，若是等腰三角形，则____．
14．如图所示，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，道路的宽为_______
15．已知函数（为常数），若从中任取值，则得到的函数是具有性质“随增加而减小”的一次函数的概率为___________.
16．若圆弧所在圆的半径为12，所对的圆心角为60°，则这条弧的长为_____．
17．如图，在中，，，延长至点，使，则________.
18．已知二次函数的顶点坐标为，且与轴一个交点的横坐标为，则这个二次函数的表达式为__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：当α＝0°时，的值为 ；
（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；
（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝5，AC＝4，直接写出线段BE的长 ．
20．（6分）如图 1，直线 y=2x+2 分别交 x 轴、y 轴于点A、B，点C为x轴正半轴上的点，点 D从点C处出发，沿线段CB匀速运动至点 B 处停止，过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，点 C′是点C关于直线DE的对称点，连接 EC′，若△ DEC′与△ BOC 的重叠部分面积为S，点D的运动时间为t（秒），S与 t 的函数图象如图 2 所示．
（1）VD   ,C 坐标为 ；
（2）图2中，m= ，n= ，k= .
（3）求出S与t 之间的函数关系式（不必写自变量t的取值范围）.
21．（6分）如图，在中， ，以为直径作交于于于．
求证:是中点；
求证:是的切线
22．（8分）已知x2﹣8x+16﹣m2＝0（m≠0）是关于x的一元二次方程
（1）证明：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c是该方程的两个实数根，求△ABC的面积．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC的中点，DE⊥AB于点E，AC＝8，AB＝1．求AE的长．
24．（8分）问题背景：如图1设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．
简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2，则∠BPC＝ °．
（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝ ．
拓展廷伸：（3）如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：BD＝AD+DC．
（4）若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E．
（1）求证：AC是∠DAB的平分线；
（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．
26．（10分）已知为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为(3，m)（m>0），线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的抛物线过点B、D．
（1）求点A的坐标（用m表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(AC+EC)为定值．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【解析】∵反比例函数y=的图象经过点（5，-1），
∴k=5×（-1）=-5＜0，
∴该函数图象在第二、四象限．
故选D．
2、A
【解析】字母“i”出现的次数占字母总个数的比即为选中字母“i”的概率.
【详解】解：共有11个字母，每个字母出现的可能性是相同的，字母i出现两次，其概率为．
故选：A．
【点睛】
本题考查简单事件的概率，利用概率公式求解是解答此题的关键.
3、C
【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题.
【详解】根据题意，min{x2+1，1-x2}表示x2+1与1-x2中的最小数，
不论x取何值，都有x2+1≥1-x2，
所以y=1-x2；
可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1；
则函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y轴的交点坐标为（0，1）．
故选C．
【点睛】
考核知识点：二次函数的性质.
4、C
【分析】方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把x=-1代入方程就得到一个关于m+n的方程，就可以求出m+n的值．
【详解】将x=1代入方程式得1+m+n=0，
解得m+n=-1．
故选：C．
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，解题关键在于把求未知系数的问题转化为解方程的问题．
5、C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值进行计算即可.
【详解】解：∵AD∥BE∥CF
∴
∵AB=4，BC=5，EF=4
∴
∴DE=3.2
故选C
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键.
6、A
【分析】设年平均增长率为，根据：2017年的人均收入×1+增长率=年的人均收入，列出方程即可．
【详解】设设年平均增长率为，根据题意，得：
，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
7、D
【分析】把(2，1)代入即可判断A，根据反比例函数的性质即可判断B、C、D．
【详解】A．当x=2时，y=-1≠1，故不正确；
B． ∵-2＜0，∴两个分支分布在第二、四象限，故不正确；
C． 两个分支不关于轴成轴对称，关于原点成中心对称，故不正确；
D． 两个分支关于原点成中心对称，正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，k≠0)的图象是双曲线，当k＞0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当 k＜0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限．反比例函数图象的两个分支关于原点成中心对称．
8、C
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），如果设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，再根据“2018年投入7000万元”可得出方程．
【详解】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则2020年的投入为7000（1+x）2＝23170
由题意，得7000（1+x）2＝23170.
故选：C．
【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，一般形式为a（1＋x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
9、D
【分析】根据抛物线的图像，判断出的符号，从而确定一次函数、反比例函数的图像的位置即可．
【详解】解：由抛物线的图像可知：横坐标为1的点，即在第四象限，因此；
∴双曲线的图像分布在二、四象限；
由于抛物线开口向上，∴，
∵对称轴为直线，∴；
∵抛物线与轴有两个交点，∴；
∴直线经过一、二、四象限；
故选：．
【点睛】
本题主要考查二次函数，一次函数以及反比例函数的图象与解析式的系数关系，熟练掌握函数解析式的系数对图像的影响，是解题的关键．
10、A
【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA=OC，AE=CE，证明△AOF≌△COE得出AF=CE=5，得出AE=CE=5，BC=BE+CE=8，由勾股定理求出AB=4，再由勾股定理求出AC即可．
【详解】解：如图，连结AE，
设AC交EF于O，
依题意，有AO＝OC，∠AOF＝∠COE，∠OAF＝∠OCE，
所以，△OAF≌△OCE（ASA），
所以，EC＝AF＝5，
因为EF为线段AC的中垂线，
所以，EA＝EC＝5，
又BE＝3，由勾股定理，得：AB＝4，
所以，AC＝
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、勾股定理，熟练掌握是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】由题意可先求二次函数y＝－x2+2x+c的对称轴为，根据点A关于x=1的对称点即可判断y1与y2的大小关系.
【详解】解：二次函数y=-x2+2x+c的对称轴为x=1，
∵a=-1＜0，
∴二次函数的值，在x=1左侧为增加，在x=1右侧减小，
∵-4＜＜1，
∴点A、点B均在对称轴的左侧，
∴y1＜y2
故答案为：＜.
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的增减性，注意掌握当a＜0时，函数图象从左至右先增加后减小．
12、
【分析】延长BC至D，使BD=4个小正方形的边长，连接AD，先证出△ADB是等腰直角三角形，从而求出∠B=45°，即可求出sinB的值.
【详解】解：延长BC至D，使BD=4个小正方形的边长，连接AD
由图可知：AD=4个小正方形的边长，且∠ADB=90°
∴△ADB是等腰直角三角形
∴∠B=45°
∴sinB=
故答案为：.
【点睛】
此题考查的是求格点中角的正弦值，掌握等腰直角三角形的定义和45°的正弦值是解决此题的关键.
13、，或
【分析】根据等边三角形的性质，得到CD=3，BD=，∠CBD=30°，由折叠的性质得到，，，由是等腰三角形，则可分为三种情况就那些讨论：①，②，③，分别求出答案，即可得到答案.
【详解】解：∵在等边三角形中，，
∴CD=3，BD=，∠CBD=30°，
∵沿所在直线折叠后点落在上的点处，
∴，，，
由是等腰三角形，则
①当时，如图，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
解得：；
∴；
②当，此时点与点D重合，如图，
∴；
③当，此时点F与点D重合，如图，
∴，
∴；
综合上述，的长度为：，或；
故答案为：，或.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，以及等腰三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．注意利用分类讨论的思想进行解题.
14、1
【分析】设道路宽为x米，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设道路宽为x米，
根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积得：
，
解得：x1=1，x2=1．
∵1＞20，
∴x=1舍去．
答：道路宽为1米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
15、
【分析】根据“随增加而减小”可知，解出k的取值范围，然后根据概率公式求解即可.
【详解】由“随增加而减小”得，
解得，
∴具有性质“随增加而减小”的一次函数的概率为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数的增减性，以及概率的计算，熟练掌握一次函数增减性与系数的关系和概率公式是解题的关键.
16、4π
【分析】直接利用弧长公式计算即可求解．
【详解】l＝＝4π，
故答案为：4π．
【点睛】
本题考查弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长l＝（n是弧所对应的圆心角度数）
17、
【分析】过点A 作AF⊥BC于点，过点D 作DE⊥AC交AC的延长线于点E，目的得到直角三角形利用三角函数得△AFC三边的关系，再证明 △ACF∽△DCE，利用相似三角形性质得出△DCE各边比值，从而得解.
【详解】解:过点A 作AF⊥BC于点，过点D 作DE⊥AC交AC的延长线于点E，
∵，
∴∠B=∠ACF，sin∠ACF==，
设AF=4k，则AC=5k，CD=，由勾股定理得：FC=3k，
∵∠ACF=∠DCE，∠AFC=∠DEC=90°，
∴△ACF∽△DCE，
∴AC：CD=CF：CE=AF：DE，即5k： =3k：CE=4k：DE，
解得：CE=，DE=2k，即AE=AC+CE=5k+=，
∴在Rt△AED中， DE：AE=2k：=.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数定义、相似三角形的判定与性质，解题关键是构造直角三角形.
18、
【分析】已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，把（3，0）代入求出的值即可．
【详解】设二次函数的解析式为，
∵抛物线与轴一个交点的横坐标为，则这个点的坐标为：（3，0），
∴将点（3，0）代入二次函数的解析式得，
解得：，
∴这个二次函数的解析式为：，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）；（3）7或1．
【分析】（1）先证△DEC为等腰直角三角形，求出，再通过平行线分线段成比例的性质可直接写出的值；
（2）证△BCE∽△ACD，由相似三角形的性质可求出的值；
（3）分两种情况讨论，一种是点E在线段BA的延长线上，一种是点E在线段BA上，可分别通过勾股定理求出AE的长，即可写出线段BE的长．
【详解】（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠B=45°．
∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠B=45°，∠CDE=∠A=90°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴cs∠C．
∵DE∥AB，
∴．
故答案为：；
（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴．
又∵∠BCE=∠ACD=α，
∴△BCE∽△ACD，
∴，
即；
（3）①如图3﹣1，当点E在线段BA的延长线上时．
∵∠BAC=90°，
∴∠CAE=90°，
∴AE3，
∴BE=BA+AE=4+3=7；
②如图3﹣2，当点E在线段BA上时，
AE3，
∴BE=BA﹣AE=4﹣3=1．
综上所述：BE的长为7或1．
故答案为：7或1．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等，解答本题的关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．
20、（1）点D的运动速度为1单位长度/秒，点C坐标为（4，0）．（2）；；．（3）①当点C′在线段BC上时， S＝t2；②当点C′在CB的延长线上， S=−t2＋t−；③当点E在x轴负半轴， S＝t2−4t＋1．
【分析】（1）根据直线的解析式先找出点B的坐标，结合图象可知当t＝时，点C′与点B重合，通过三角形的面积公式可求出CE的长度，结合勾股定理可得出OE的长度，由OC＝OE＋EC可得出OC的长度，即得出C点的坐标，再由勾股定理得出BC的长度，根据CD＝BC，结合速度＝路程÷时间即可得出结论；
（2）结合D点的运动以及面积S关于时间t的函数图象的拐点，即可得知当“当t＝k时，点D与点B重合，当t＝m时，点E和点O重合”，结合∠C的正余弦值通过解直角三角形即可得出m、k的值，再由三角形的面积公式即可得出n的值；
（3）随着D点的运动，按△DEC′与△BOC的重叠部分形状分三种情况考虑：①通过解直角三角形以及三角形的面积公式即可得出此种情况下S关于t的函数关系式；②由重合部分的面积＝S△CDE−S△BC′F，通过解直角三角形得出两个三角形的各边长，结合三角形的面积公式即可得出结论；③通过边与边的关系以及解直角三角形找出BD和DF的值，结合三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）令x＝0，则y＝2，即点B坐标为（0，2），
∴OB＝2．
当t＝时，B和C′点重合，如图1所示，
此时S＝×CE•OB＝，
∴CE＝，
∴BE＝．
∵OB＝2，
∴OE＝，
∴OC＝OE＋EC＝＋＝4，BC＝，CD＝，
÷＝1（单位长度/秒），
∴点D的运动速度为1单位长度/秒，点C坐标为（4，0）．
故答案为：1单位长度/秒；（4，0）；
（2）根据图象可知：
当t＝k时，点D与点B重合，
此时k＝＝2；
当t＝m时，点E和点O重合，如图2所示．
sin∠C＝＝＝，cs∠C＝，
OD＝OC•sin∠C＝4×＝，CD＝OC•cs∠C＝4×＝．
∴m＝＝，n＝BD•OD＝×（2−）×＝．
故答案为：；；2．
（3）随着D点的运动，按△DEC′与△BOC的重叠部分形状分三种情况考虑：
①当点C′在线段BC上时，如图3所示．
此时CD＝t，CC′＝2t，0＜CC′≤BC，
∴0＜t≤．
∵tan∠C＝，
∴DE＝CD•tan∠C＝t，
此时S＝CD•DE＝t2；
②当点C′在CB的延长线上，点E在线段OC上时，如图4所示．
此时CD＝t，BC′＝2t−2，DE＝CD•tan∠C＝t，CE＝＝t，OE＝OC−CE＝4−t，
∵，即，
解得：＜t≤．
由（1）可知tan∠OEF＝＝，
∴OF＝OE•tan∠OEF＝t，BF＝OB−OF＝，
∴FM＝BF•cs∠C＝．
此时S＝CD•DE−BC′•FM＝−；
③当点E在x轴负半轴，点D在线段BC上时，如图5所示．
此时CD＝t，BD＝BC−CD＝2−t，CE＝t，DF＝，
∵，即，
∴＜t≤2．
此时S＝BD•DF＝×2×(2−t)2＝t2−4t＋1．
综上，当点C′在线段BC上时， S＝t2；当点C′在CB的延长线上， S=−t2＋t−；当点E在x轴负半轴， S＝t2−4t＋1．
【点睛】
本题考查了勾股定理、解直角三角形以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出BC、OC的长度；（2）根据图象能够了解当t＝m和t＝k时，点DE的位置；（3）分三种情况求出S关于t的函数关系式．本题属于中档题，（1）（2）难度不大；（3）需要画出图形，利用数形结合，通过解直角三角形以及三角形的面积公式找出S关于t的函数解析式．
21、（1）详见解析，（2）详见解析
【分析】（1）连接AD，利用等腰三角形三线合一即可证明是中点；
（2）连接OD,通过三角形中位线的性质得出 ，则有OD⊥DE，则可证明结论．
【详解】（1）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC，
（2）连接OD．
∵AO＝BO，BD＝DC，
∴ ，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形三线合一和切线的判定，掌握等腰三角形三线合一和切线的判定方法是解题的关键．
22、（1）证明见解析；（2）△ABC的面积为．
【分析】（1）计算判别式的值得到△＝4m2，从而得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式解方程得到x＝4±m，即b＝4+m，c＝4﹣m，讨论：当b＝a＝6时，即4+m＝6，解得m＝2，利用勾股定理计算出底边上的高，然后计算△ABC的面积；当c＝a时，即4﹣m＝6，解得m＝﹣2，即a＝c＝6，b＝2，利用同样方法计算△ABC的面积．
【详解】（1）证明：△＝（﹣8）2﹣4×（16﹣m2）
＝4m2，
∵m≠0，
∴m2＞0，
∴△＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵
∴ ，
即b＝4+m，c＝4﹣m，
∵m≠0
∴b≠c
当b＝a时，4+m＝6，解得m＝2，即a＝b＝6，c＝2，
如图，AB=AC=6，BC=2，AD为高，
则BD=CD=1，
∴
∴△ABC的面积为：×2×＝；
当c＝a时，4﹣m＝6，解得m＝﹣2，即a＝c＝6，b＝2，
如图，AB=AC=6，BC=2，AD为高，
则BD=CD=1，
∴
∴△ABC的面积为：×2×＝，
即△ABC的面积为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：①当△＞0，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0，方程有两个相等的实数根；③当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系．
23、．
【分析】求出AD的长，根据△ADE∽△ABC，可得，则可求出AE的长．
【详解】解：∵AC＝8，D为AC的中点，
∴AD＝4，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE＝．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形判定及其性质，熟记定理和性质是解题的关键.
24、（1）135；（2）13；（3）见解析；（4）
【分析】简单应用：（1）先利用旋转得出BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2，再根据勾股定理得出PP'＝CP＝4，最后用勾股定理的逆定理得出△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得出∠APP'＝60°，进而得出∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，最后用勾股定理即可得出结论；
拓展廷伸：（3）先利用旋转得出BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，再判断出点D'在DC的延长线上，最后用勾股定理即可得出结论；
（4）先利用旋转得出BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'，再判断出点D'在AD的延长线上，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】解：简单应用：（1）如图2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，将
△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△CBP'，连接PP'，
∴BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2，
∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°，
根据勾股定理得，PP'＝CP＝4，
∵BP'＝5，BP＝3，∴PP'2+BP2＝BP'，
∴△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，
∴∠BPP'＝90°，
∴∠BPC＝∠BPP'+∠CPP'＝135°，
故答案为：135；
（2）如图3，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，连接PP'，
∴BP'＝CP，AP'＝AP＝5，∠PAP'＝60°，
∴△APP'是等边三角形，
∴PP'＝AP＝5，∠APP'＝60°，
∵∠APB＝150°，
∴∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，
根据勾股定理得，BP'＝＝13，
∴CP＝13，
故答案为：13；
拓展廷伸：（3）如图4，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△BCD'，
∴BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD+∠BCD'＝180°，
∴点D'在DC的延长线上，
∴DD'＝CD+CD'＝CD+AD，
在Rt△DBD'中，DD'＝BD，
∴BD＝CD+AD；
（4）如图5，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
连接BD，将△CBD绕点B顺时针旋转90°得到△ABD'，
∴BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'，
AB与CD的交点记作G，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB+∠AGD＝∠BCD+∠BGC＝180°，
∵∠AGD＝∠BGC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD＝∠BAD'，
∴点D'在AD的延长线上，
∴DD'＝AD'﹣AD＝CD﹣AD＝2，
在Rt△BDD'中，BD＝DD'＝．
【点睛】
本题主要考查了三角形的旋转变换，涉及了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，灵活的利用三角形的旋转变换添加辅助线是解题的关键.
25、（1）详见解析；（2）1．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCM＝90°，得到OC∥AD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；
（2）连接BC，连接BE交OC于点F，根据勾股定理求出BC，证明△CFB∽△BCA，根据相似三角形的性质求出CF，得到OF的长，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】（1）证明：连接，如图：
∵直线与相切于点
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是的平分线．
（2）解：连接，连接交于点，如图：
∵AB是的直径
∴
∵，
∴
∵
∴
∴，为线段中点
∵，
∴
∴，即
∴
∴
∵为直径中点，为线段中点
∴．
故答案是：（1）详见解析；（2）1
【点睛】
本题考查了切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质以及三角形中位线的性质，适当的添加辅助线是解题的关键．
26、（1）(3﹣m，0)；（2）；（3）见解析
【分析】（1）AO=AC−OC=m−3，用线段的长度表示点A的坐标；
（2）是等腰直角三角形，因此也是等腰直角三角形，即可得到OD=OA，则D(0，m−3)，又由P(1，0)为抛物线顶点，用待定系数法设顶点式，计算求解即可；
（3）过点Q作QM⊥AC与点M，过点Q作QN⊥BC与点N，设点Q的坐标为，运用相似比求出FC，EC长的表达式，而AC=m，代入即可．
【详解】解：（1）由B (3，m)可知OC=3，BC=m，
∴AC=BC=m，OA=m﹣3，
∴点A的坐标为(3﹣m，0)
（2）∵∠ODA=∠OAD=45°
∴OD=OA= m﹣3，则点D的坐标是(0，m﹣3)
又抛物线的顶点为P(1，0)，且过B、D两点，所以可设抛物线的解析式为：
得：

∴抛物线的解析式为：
（3）证明：过点Q作QM⊥AC与点M，过点Q作QN⊥BC与点N，设点Q的坐标为，则
∵QM∥CE
∴△PQM∽△PEC
则
∵QN∥FC
∴△BQN∽△BFC则

又∵AC=m=4
∴
即为定值8
【点睛】
本题主要考查了点的坐标，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，合理做出辅助线，运用相似三角形的性质求出线段的长度是解题的关键．