四川省雅安市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份四川省雅安市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附答案），共12页。试卷主要包含了考试结束后，只将答题卡交回，若平面向量，满足，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数所表示的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．从小到大排列的数据1，2，3，7，8，9，10，11的第三四分位数为（ ）
A．B．9C．D．10
3．复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，则（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
6．一艘船向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东方向上，航行后到B处，看到灯塔S在船的北偏东的方向上，此时船距灯塔S的距离（即BS的长）为（ ）
A．B．C．D．
7．在复平面内，满足的复数对应的点为Z，复数对应的点为，则的值不可能为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，
① ② ③ ④
则满足直线的图形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座．为了解讲座效果，随机抽取14位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．讲座前问卷答题得分的中位数小于70
B．讲座后问卷答题得分的众数为90
C．讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差
D．讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差
10．若平面向量，满足，则（ ）
A．B．向量与的夹角为
C．D．在上的投影向量为
11．如图，在棱长为1的正方体中，M是的中点，点P是侧面上的动点，且平面，则（ ）
A．P在侧面的轨迹长度为
B．异面直线AB与MP所成角的最大值为
C．三棱锥的体积为定值
D．直线MP与平面所成角的正切值的取值范围是
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某学校高中二年级有男生600人，女生400人，为了解学生的身高情况，现按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，则所抽取的男生人数为________．
13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，BC边上的高为，则________．
14．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体．如图是以一个正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有8个面为正三角形，6个面为正方形的“阿基米德多面体”，包括A，B，C在内的各个顶点都在球O的球面上．若P为球O上的动点，记三棱锥体积的最大值为，球O的体积为V，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知复数，（其中）．
（1）若为实数，求m的值；
（2）当时，复数是方程的一个根，求实数p，q的值．
16．（15分）
已知向量，．
（1）若与垂直，求实数k的值；
（2）已知O，A，B，C为平面内四点，且，，．若A，B，C三点共线，求实数m的值．
17．（15分）
一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间，，…，分成5组，得到下图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）．请问，每天应该进多少水果？
18．（17分）
从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题．
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________．
（1）求角C的大小；
（2）若点D在AB上，CD平分，，，求CD的长；
（3）若该三角形为锐角三角形，且面积为，求a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．
19．（17分）
我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点
（1）平面AEF与平面PBC是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由；
（2）求二面角的大小；
（3）若直线平面AEF，求直线AB与平面AEF所成角的正弦值．
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．A 8．D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．11题选对1个得2分，选对2个得4分，全部选对的得6分，有选错的得0分；10题选对1个得3分，全部选对的得6分，有选错的得0分．
9．ACD
10．AD
11．ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．30
13．3
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．（13分）
【解析】（1），
因为为实数，
所以，解得．
故为实数时，m的值为．
（2）当时，，，
则复数，
因为是方程的一个根，
所以，
化简得，
由解得
16．（15分）
【解析】（1），
则，
因为与垂直，所以，
解得．
（2），
，
，
，
因为A，B，C三点共线，所以．
所以，
解得．
17．（15分）
【解析】（1）由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0．2，0.4，0.3，
由，
解得．
则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为．
（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．
方法1：依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，设为，
则，
解得．
所以，每天应该进苹果．
方法2：依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，
所以日销售量的分位数为．
所以，每天应该进苹果．
18．（17分）
【解析】（1）若选条件①，
依题意，得，根据正弦定理得，
因为，所以，则，即，
即，所以．
又，则，
所以．
若选条件②．
由正弦定理得，
所以
，
即，
即，整理得，即．
因为，所以，
所以．
若选条件③
在中，因为，，
所以，
即，
化简得．
又，则，故．
因为，所以．
（2）依题意，，
即，则，
在中，根据余弦定理，
有，
即，解得或（舍去），
所以．
（3）依题意，的面积，所以．
又为锐角三角形，且，
则，所以．
又，则，所以．
由正弦定理，得，
所以，
所以，即，
所以a的取值范围为．
19．（17分）
【解析】（1）平面平面PBC．
理由如下：
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为，又．
所以平面PAB，故．
在中，，E为PB的中点，所以．
因为平面PBC，平面PBC，，
所以平面PBC．又平面AEF，
所以平面平面PBC．
（2）不妨设，计算可得，，
又，，，所以，
则，作于G，连结DG，又，，可知，所以，
所以是二面角的平面角．
在中，由，
得，则，，
连结BD，知，在中，根据余弦定理，
得，
所以．
（3）因为直线平面AEF，平面PBC，平面平面，
所以直线直线EF．
又E为线段PB的中点，所以F为线段BC上的中点．
由（2）知，所以．
设BG与EF交点为H，连结AH，
由（1）知，平面平面PBC，平面平面，
所以平面AEF．
所以直线AB与平面AEF所成角为．
又由EF，F为BC上的中点，可得H为BG的中点，
可知，，又，
所以．
直线AB与平面AEF所成角的正弦值为．