资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩20页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 第52讲 随机事件的概率与古典概型（精讲）【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 试卷 4 次下载
- 第52练 随机事件的概率与古典概型（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 试卷 4 次下载
- 第53练 事件的独立性、条件概率和全概率公式（精练）【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 试卷 4 次下载
- 第54讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（精讲）【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 试卷 4 次下载
- 第54练 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（精练）【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 试卷 4 次下载
第53讲 事件的独立性、条件概率和全概率公式（精讲）【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
展开
这是一份第53讲 事件的独立性、条件概率和全概率公式（精讲）【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用），文件包含第53讲事件的独立性条件概率和全概率公式精讲原卷版docx、第53讲事件的独立性条件概率和全概率公式精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共85页， 欢迎下载使用。
题型目录一览
一、知识点梳理
一、条件概率
1.定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．
注：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．
2.性质
（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．
（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．
（3）如果与互斥，则．
注：已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．
二、相互独立与条件概率的关系
1.相互独立事件的概念及性质
（1）相互独立事件的概念
对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．
由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．
（2）概率的乘法公式
由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．
（3）相互独立事件的性质
如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．
（4）两个事件的相互独立性的推广
两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．
2.事件的独立性
（1）事件与相互独立的充要条件是．
（2）当时，与独立的充要条件是．
（3）如果，与独立，则成立．
三、全概率公式
1.全概率公式
（1）；（2）定理若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；②；
③，．
则对中的任意事件，都有，且．
2.贝叶斯公式
（1）一般地，当且时，有
（2）定理若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意概率非零的事件，都有，
且
注：贝叶斯公式体现了，，，，，之间的关系，即，，.
二、题型分类精讲
题型一 事件的相互独立性
策略方法
1.判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：事件，相互独立⇔．
（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
（3）条件概率法：当时，可用判断．
2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
（1）首先确定各事件之间是相互独立的．
（2）求出每个事件的概率，再求积．
注：使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．
【典例1】（单选题）将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】根据相互独立事件概率公式，即可判断选项.
【详解】由题意知，，，，
由于，所以甲与丁相互独立．
故选：B
【典例2】（单选题）如图，三个元件，，正常工作的概率分别为，，，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路正常工作的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由对立事件的概率性质可得，至少有一个正常工作的概率为，计算可得其概率，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案．
【详解】记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件，
则；
电路不发生故障，即正常工作且，至少有一个正常工作，
、不发生故障即，至少有一个正常工作的概率，
所以整个电路不发生故障的概率为，
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1．从甲口袋内摸出一个白球的概率是，从乙口袋内摸出一个白球的概率是，从两个口袋内各摸1个球，那么概率为的事件是（ ）
A．两个都不是白球B．两个不全是白球
C．两个都是白球D．两个球中恰好有一个白球
【答案】B
【分析】由条件可直接求出两个球全是白球的概率为，从而得到两个球不全是白球的概率为，由此得出结论.
【详解】解：∵从甲口袋内摸出一个白球的概率是，从乙口袋内摸出一个白球的概率是，
故两个球全是白球的概率为，
故两个球不全是白球的概率为，
故选：B.
2．某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】甲战胜乙包含两种情况：①甲连胜2局，②前两局甲一胜一负，第三局甲胜，由此利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出甲战胜乙的概率．
【详解】结合题意：甲队战胜乙队包含两种情况：
甲连胜2局，概率为，
前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为，
则甲战胜乙的概率为．
故选：D．
3．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”．丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙不相互独立D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可．
【详解】依题意可得P(甲)，P(乙)，
两次取出的球的数字之和为8，有，，，，，共5种情况，则P(丙)，
两次取出的球的数字之和为7，有，，，，，共6种情况，则P(丁)，
对于A，P(甲丙)P(甲)·P(丙)，A错误；
对于B，P(甲丁)P(甲)·P(丁)，B正确；
对于C，P(乙丙)P(乙)·P(丙)，C错误；
对于D，P(丙丁)P(丙)·P(丁)，D错误．
故选：B．
4．一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设，，则（ ）
A．与互斥B．与相互对立
C．与相互独立D．
【答案】D
【分析】根据已知条件求出概率，结合互斥事件，相互独立及概率的乘法公式进行计算即可.
【详解】依题得，，，，
对A，有共同的样本点2,3，所以不互斥，A错误；
对B，与共同的样本点，所以，B错误；
对C，，，则，则，
，，则，则C错误；
对D，，，D正确.
故选：D
5．现有同副牌中的5张数字不同的扑克牌，其中红桃1张、黑桃2张、梅花2张，从中任取一张，看后放回，再任取一张．甲表示事件“第一次取得黑桃扑克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花扑克牌”，丙表示事件“两次取得相同花色的扑克牌”，丁表示事件“两次取得不同花色的扑克牌”，则（ ）
A．乙与丙相互独立B．乙与丁相互独立
C．甲与丙相互独立D．甲与乙相互独立
【答案】D
【分析】根据题意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，结合相互独立事件的概念及判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意得，事件甲的概率，事件乙的概率，
有放回地取扑克牌两次的试验的基本事件总数是，显然事件丙与丁是对立事件，
两次取出的扑克牌花色相同包含的基本事件数为，
则事件丙的概率，所以事件丁的概率，
对于A中，事件乙与丙同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以乙与丙不相互独立，所以A错误；
对于B中，事件乙与丁同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以乙与丁不相互独立，所以B错误；
对于C中，事件甲与丙同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以甲与丙不相互独立，所以C错误；
对于D中，事件甲与乙同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以甲与乙相互独立，D正确．
故选：D．
6．同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”. 则下列说法中正确的是（ ）
①A与C互斥 ②B与D对立 ③A与D相互独立 ④B与C相互独立
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的定义逐一判断即可.
【详解】①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，
所以A与C互斥 ，因此本序号说法正确；
②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时，B与D同时发生，
因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；
③：，
显然，所以A与D不相互独立，所以本序号说法不正确；
④：，
显然，所以B与C相互独立，所以本序号说法正确，
故选：B
7．某中学运动会上有一个项目的比赛规则是：比赛分两个阶段，第一阶段，比赛双方各出5人，一对一进行比赛，共进行5局比赛，每局比赛获胜的一方得1分，负方得0分；第二阶段，比赛双方各出4人，二对二进行比赛，共进行2局比赛，每局比赛获胜的一方得2分，负方得0分．先得到5分及以上的一方裁定为本次比赛的获胜方，比赛结束．若甲、乙两个班进行比赛，在第一阶段比赛中，每局比赛双方获胜的概率都是，在第二阶段比赛中，每局比赛甲班获胜的概率都是，每局比赛的结果互不影响，则甲班经过7局比赛获胜的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】可分类分别求出甲班在第一阶段获胜的局数对应的概率，最后各种情况概率相加即可求解.
【详解】按照甲班在第一阶段获胜的局数，分类讨论如下：
（1）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．
（2）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．
（3）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．
（4）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．
所以所求概率，故A项正确.
故选：A.
8．同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ）
A．A与对立B．
C．A与相互独立D．与相互独立
【答案】C
【分析】对于A：根据对立事件概念分析判断；对于B：事件的运算结合古典概型运算求解；对于CD：根据古典概型结合独立事件的概念分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：事件“”，事件“为奇数”，
例如，则，不为奇数，
即A事件和事件可以同时不发生，所以A事件与事件不对立，故A错误；
对于选项B：样本空间共个样本点，
且，共个样本点，所以，
，共个样本点，，
，共个样本点，，
则，所以，故B错误；
对于选项C：因为，所以与不相互独立，故D错误；
对于选项D：因为，则，
且，可得，
所以与相互独立，故C正确．
故选：C．
二、多选题
9．甲､乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签.其中，甲袋中有编号为的三个号签；乙袋有编号为的六个号签.现从甲､乙两袋中各抽取1个号签，从甲､乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签6；事件C：抽取的两个号签和为3；事件D：抽取的两个号签编号不同.则下列选项中，正确的是（ ）
A．
B．
C．事件与事件C相互独立
D．事件A与事件D相互独立
【答案】ABD
【分析】利用相互独立事件的定义及概率乘法公式判断A,C,D选项，根据古典概型判断B选项.
【详解】对于A: A,B相互独立, ,A正确；
对于B：基本事件共有18种，
事件C包括2种情况, ,B正确；
对于C:由，得相互不独立，C错误；
对于D:由，得相互独立，D正确；
故选：ABD.
10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，定义事件：A=“”，B=“为奇数”，C=“”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件A与B互斥
B．事件A与B是对立事件
C．事件B与C相互独立
D．事件A与C相互独立
【答案】AD
【分析】根据题意，利用列举法，结合互斥事件、对立事件的概念，可判定A正确，B不正确；再由相互独立事件的判定方法，可判定C不正确，D正确.
【详解】抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，
用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，
定义事件：A=“”，B=“为奇数”，C=“”，
对于A中，事件包含的基本事件为，
事件包含的基本事件为，
事件与不能同时发生，所以事件与为互斥事件，所以A正确；
对于B中，事件与不能同时发生，但能同时不发生，所以不是对立事件，所以B错误；
对于C中，事件“”，可得，又由且，
则，所以事件与不相互独立，所以C错误；
对于D中，由，且，则满足，
所以事件与相互独立，所以D正确.
故选：AD.
11．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）
A．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件;
B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为
C．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为
D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是
【答案】ACD
【分析】应用对立事件的定义判断A，
密码被破解的对立事件是三个人同时没有破译密码，由此求出密码被破译的概率判断B，
从每袋中各任取一个球，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求出取到相同球的概率判断C，
利用对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式列方程，求判断D.
【详解】对于A，袋子中有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件，故A正确；
对于B，密码被破译的概率为，故B错误；
对于C，设从甲袋中取到白球为事件，则，从乙袋中取到白球为事件，则，
故取到同色球的概率为，故C正确；
对于D，因为，即，
即，
所以，
又，
所以，
所以，故D正确，
故选：ACD.
12．先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，设事件“”，事件“”，事件“为奇数”，则（ ）
A．B．
C．与相互独立D．与相互独立
【答案】ACD
【分析】根据古典概型概率公式计算概率判断AB，根据相互独立事件的定义结合概率的求法判断CD.
【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，
则基本事件总数为，，
，，
，，共36种情形，
满足事件的有，共4种情形，其概率，故A正确；
满足事件的有，共2种情形，其概率，B不正确；
满足事件的有，
，，共18种情形，
其概率，
满足事件的有共2种情形，所以，
则，所以与相互独立，C正确；
满足事件的只有一种情形，所以，
因为，所以与相互独立，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知，，人进行射击比赛，且，，一次射击命中环的概率分别为，，，若他们每人射击一次，则至少有人命中环的概率为 .
【答案】
【分析】根据独立事件的乘法公式直接求解.
【详解】人中至少有人命中环即人命中环或人命中环，
故所求概率，
故答案为：.
14．若两个事件相互独立，且，则 .
【答案】
【分析】根据对立事件的概率公式，即可得答案.
【详解】由于两个事件相互独立，且，
故，
故答案为：
15．某公司招新面试中有3道难度相当的题目，小明答对每道题目的概率都是0.7.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，则小明最终通过面试的概率为 .
【答案】
【分析】根据独立事件概率乘法公式可求得无法通过面试的概率，根据对立事件概率的求法可求得结果.
【详解】小明无法通过面试的概率为，
小明最终通过面试的概率为.
故答案为：.
16．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为 ．
【答案】0.236
【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.
【详解】设为独孤队第局取胜，
由题意，独孤队取胜的可能结果为四个互斥事件：，，，，
所以独孤队取胜的概率
．
故答案为：
17．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为 ．
【答案】
【分析】根据互斥事件、独立事件的概率公式求解即可.
【详解】记“这名同学答对第个问题”为事件，
则，，
这名同学得300分包括两种情况，一是答对第一和第三两个题目，二是答对第二和第三两个题目，这两种情况是互斥的，
所以
.
故答案为：
18．同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.
①A与C互斥 ②B与D对立 ③A与D相互独立 ④B与C相互独立
则上述说法中正确的为 .
【答案】①④
【分析】列举出所有可能组合，根据各事件的描述列出对应的组合，结合互斥、对立、独立事件的定义或性质判断事件间的关系即可.
【详解】若表示(红,蓝)的点数组合，则所有可能组合有：
，，
，，
，.
事件A的组合有，共4种；
事件B的组合有，，，共18种；
事件C的组合有，共6种；
事件D的组合有，，，，，，共27种；
事件的组合有，故；
事件的组合有故；
综上，A与C互斥，B与D不对立，，，，，
所以，. A与D不相互独立、B与C相互独立.
故答案为：①④
四、解答题
19．为普及法律知识，弘扬宪法精神，某校教师举行法律知识竞赛.比赛共分为两轮，即初赛和决赛，决赛通过后将代表学校参加市级比赛.在初赛中，已知甲教师晋级决赛的概率为，乙教师晋级决赛的概率为.若甲､乙能进入决赛，在决赛中甲､乙两人能胜出的概率分别为和.假设甲､乙初赛是否晋级和在决赛中能否胜出互不影响.
(1)若甲､乙有且只有一人能晋级决赛的概率为，求的值；
(2)在（1）的条件下，求甲､乙两人中有且只有一人能参加市级比赛的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式可分别计算甲、乙赢得比赛的概率，可得到结论；
（2）根据独立事件概率公式可求得结果.
【详解】（1）设事件表示“甲在初赛中晋级”，事件表示“乙在初赛中晋级”，
由题意可知，，
解得.
（2）设事件为“甲､乙两人中有且只有一人能参加市级比赛”，为“甲能参加市级比赛”，为“乙能参加市级比赛”，
则，
，
所以.
20．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否回答正确互不影响．求：
(1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率；
(2)该选手至多进入第二轮考核的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得.
（2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得.
【详解】（1）记“该选手正确回答第轮问题”为事件，则
事件，，相互独立，且，，.
因为该选手进入第三轮才被淘汰指：前两轮均通过，第三轮淘汰，
所以该选手进入第三轮才被淘汰的概率为
.
（2）因为选手至多进入第二轮考核意味着第一轮淘汰或者第一轮通过第二轮淘汰,且事件和互斥.
所以该选手至多进入第二轮考核的概率为
.
21．甲、乙两位同学参加某项知识竞赛，比赛共有两道题目，已知甲同学答对每道题的概率都为，乙同学答对每道题的概率都为，且在比赛中每人各题答题结果互不影响．已知同一道题甲、乙至少一人答对的概率为，两人都答对的概率为．
(1)求和的值；
(2)求本次知识竞赛甲同学答对的题数小于乙同学答对的题数的概率．
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）根据设“甲同学答对该题”，“乙甲同学答对该题”，再根据所给概率列式求解即可；
（2）设m，n分别表示甲、乙两位同学答对的题目数，由题意得所求概率为 ，再分别计算求和即可.
【详解】（1）设“甲同学答对该题”，“乙甲同学答对该题”，
则．
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与B相互独立，
所以，，
即，解得．
（2）设m，n分别表示甲、乙两位同学答对的题目数，由题意得，所求概率为 ．
22．一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为．
(1)求的值；
(2)求小红不能正确解答本题的概率；
(3)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算得解.
（2）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
（3）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
【详解】（1）记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件，则，
因为各种解法能否答对互不影响，且全部答对的概率为，
于是，解得，
所以.
（2）若小红不能正确解答本题，则说明小红任何方法都不会，
所以小红不能正确解答本题的概率是．
（3）记事件为小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对，
则
，
所以小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率为．
23．在2023年成都大运会的射击比赛中，中国队取得了优异的比赛成绩，激发了全国人民对射击运动的热情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，用抽签的方式确定第一次射击的人选，甲、乙两人被抽到的概率相等；若中靶，则此人继续射击，若未中靶，则换另一人射击．已知甲每次中靶的概率为，乙每次中靶的概率为，每次射击结果相互独立．
(1)若每次中靶得10分，未中靶不得分，求3次射击后甲得20分的概率；
(2)求第n次射击的人是乙的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，把3次射击后甲得20分的情况，第1次、第2次都是甲射击且中靶，第3次甲射击且未中靶和第1次乙射击且未中靶，第2次、第3次甲射击且均中靶，结合相互独立的概率乘法公式，即可求解；
（2）设“第n次射击的人是乙”为事件，得到，得到为等比数列，得到数列的通项公式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，3次射击后甲得20分的情况有以下两种：
第1次、第2次都是甲射击且中靶，第3次甲射击且未中靶，其概率；
第1次乙射击且未中靶，第2次、第3次甲射击且均中靶，
其概率．
所以3次射击后甲得20分的概率．
（2）解：设“第n次射击的人是乙”为事件，
则，
所以，又由，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，则，
故第n次射击的人是乙的概率为．
题型二 条件概率
策略方法
1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在…前提下(条件下)”等字眼．但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB)，要注意结合题目的具体情况进行分析．
2.求条件概率的两种方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得，这是求条件概率的通法．
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得.
【典例1】（单选题）连续抛掷一枚质地均匀的骰子3次，观察向上的点数．在第1次出现奇数的条件下，3次出现的点数之积为偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设第一次出现奇数为事件，3次出现的点数之积为偶数为事件，结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】设第一次出现奇数为事件，3次出现的点数之积为偶数为事件，
则，，
所以.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ）
A．0.495%B．0.9405%C．0.99%D．0.9995%
【答案】A
【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解.
【详解】记感染新冠病毒为事件,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件 则,故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为，
故选：A
2．某高铁动车检修基地库房内有共5条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车、高铁共五列车入库检修，若已知两列动车安排在相邻轨道，则动车停放在道的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件概型以及排列数的计算求得正确答案.
【详解】记“两动车相邻”，“动车停在道”，
则.
故选：C
3．有首歌道“大理三月好风光，蝴蝶泉边好梳妆”，近年来大理州一直致力开发旅游事业，吸引着大批的游客前往大理旅游.现有甲、乙两位游客慕名来到大理，准备从苍山、洱海、大理古城、崇圣寺三塔、蝴蝶泉五个景点中随机选择一个景点游玩，记事件为“甲和乙至少一人选择蝴蝶泉”，事件为“甲和乙选择的景点不同”，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】使用列举法，利用古典概型和条件概率公式可得.
【详解】分别记景点苍山、洱海、大理古城、崇圣寺三塔、蝴蝶泉分别为a，b，c，d，e.
则事件A包含的样本点有，共9种情况，
其中“甲和乙选择的景点不同”有，共8种情况，
所以.
故选：B
4．小明先后投掷两枚骰子，已知有一次投掷时朝上的点数为偶数，则两次投掷时至少有一次朝上的点数为4的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】记“有一次投掷时朝上的点数为偶数”为事件A，“两次投掷时至少有一次朝上的点数为4”为事件B，根据古典概型公式求出的值，进而根据条件概率公式求解即可得出答案.
【详解】记“有一次投掷时朝上的点数为偶数”为事件A，包含27种情况，“两次投掷时至少有一次朝上的点数为4”为事件B，包含11种情况.
则，，
所以，.
故选：B.
5．2023年8月31日贵南高铁实现全线贯通运营，我国西南和华南地区新增一条交通大动脉，黔桂两地间交通出行更加便捷、西南与华南地区联系将更加紧密.贵南高铁线路全长482公里，设计时速350公里，南宁东到贵阳东旅行时间由原来的5个多小时缩短至最快2小时53分.贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了解到其中有的人喜欢吃肠旺面，有的人喜欢吃丝娃娃，还有的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝娃娃.在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出事件，求出既喜欢肠旺面又喜欢丝娃娃的概率，从而利用条件概率公式求出答案.
【详解】设喜欢吃肠旺面设为事件，喜欢吃丝娃娃设为事件，
喜欢肠旺面或丝娃娃为事件，既喜欢肠旺面又喜欢丝娃娃为，
由题意知，，
从而，
因此由条件概率的公式得.
故选：B.
6．箱子中装有2个白球和2个黑球，两人先后从中有放回地随机摸取1个球，已知其中一人摸到的是白球，则另外一人摸到的也是白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，箱子中装有2个白球和2个黑球，两人先后从中有放回地随机摸取1个球，
设事件为“其中一人摸到的是白球”，事件为“另一人摸到的是白球”
因为两人先后从中有放回地随机摸取1个球，
可得，
所以所求概率为.
故选：A.
7．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用全概率公式进行求解.
【详解】设“从1号箱中取到红球放入2号箱”为事件A，“从2号箱中取到红球”为事件B.
由题意，知，，所以，
所以两次都取到红球的概率为.
故选：C.
8．一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，事件A：“这3个球的颜色各不相同”，事件B：“这3个球中至少有1个黑球”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】运用分类加法与分步乘法分别求得、，再结合条件概率的公式计算即可.
【详解】由题意知，， ，
所以.
故选：D.
9．湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用古典概率求出事件的概率，再利用条件概率公式计算即得.
【详解】依题意，甲，乙随机选择一条线路去研学的试验有个基本事件，
事件A含有的基本事件数是，则，
事件含有的基本事件数为，则,
所以.
故选：B
10．某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动．某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛．在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，党员甲被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件概率公式计算即可.
【详解】既有党员又有民主党派人士有种，
其中党员甲被选中有种，
所以在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，党员甲被选中的概率为.
故选：C.
11．将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“出现一个6点”，则概率的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由古典概型求出和，结合条件概率公式计算可得答案．
【详解】根据题意，将三枚骰子各掷一次，有种情况，
其中，若三个点数都不相同，有种情况，，
若三个点数都不相同且出现一个6点，有种情况，，
故概率．
故选：B．
12．甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择①，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用排列组合及计数原理，求出和，再利用条件概率公式即可求出结果.
【详解】由题意知，，，
所以，
故选：B.
13．甲盒中有2个红球和1个黄球，乙盒中有1个红球和2个黄球，丙盒中有1个红球和1个黄球．从甲盒中随机抽取一个球放入乙盒中，搅拌均匀，然后从乙盒中随机抽取一个球放入丙盒中，搅拌均匀后，再从丙盒中抽取一个球，则从丙盒中抽到的是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】事件从丙盒抽到的是红球可视为事件甲盒抽到黄球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球，
事件甲盒抽到黄球，乙盒抽到红球，事件丙盒抽到红球，甲盒抽到红球，乙盒抽到黄球，
丙盒抽到红球，事件甲盒抽到红球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的和事件，利用互斥
事件的概率加法公式和概率乘法公式求解即可.
【详解】甲盒抽到黄球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为，
甲盒抽到黄球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的概率为，
甲盒抽到红球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为，
甲盒抽到红球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的概率为，
因此丙盒中抽到的红球的概率为．
故选：A．
二、多选题
14．某校高三班有学生人，其中共青团员人．全班平均分成个小组，其中第一组有共青团员人．从该班任选一人作为学生代表，下列说法错误的是（ ）
A．选到的是第一组的学生的概率为
B．选到的是第一组的学生的概率为
C．已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率为
D．已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率为
【答案】AC
【分析】由古典概型的概率可判断选项A、B；再由条件概率可判断选项C、D.
【详解】设事件表示“选到第一组学生”，事件表示“选到共青团员”，
由题意，，故选项A错误，选项B正确；
要求的是在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，
在事件发生的条件下即已所选到的学生是共青团员为前提，有种不同的选择，
其中属于第一组的有种选择，
因此，故选项C错误，选项D正确.
故选：AC．
15．若、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
【答案】BD
【分析】利用条件概率公式逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，因为，
但与不一定相等，故不一定等于，A错；
对于B选项，因为，，
所以，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，因为，所以，，
所以，事件、独立，故，D对.
故选：BD.
16．某校开展羽毛球比赛，甲组有选手6名，其中3名男生，3名女生；乙组有选手5名，其中3名男生，2名女生．现从甲组随机抽取一人加入乙组，再从乙组随机抽取一人，A表示事件“从甲组随机抽取的一人是女生”，表示事件“从乙组随机抽取的一人是男生”，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】AB选项，在A发生情况下，结合古典概型求概率公式计算出答案；CD选项，在发生的情况下，结合古典概型求概率公式计算出答案.
【详解】A选项，在A发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是男生有3种可能情况，所以，A正确；
B选项，在A发生时，从乙组随机抽取一人，其中抽取的一人是女生有3种可能情况，所以错误；
C选项，在发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是男生有4种可能情况，所以，C正确；
D选项，在发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是女生有2种可能情况，所以，D错误.
故选：AC．
17．给定事件，且，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则A，B互为对立事件
B．若，且A，B互斥，则A，B不可能相互独立
C．
D．若A，B为相互独立事件且，则
【答案】BCD
【分析】利用条件概率和对立事件的的概念判断选项A；利用事件的互斥和独立的概念判断选项B；利用条件概率公式判断选项C；利用独立事件的概率乘法公式判断选项D.
【详解】对A，由表明在事件发生的前提下，
事件或事件发生的概率为1，并不能得出A，B互为对立事件，A错误；
对B，若，且A，B互斥，
则,所以A，B不可能相互独立，B正确；
对C，当互斥时，；
当不互斥时，，C正确；
对D，若A，B为相互独立事件，
则，
,D正确.
故选:BCD.
18．盒子中共有4只黑球，2只白球，现从中不放回地每次任取一球，连取两次，则下列选项正确的是（ ）
A．第一次取到黑球的概率为
B．事件“第一次取到黑球”和“第一次取到白球”互斥不对立
C．在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率为
D．第二次取到黑球的概率为
【答案】AC
【分析】求出第一次取到黑球的概率可判断A；列出“第一次取到黑球”、“第一次取到白球”包含的基本事件可判断B；根据条件概率公式计算可判断C；求出第二次取到黑球的概率可判断D.
【详解】对于A，第一次取到黑球的概率为，故A正确；
对于B，事件“第一次取到黑球”包括第一次取到黑球第二次取到黑球，
或者第一次取到黑球第二次取到白球两种情况；
“第一次取到白球”包括第一次取到白球第二次取到白球，
或者第一次取到白球第二次取到黑球两种情况，
所以事件“第一次取到黑球”和“第一次取到白球”即互斥又对立，故B错误；
对于C，设第一次取到白球为事件，第二次取到黑球为事件，
则第一次取到白球第二次取到黑球的概率为，，
所以在第一次取到白球的条件下，
第二次取到黑球的概率为，故C正确；
对于D，第二次取到黑球包括第一次取到黑球第二次取到黑球，
或者第一次取到白球第二次取到黑球两种情况，
所以第二次取到黑球的概率为，故D错误.
故选：AC.
19．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解即可.
【详解】因为，，所以，.
因为与为互斥事件，所以，
所以
，
所以，
故，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，，
所以，故D错误.
故选:AB.
三、填空题
20．袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是 .
【答案】
【分析】先设事件A、B，写出，；再利用条件概率计算公式计算即可得出答案.
【详解】用A表示事件“从中任意取出一球，它不是白球”，用B表示事件“从中任意取出一球，它是黑球”.
则，
所以
故答案为：
21．已知事件发生的概率为，事件发生的概率为，若在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为 .
【答案】
【分析】利用条件概率公式计算出的值，再利用条件概率公式可求得的值.
【详解】由已知可得，，，
由可得，
故.
故答案为：.
22．从这个连续正整数中不放回地任取2个数，设“第一次取到的是质数”为事件A，又设“第二次取到的不是质数”为事件，且，则的所有可能值的和为 .
【答案】15
【分析】根据条件概率得出在中质数比不是质数的数多一个，由质数合数的定义判断可得的可能值，再求和即得．
【详解】由知在中质数比不是质数的数多一个，因此只可能为3，5，7共3个，而．
故答案为：15.
23．现有10张奖券，有且仅有2张为有奖奖券，甲、乙两人轮流依次不放回地抽取奖券，甲先抽取，然后乙再抽取为一个轮次．则在第一轮甲、乙都未中奖的条件下，第二轮甲、乙都中奖的概率为 ．
【答案】
【分析】设出事件，利用条件概率公式进行求解.
【详解】设事件为在第一轮甲、乙都未中奖，事件为第二轮甲、乙都中奖，
则，
，
所以.
故答案为：
24．当前，我国各年龄段青少年的近视呈现发病年龄早､进展快､程度深的趋势，其中很大一部分是青少年长时间玩手机导致的.据调查，贵阳市某高中学生大约0.3的人近视，而该校大约有0.4的学生每天玩手机超过2.5小时，这些人的近视率约为0.6.现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过2.5小时的概率为 .
【答案】
【分析】根据条件概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】从该校学生中任意调查一名学生他是近视记为事件，且，
从该校学生中任意调查一名学生他每天玩手机超过记为事件，
且由题可知，，
所以从该校近视的学生中任意调查一名学生，
则他每天玩手机超过的概率为.
故答案为：
25．1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节.五一劳动节某单位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一假期期间值班2天，则甲连续值班的概率是 .
【答案】
【分析】根据条件概率公式可求出结果.
【详解】记“甲在五一假期期间值班2天”为事件，“甲连续值班”为事件，
则种，种，
所以，
所以已知甲在五一假期期间值班2天，则甲连续值班的概率为.
故答案为：.
26．五一长假期间，某单位安排这3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知在五一长假期间值班2天，则连续值班的概率是 .
【答案】
【分析】根据条件概率公式可求出结果.
【详解】记“在五一长假期间值班2天”，“连续值班”，
则种，种，
所以.
所以已知在五一长假期间值班2天，则连续值班的概率为.
故答案为：.
27．现有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机抽取两瓶，若取出的两瓶中至少有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为 ．
【答案】
【分析】先用大写字母表示各个事件，然后根据条件概率公式，分别求出各事件的概率即可.
【详解】设事件A为“取出的两瓶中至少有一瓶是蓝色”，事件B为“取出的两瓶中另一瓶是红色”，事件C为“取出的两瓶中另一瓶是黑色”，事件D为“取出的两瓶中另一瓶是红色或黑色”，则，且B与C互斥．由题意得，
，，，
所以，
故取出的两瓶中至少有一瓶是蓝色，另一瓶是红色或黑色的概率为．
故答案为：.
题型三 全概率公式
策略方法
全概率公式在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．
【典例1】（单选题）在2023亚运会中，中国女子篮球队表现突出，卫冕亚运会冠军，该队某球员被称为3分球投手，在比赛中，她3分球投中的概率为，非3分球投中的概率为，且她每次投球投3分球的概率为，则该球员投一次球得分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据全概率公式即可求解.
【详解】设事件A为“该球员投球得分”，事件B为“该球员投中3分球得分”，
由全概率公式：，
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ）
A．0.08B．0.1C．0.15D．0.2
【答案】A
【分析】运用全概率公式进行求解即可.
【详解】取得的光片是次品的概率为.
故选：A
2．甲、乙两个袋子中各装有5个大小相同的小球，其中甲袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有3个红球，1个白球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事件和分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件表示从乙袋中取出的球是红球，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由全概率公式可得.
【详解】易知，
，
所以
.
故选：A
3．现有甲乙两个箱子，分别装有除颜色外其它都相同的黑色和白色两种球，甲箱装有2个白球3个黑球，乙箱有3个白球2个黑球，先从甲箱随机取一个球放入乙箱，再从乙箱随机取一个球是白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出事件，利用全概率公式进行计算.
【详解】设“从乙箱中取出白球”，“从甲箱中取出白球”，
则，，，，
故由全概率公式得．
故选：C．
4．长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答.
【详解】令“玩手机时间超过的学生”，“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”，
则，且互斥，，，
依题意，，解得，
所以所求近视的概率为.
故选：B
5．随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是（ ）
A．0.24B．0.14C．0.067D．0.077
【答案】D
【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的，以及互斥事件的概率加法公式，准确计算，即可求解.
【详解】记小明步行上班为事件，骑共享单车上班为事件，乘坐地铁上班为事件，
小明上班迟到为事件，
则，，，
，
所以
，
所以某天上班他迟到的概率是.
故选：D.
6．设A，B为两个事件，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.
【详解】由，得，显然，
因此，所以．
故选：B
7．重庆八中味园食堂午餐情况监测数据表明，小唐同学周一去味园的概率为 ，周二去味园的概率为 ，且小唐周一不去味园的条件下周二去味园的概率是周一去味园的条件下周二去味园的概率的2倍，则小唐同学周一、周二都去味园的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设“小唐同学周一去味园”为事件A，设“小唐周二去味园”为事件B，根据题意利用全概率公式可得，进而结合条件概率公式分析求解.
【详解】设“小唐同学周一去味园”为事件A，设“小唐周二去味园”为事件B，则“小唐同学周一、周二都去味园”为事件AB，
由题意可知：，且，
由全概率公式可知：，
即，解得，
所以.
故选：A
8．已知有两箱书，第一箱中有3本故事书，2本科技书；第二箱中有2本故事书，3本科技书．随机选取一箱，再从该箱中随机取书两次，每次任取一本，做不放回抽样，则在第一次取到科技书的条件下，第二次取到的也是科技书的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】记事件“第一箱中取书”，事件“从第二箱中取书”．事件“第次从箱中取到的书是科技书”，，然后根据题意求出，,的值，再根据全概率公式和条件概率公式求解即可.
【详解】记事件“第一箱中取书”，事件“从第二箱中取书”．事件“第次从箱中取到的书是科技书”，,
则由题意知，，,
,
所以
故选：C
二、多选题
9．某市场供应多种品牌的N95口罩，相应的市场占有率和优质率的信息如表：在该市场中随机买一种品牌的口罩，记表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，记表示买到的口罩是优质品，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】对于A，利用互斥事件的概率公式求解判断，对于BD，由条件概率公式计算判断，对于C，由全概率公式计算判断.
【详解】由题意得，
对于A，因为与互斥，所以，所以A正确；
对于B，，所以B错误；
对于C，，所以C正确；
对于D，，所以D错误.
故选：AC
10．甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件表示“从乙盒中取出的是红球”，则（ ）
A．事件与事件是对立事件B．事件与事件是独立事件
C．D．
【答案】AD
【分析】根据对立事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断B；分第一次取白球和红球两种情况讨论，从而可判断C；根据条件概率公式即可判断D.
【详解】对于A：事件A与事件是对立事件，故A正确；
对于B：事件发生与否与事件C有关，故B错误：
对于C：，故C错误；
对于D：，，
所以，故D正确．
故选：AD.
11．某市场供应多种品牌的N95口罩，相应的市场占有率和优质率的信息如下表：
在该市场中随机买一种品牌的口罩，记表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，记表示买到的口罩是优质品，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】对于A，利用互斥事件的概率公式求解判断，对于BD，由条件概率公式计算判断，对于C，由全概率公式计算判断.
【详解】由题意得，
对于A，因为与互斥，所以，所以A正确，
对于B，，所以B错误，
对于C，
，所以C正确，
对于D，，所以D错误，
故选：AC
12．有3台机器生产同一种零件.第1台机器加工的次品率为10%，第2，3台机器加工的次品率均为8%，加工出来的零件混放在一起.已知三台机器生产的零件数分别占总数的20%，35%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第一台机器生产出来的次品概率为0.02
B．任取一个零件是次品的概率为0.084
C．如果取到的零件是次品，且是第2台机器生产的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台机器生产的概率为
【答案】ABD
【分析】应用乘方公式、全概率公式求第一台机器生产出来的次品概率、次品的概率，再由条件概率含义，应用古典概型的概率求法求次品条件下第2、3台机器生产的概率.
【详解】A：任取一个零件是第一台机器生产出来的次品概率为，对；
B：任取一个零件是次品的概率为，对；
C：如果取到的零件是次品，且是第2台机器生产的概率为，错；
D：如果取到的零件是次品，且是第3台机器生产的概率为，对.
故选：ABD
三、填空题
13．某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的，男性占近期购车车主总数的，女性购车车主有购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率是 .
【答案】0.7
【分析】根据题意，由全概率公式将购买新能源的分为男性购买新能源和女性购买新能源列出关系求解即可.
【详解】设男性中有购买了新能源车，则，解得，
所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是0.7.
故答案为：0.7
14．浙江省高考实行“七选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，50%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为 ．
【答案】
【分析】先求得这个学生来自每个学校并且选择了物理的概率，最后由分类加法算出总概率.
【详解】设：事件：这个学生来自甲学校；事件：这个学生来自乙学校；事件：这个学生来自丙学校；
事件：甲学校学生选了物理；事件：乙学校学生选了物理；事件：丙学校学生选了物理；
由题意知：这个学生选择是物理的概率：.
故答案为：.
15．现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球､2个黑球，2号罐子中装有4个红球､2个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用全概率公式求解作答.
【详解】记1号罐子中取出红球的事件为，取出黑球的事件为，从2号罐子中取出红球的事件为，
显然互斥，，
所以.
故答案为：.
16．某学校有，两家餐厅，某同学第1天等可能地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4，则该同学第2天去餐厅的概率为 ．
【答案】
【分析】根据题意结合全概率公式可直接求得.
【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，
“第2天去餐厅用餐”，“第2天去餐厅用餐”，
根据题意得，，，
由全概率公式，
得，
因此该同学第天去餐厅用餐的概率为.
故答案为：.
17．已知某地居民中青少年、中年人、老年人暑期去广西桂林旅游的概率分别为0.1，0.2，0.15，且该地居民青少年、中年人、老年人的人数比例为4:3:3，若从该地居民（仅指青少年、中年人、老年人）中任选一人，则此人暑期去桂林旅游的概率为 ．
【答案】0.145
【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算得解.
【详解】记该地居民为青少年、中年人、老年人的事件分别为，显然，且两两互斥，
记任选一人去桂林旅游的事件为，则，
,
由全概率公式得.
故答案为：0.145
四、解答题
18．年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.
(1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率：
(2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式计算出乙、丙分别答题正确的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率；
（2）利用全概率公式可求出所求事件的概率.
【详解】（1）解：设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，
则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得，
乙、丙两人都回答正确的概率是，解得，
所以，若规定三名同学都需要回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率为.
（2）解：记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，
记事件为“这道题被答对”，
则，，，
，，，
由全概率公式可得.
19．为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．
(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；
(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，分别求出概率，根据全概率公式计算即可；
（2）先设事件 ，然后求出相关概率，再根据全概率公式计算即可.
【详解】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，
则，，
所以第二题抽到的是概念叙述题的概率
（2）设事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题，事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是计算题，事件表示同学甲从甲箱中取出1个概念叙述题1个计算题，事件表示B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题，
，，
，，
20．莆田是历史文化名城.著名的“莆田二十四景”是游客的争相打卡点，莆田文旅局调查打卡二十四景游客，发现75%的人至少打卡两个景点.为提升城市形象，莆田文旅局为大家准备了4种礼物，分别是莆田文化金属书签､莆阳古厝徽章､广化寺祈福香包､湄洲艺术摆件.若打卡二十四景游客至少打卡两个景点，则有两次抽奖机会；若只打卡一个景点，则有一次抽奖机会.每次抽奖可随机获得4种礼物中的1种礼物.假设打卡二十四景游客打卡景点情况相互独立.
(1)从全体打卡二十四景游客中随机抽取3人，求3人抽奖总次数不低于4次的概率；
(2)任选一位打卡二十四景游客，求此游客抽中广化寺祈福香包的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用间接法，先求其对立事件“3人抽奖总次数低于4次”的概率即可；
（2）应用全概率公式求解.
【详解】（1）设3人抽奖总次数为，则的可能取值为3，4，5，6.
由题意知，每位打卡二十四景游客至少打卡两个景点的概率为，只打卡一个景点的概率为，随机抽取3人，3人打卡景点情况相互独立.
表示抽奖总次数为3次，即3人都只打卡一个景点.
依题意可得，，
所以.
（2）记事件“每位打卡二十四游客至少打卡两个景点”，
则“每位打卡二十四景游客只打卡一个景点”，
事件“一位打卡二十四景游客抽中广化寺祈福香包”，
则，，
因为每次抽奖可随机获得4种礼物中的1种礼物，所以游客抽到每个香包的概率都是.
一个游客至少打卡两个景点，抽中广化寺祈福香包的概率为，
一个游客打卡一个景点，抽中广化寺祈福香包的概率为，
由全概率公式得，
.
21．某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种创新产品，现对其生产的产品进行质量检验.
(1)为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，评估结果如图：现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善列联表，并说明是否有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关；
附：，.
(2)将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为，来自乙生产的概率为），检测结果显示这袋产品中恰有4件合格品，求该袋产品由甲团队生产的概率（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率）.
【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关
(2)
【分析】（1）根据题意完善列联表，计算得出结论；
（2）分别用A、B、C表示事件，根据全概率公式求出，再由计算即可得解.
【详解】（1）完善联表如下：
，
根据临界值表可知，有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关.
（2）记事件代表“一袋中有4个合格品”，事件代表“所抽取的这袋来自甲生产”，事件代表“所抽取的这袋来自乙生产”，故，,故求：
由
故.
22．双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛，之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A、B、C、D四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场比赛为决赛.
(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，求：
①A获得季军的概率；
②D成为亚军的概率；
(2)若A的实力出类拔萃，有4人参加的比赛其胜率均为75%，其余三人实力旗鼓相当，求D进入决赛且先前与对手已有过招的概率.
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①分析第一轮比赛后所在组，再确定后续比赛的胜负情况使A获得季军，应用独立事件的乘法公式求概率即可.
②分D首场笔试胜利和失败两种情况讨论，由全概率公式可得.
（2）可通过分类把复杂事件分为几个容易分析的事件，再解决问题.
【详解】（1）假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，即概率为，
①由题意，第一轮比赛一组，一组，
要A获得季军，则进入胜者组，后续连败两轮，或进入负者组，后续两轮先胜后败，
所以A获得季军的概率为.
②设表示队伍D在比赛中胜利，表示队伍D所参加的比赛中失败，
事件：队伍D获得亚军有三种情况：，
得
（2）由题意，A获胜的概率为，B、C、D之间获胜的概率均为，
要使D进入决赛且先前与对手已有过招，可分为两种情况：
①若A与D在决赛中相遇，分为A：1胜，3胜，D：1负4胜5胜，或A：1负4胜5胜，D：1胜，3胜，
概率为；
②若B与D决赛相遇，D：1胜，3胜，B：2胜3负5胜，或D：1胜，3负，5胜，B：2胜3胜，
概率为，
③若C与D决赛相遇，同B与D在决赛中相遇，
概率为；
所以D进入决赛且先前与对手已有过招的概率.
题型四 贝叶斯公式
策略方法
1.利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算，即；
第二步：计算，可利用求解；
第三步：代入求解．
2.贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即．
【典例1】（单选题）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有个纸箱，其中箱英语书、箱数学书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用表示丢失的一箱为英语书，表示丢失的一箱为数学书，利用全概率公式计算出的值，然后利用贝叶斯公式计算出的值.
【详解】用表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用表示丢失的一箱为英语书，表示丢失的一箱为数学书，
则，，，
由全概率公式可得，
所以，.
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意结合贝叶斯公式求解即可.
【详解】设事件表示“取到第号袋子”(=1，2，3，4，5)，事件表示“取到白球”，
则由贝叶斯公式得，
故选：A
2．“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解.
【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”，
则，，，，
则，
，
故，
故.
故选：D
3．某货车为某书店运送书籍，共箱，其中箱语文书、箱数学书、箱英语书．到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】记事件从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，记事件丢失的一箱是语文书，事件丢失的一箱是数学书，事件丢失的一箱是英语书，利用全概率公式求出的值，再利用贝叶斯公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，
记事件丢失的一箱是语文书，事件丢失的一箱是数学书，事件丢失的一箱是英语书，
则，
，
由贝叶斯公式可得.
故选：B.
4．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有个纸箱，其中箱英语书、箱数学书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用表示丢失的一箱为英语书，表示丢失的一箱为数学书，利用全概率公式计算出的值，然后利用贝叶斯公式计算出的值.
【详解】用表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用表示丢失的一箱为英语书，表示丢失的一箱为数学书，
则，，，
由全概率公式可得，
所以，.
故选：B.
5．托马斯·贝叶斯（ThmasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可
【详解】设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意：
①，；
②，；
③，；
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为
故选：C
6．根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别表示出三个事件：失踪的飞机后来被找到、失踪的飞机后来未被找到、装有紧急定位传送器的概率，再用条件贝叶斯公式计算即可得出结论.
【详解】设“失踪的飞机后来被找到”，“失踪的飞机后来未被找到”，“安装有紧急定位传送器”，
则，，
安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为.
故选：C.
二、多选题
7．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：．某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐分别记为事件，，且，，第二天去甲、乙两家餐厅就餐分别记为事件，，且，，已知王同学每天按时到甲、乙两家餐厅中的一家就餐，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据题中所给的公式进行逐一判断即可.
【详解】对A，因为，
所以，
所以有，
因此选项A正确,
对B，，故B正确；
对C，，
，所以选项C正确；
对D，因为为对立事件，则，所以选项D不正确，
故选：ABC.
8．某校开展“一带一路”知识竞赛，甲组有7名选手，其中5名男生，2名女生；乙组有7名选手，其中4名男生，3名女生．现从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人，表示事件“从甲组抽取的是男生”，表示事件“从甲组抽取的是女生”，B表示事件“从乙组抽取1名女生”，则下列结论正确的是（ ）
A．，是对立事件B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据对立事件的概念可判断A正确；根据全概率公式求出可判断B正确；根据条件概率公式计算可判断C错误；D正确．
【详解】A选项：根据对立事件的概念可知，，是对立事件，A正确；
B选项：由题意可知，，B正确；
C选项：当发生时，乙组中有5名男生，3名女生，其中抽取的不是1名女生有5种可能情况，则，C错误；
D选项：，D正确．
故选：ABD
三、填空题
9．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：．某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为 ．
【答案】
【分析】设事件为“甲同学周日去A馆”，事件为“甲同学周六去A馆”，即求，根据贝叶斯概率公式求解即可.
【详解】设事件为“甲同学周日去A馆”，事件为“甲同学周六去A馆”，即求，
根据题意得，，，
则.
故答案为：.
10．某同学喜爱篮球和跑步运动.在暑假期间，该同学下午去打篮球的概率为.若该同学下午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为.已知该同学在某天晚上去跑步，则下午打过篮球的概率为 .
【答案】
【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解即可.
【详解】设下午打篮球为事件，晚上跑步为事件，易知，，
∴，
∴.
故答案为：
11．假设某市场供应的口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
在该市场中任意买一口罩，用分别表示买到的口罩为甲品牌､乙品牌､其他品牌，表示买到的是优质品，则 .
【答案】
【分析】根据题意，由全概率公式求出，由概率乘法公式可得，进而由贝叶斯公式计算可得答案.
【详解】由全概率公式得：
，
由贝叶斯公式得.
故答案为：
12．流行性感冒，简称流感，是流感病毒引起的一种急性呼吸道疾病．已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是 ．
【答案】
【分析】根据古典概型的概率公式，求得选取的人为三个地区的概率，由题意，明确三个地区患流感的条件概率，利用全概率公式求得患流感的概率，根据条件概率的定义，可得答案.
【详解】记事件表示“这人患了流感”，事件分别表示“这人来自地区”，
由题意可知，，，
，，，
则，
故.
故答案为：.
13．设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为 .
【答案】
【分析】利用条件概率计算公式即可求得若取到的芯片是次品则该芯片是甲厂生产的概率.
【详解】记芯片分别由甲、乙、丙三条生产线生产为事件，
记取到的芯片是次品为事件，
则，
，
，
故，
则若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为.
故答案为：
四、解答题
14．三批同种规格的产品，第一批占25%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%；第三批占45%，次品率为5%．将三批产品混合，从混合产品中任取一件．
(1)求这件产品是次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取到第批产品为事件，，取到次品为事件，由全概率公式求解；
（2）由条件概率公式结合乘法公式求解.
【详解】（1）设取到第批产品为事件，，取到次品为事件.
.
（2）.
15．在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人
(1)求这个人患流感的概率；
(2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用全条件概率公式进行求解即可；
（2）利用条件概率公式进行求解即可.
【详解】（1）此人来自三个地区分别为事件，事件为这个人患流感，
所以，
因此
；
（2）.
16．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选拔，高一年级有的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者．
(1)设事件“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件“在三个年级中随机抽取1名学生，该生来自高年级”（）．请完成下表中不同事件的概率：
(2)若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概率．
【答案】(1)表格见解析
(2)
【分析】（1）根据三个年级的人数比值，以及每层抽取的比例，即可填写表格，再根据全概率公式，即可求解；（2）根据条件概率公式，即可求解.
【详解】（1）根据三个年级的人数比值为，则，
，，
由每个年级的抽取比例可知，，,
由全概率公式，得
，
（2）该学生来自于高一年级的概率.
17．滕州二中学校篮球社团举行篮球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队墨子队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队墨子队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；
(2)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队墨子队员上场的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件“甲队第局获胜”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；
（2）讨论上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率，再利用贝叶斯公式求甲队墨子队员上场的概率.
【详解】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，
事件“甲队第局获胜”，其中相互独立.
又甲队明星队员前四局不出场，故，
，所以.
（2）设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队墨子队员上场比赛，
由全概率公式知，，
因为每名队员上场顺序随机，故，
，
所以.
故.
18．在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率；
(2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设事件“种子选手第局上场”，事件“甲队最终获胜且种子选手上场”，求出、的值，利用全概率公式可求得的值；
（2）设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，计算出、的值，利用贝叶斯公式可求得的值.
【详解】（1）解：设事件“种子选手第局上场”，
事件“甲队最终获胜且种子选手上场”.
由全概率公式知，
因为每名队员上场顺序随机，故，
，，.
所以，
所以甲队最终获胜且种子选手上场的概率为.
（2）解：设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，
，，，
，
因为.
由（1）知，所以.
所以，已知甲队获得最终胜利，种子选手上场的概率为.
①事件的相互独立性
②条件概率
③全概率公式
④贝叶斯公式
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
优质率
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
优质率
甲
乙
总和
合格
不合格
总和
15
15
30
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
甲
乙
总和
合格
12
6
18
不合格
3
9
12
总和
15
15
30
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
优质率
事件概率
概率值
事件概率
概率值
题型目录一览
一、知识点梳理
一、条件概率
1.定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．
注：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．
2.性质
（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．
（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．
（3）如果与互斥，则．
注：已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．
二、相互独立与条件概率的关系
1.相互独立事件的概念及性质
（1）相互独立事件的概念
对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．
由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．
（2）概率的乘法公式
由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．
（3）相互独立事件的性质
如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．
（4）两个事件的相互独立性的推广
两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．
2.事件的独立性
（1）事件与相互独立的充要条件是．
（2）当时，与独立的充要条件是．
（3）如果，与独立，则成立．
三、全概率公式
1.全概率公式
（1）；（2）定理若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；②；
③，．
则对中的任意事件，都有，且．
2.贝叶斯公式
（1）一般地，当且时，有
（2）定理若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意概率非零的事件，都有，
且
注：贝叶斯公式体现了，，，，，之间的关系，即，，.
二、题型分类精讲
题型一 事件的相互独立性
策略方法
1.判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：事件，相互独立⇔．
（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
（3）条件概率法：当时，可用判断．
2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
（1）首先确定各事件之间是相互独立的．
（2）求出每个事件的概率，再求积．
注：使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．
【典例1】（单选题）将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】根据相互独立事件概率公式，即可判断选项.
【详解】由题意知，，，，
由于，所以甲与丁相互独立．
故选：B
【典例2】（单选题）如图，三个元件，，正常工作的概率分别为，，，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路正常工作的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由对立事件的概率性质可得，至少有一个正常工作的概率为，计算可得其概率，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案．
【详解】记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件，
则；
电路不发生故障，即正常工作且，至少有一个正常工作，
、不发生故障即，至少有一个正常工作的概率，
所以整个电路不发生故障的概率为，
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1．从甲口袋内摸出一个白球的概率是，从乙口袋内摸出一个白球的概率是，从两个口袋内各摸1个球，那么概率为的事件是（ ）
A．两个都不是白球B．两个不全是白球
C．两个都是白球D．两个球中恰好有一个白球
【答案】B
【分析】由条件可直接求出两个球全是白球的概率为，从而得到两个球不全是白球的概率为，由此得出结论.
【详解】解：∵从甲口袋内摸出一个白球的概率是，从乙口袋内摸出一个白球的概率是，
故两个球全是白球的概率为，
故两个球不全是白球的概率为，
故选：B.
2．某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】甲战胜乙包含两种情况：①甲连胜2局，②前两局甲一胜一负，第三局甲胜，由此利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出甲战胜乙的概率．
【详解】结合题意：甲队战胜乙队包含两种情况：
甲连胜2局，概率为，
前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为，
则甲战胜乙的概率为．
故选：D．
3．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”．丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙不相互独立D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可．
【详解】依题意可得P(甲)，P(乙)，
两次取出的球的数字之和为8，有，，，，，共5种情况，则P(丙)，
两次取出的球的数字之和为7，有，，，，，共6种情况，则P(丁)，
对于A，P(甲丙)P(甲)·P(丙)，A错误；
对于B，P(甲丁)P(甲)·P(丁)，B正确；
对于C，P(乙丙)P(乙)·P(丙)，C错误；
对于D，P(丙丁)P(丙)·P(丁)，D错误．
故选：B．
4．一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设，，则（ ）
A．与互斥B．与相互对立
C．与相互独立D．
【答案】D
【分析】根据已知条件求出概率，结合互斥事件，相互独立及概率的乘法公式进行计算即可.
【详解】依题得，，，，
对A，有共同的样本点2,3，所以不互斥，A错误；
对B，与共同的样本点，所以，B错误；
对C，，，则，则，
，，则，则C错误；
对D，，，D正确.
故选：D
5．现有同副牌中的5张数字不同的扑克牌，其中红桃1张、黑桃2张、梅花2张，从中任取一张，看后放回，再任取一张．甲表示事件“第一次取得黑桃扑克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花扑克牌”，丙表示事件“两次取得相同花色的扑克牌”，丁表示事件“两次取得不同花色的扑克牌”，则（ ）
A．乙与丙相互独立B．乙与丁相互独立
C．甲与丙相互独立D．甲与乙相互独立
【答案】D
【分析】根据题意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，结合相互独立事件的概念及判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意得，事件甲的概率，事件乙的概率，
有放回地取扑克牌两次的试验的基本事件总数是，显然事件丙与丁是对立事件，
两次取出的扑克牌花色相同包含的基本事件数为，
则事件丙的概率，所以事件丁的概率，
对于A中，事件乙与丙同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以乙与丙不相互独立，所以A错误；
对于B中，事件乙与丁同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以乙与丁不相互独立，所以B错误；
对于C中，事件甲与丙同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以甲与丙不相互独立，所以C错误；
对于D中，事件甲与乙同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以甲与乙相互独立，D正确．
故选：D．
6．同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”. 则下列说法中正确的是（ ）
①A与C互斥 ②B与D对立 ③A与D相互独立 ④B与C相互独立
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的定义逐一判断即可.
【详解】①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，
所以A与C互斥 ，因此本序号说法正确；
②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时，B与D同时发生，
因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；
③：，
显然，所以A与D不相互独立，所以本序号说法不正确；
④：，
显然，所以B与C相互独立，所以本序号说法正确，
故选：B
7．某中学运动会上有一个项目的比赛规则是：比赛分两个阶段，第一阶段，比赛双方各出5人，一对一进行比赛，共进行5局比赛，每局比赛获胜的一方得1分，负方得0分；第二阶段，比赛双方各出4人，二对二进行比赛，共进行2局比赛，每局比赛获胜的一方得2分，负方得0分．先得到5分及以上的一方裁定为本次比赛的获胜方，比赛结束．若甲、乙两个班进行比赛，在第一阶段比赛中，每局比赛双方获胜的概率都是，在第二阶段比赛中，每局比赛甲班获胜的概率都是，每局比赛的结果互不影响，则甲班经过7局比赛获胜的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】可分类分别求出甲班在第一阶段获胜的局数对应的概率，最后各种情况概率相加即可求解.
【详解】按照甲班在第一阶段获胜的局数，分类讨论如下：
（1）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．
（2）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．
（3）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．
（4）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．
所以所求概率，故A项正确.
故选：A.
8．同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ）
A．A与对立B．
C．A与相互独立D．与相互独立
【答案】C
【分析】对于A：根据对立事件概念分析判断；对于B：事件的运算结合古典概型运算求解；对于CD：根据古典概型结合独立事件的概念分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：事件“”，事件“为奇数”，
例如，则，不为奇数，
即A事件和事件可以同时不发生，所以A事件与事件不对立，故A错误；
对于选项B：样本空间共个样本点，
且，共个样本点，所以，
，共个样本点，，
，共个样本点，，
则，所以，故B错误；
对于选项C：因为，所以与不相互独立，故D错误；
对于选项D：因为，则，
且，可得，
所以与相互独立，故C正确．
故选：C．
二、多选题
9．甲､乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签.其中，甲袋中有编号为的三个号签；乙袋有编号为的六个号签.现从甲､乙两袋中各抽取1个号签，从甲､乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签6；事件C：抽取的两个号签和为3；事件D：抽取的两个号签编号不同.则下列选项中，正确的是（ ）
A．
B．
C．事件与事件C相互独立
D．事件A与事件D相互独立
【答案】ABD
【分析】利用相互独立事件的定义及概率乘法公式判断A,C,D选项，根据古典概型判断B选项.
【详解】对于A: A,B相互独立, ,A正确；
对于B：基本事件共有18种，
事件C包括2种情况, ,B正确；
对于C:由，得相互不独立，C错误；
对于D:由，得相互独立，D正确；
故选：ABD.
10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，定义事件：A=“”，B=“为奇数”，C=“”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件A与B互斥
B．事件A与B是对立事件
C．事件B与C相互独立
D．事件A与C相互独立
【答案】AD
【分析】根据题意，利用列举法，结合互斥事件、对立事件的概念，可判定A正确，B不正确；再由相互独立事件的判定方法，可判定C不正确，D正确.
【详解】抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，
用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，
定义事件：A=“”，B=“为奇数”，C=“”，
对于A中，事件包含的基本事件为，
事件包含的基本事件为，
事件与不能同时发生，所以事件与为互斥事件，所以A正确；
对于B中，事件与不能同时发生，但能同时不发生，所以不是对立事件，所以B错误；
对于C中，事件“”，可得，又由且，
则，所以事件与不相互独立，所以C错误；
对于D中，由，且，则满足，
所以事件与相互独立，所以D正确.
故选：AD.
11．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）
A．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件;
B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为
C．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为
D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是
【答案】ACD
【分析】应用对立事件的定义判断A，
密码被破解的对立事件是三个人同时没有破译密码，由此求出密码被破译的概率判断B，
从每袋中各任取一个球，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求出取到相同球的概率判断C，
利用对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式列方程，求判断D.
【详解】对于A，袋子中有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件，故A正确；
对于B，密码被破译的概率为，故B错误；
对于C，设从甲袋中取到白球为事件，则，从乙袋中取到白球为事件，则，
故取到同色球的概率为，故C正确；
对于D，因为，即，
即，
所以，
又，
所以，
所以，故D正确，
故选：ACD.
12．先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，设事件“”，事件“”，事件“为奇数”，则（ ）
A．B．
C．与相互独立D．与相互独立
【答案】ACD
【分析】根据古典概型概率公式计算概率判断AB，根据相互独立事件的定义结合概率的求法判断CD.
【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，
则基本事件总数为，，
，，
，，共36种情形，
满足事件的有，共4种情形，其概率，故A正确；
满足事件的有，共2种情形，其概率，B不正确；
满足事件的有，
，，共18种情形，
其概率，
满足事件的有共2种情形，所以，
则，所以与相互独立，C正确；
满足事件的只有一种情形，所以，
因为，所以与相互独立，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知，，人进行射击比赛，且，，一次射击命中环的概率分别为，，，若他们每人射击一次，则至少有人命中环的概率为 .
【答案】
【分析】根据独立事件的乘法公式直接求解.
【详解】人中至少有人命中环即人命中环或人命中环，
故所求概率，
故答案为：.
14．若两个事件相互独立，且，则 .
【答案】
【分析】根据对立事件的概率公式，即可得答案.
【详解】由于两个事件相互独立，且，
故，
故答案为：
15．某公司招新面试中有3道难度相当的题目，小明答对每道题目的概率都是0.7.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，则小明最终通过面试的概率为 .
【答案】
【分析】根据独立事件概率乘法公式可求得无法通过面试的概率，根据对立事件概率的求法可求得结果.
【详解】小明无法通过面试的概率为，
小明最终通过面试的概率为.
故答案为：.
16．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为 ．
【答案】0.236
【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.
【详解】设为独孤队第局取胜，
由题意，独孤队取胜的可能结果为四个互斥事件：，，，，
所以独孤队取胜的概率
．
故答案为：
17．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为 ．
【答案】
【分析】根据互斥事件、独立事件的概率公式求解即可.
【详解】记“这名同学答对第个问题”为事件，
则，，
这名同学得300分包括两种情况，一是答对第一和第三两个题目，二是答对第二和第三两个题目，这两种情况是互斥的，
所以
.
故答案为：
18．同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.
①A与C互斥 ②B与D对立 ③A与D相互独立 ④B与C相互独立
则上述说法中正确的为 .
【答案】①④
【分析】列举出所有可能组合，根据各事件的描述列出对应的组合，结合互斥、对立、独立事件的定义或性质判断事件间的关系即可.
【详解】若表示(红,蓝)的点数组合，则所有可能组合有：
，，
，，
，.
事件A的组合有，共4种；
事件B的组合有，，，共18种；
事件C的组合有，共6种；
事件D的组合有，，，，，，共27种；
事件的组合有，故；
事件的组合有故；
综上，A与C互斥，B与D不对立，，，，，
所以，. A与D不相互独立、B与C相互独立.
故答案为：①④
四、解答题
19．为普及法律知识，弘扬宪法精神，某校教师举行法律知识竞赛.比赛共分为两轮，即初赛和决赛，决赛通过后将代表学校参加市级比赛.在初赛中，已知甲教师晋级决赛的概率为，乙教师晋级决赛的概率为.若甲､乙能进入决赛，在决赛中甲､乙两人能胜出的概率分别为和.假设甲､乙初赛是否晋级和在决赛中能否胜出互不影响.
(1)若甲､乙有且只有一人能晋级决赛的概率为，求的值；
(2)在（1）的条件下，求甲､乙两人中有且只有一人能参加市级比赛的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式可分别计算甲、乙赢得比赛的概率，可得到结论；
（2）根据独立事件概率公式可求得结果.
【详解】（1）设事件表示“甲在初赛中晋级”，事件表示“乙在初赛中晋级”，
由题意可知，，
解得.
（2）设事件为“甲､乙两人中有且只有一人能参加市级比赛”，为“甲能参加市级比赛”，为“乙能参加市级比赛”，
则，
，
所以.
20．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否回答正确互不影响．求：
(1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率；
(2)该选手至多进入第二轮考核的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得.
（2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得.
【详解】（1）记“该选手正确回答第轮问题”为事件，则
事件，，相互独立，且，，.
因为该选手进入第三轮才被淘汰指：前两轮均通过，第三轮淘汰，
所以该选手进入第三轮才被淘汰的概率为
.
（2）因为选手至多进入第二轮考核意味着第一轮淘汰或者第一轮通过第二轮淘汰,且事件和互斥.
所以该选手至多进入第二轮考核的概率为
.
21．甲、乙两位同学参加某项知识竞赛，比赛共有两道题目，已知甲同学答对每道题的概率都为，乙同学答对每道题的概率都为，且在比赛中每人各题答题结果互不影响．已知同一道题甲、乙至少一人答对的概率为，两人都答对的概率为．
(1)求和的值；
(2)求本次知识竞赛甲同学答对的题数小于乙同学答对的题数的概率．
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）根据设“甲同学答对该题”，“乙甲同学答对该题”，再根据所给概率列式求解即可；
（2）设m，n分别表示甲、乙两位同学答对的题目数，由题意得所求概率为 ，再分别计算求和即可.
【详解】（1）设“甲同学答对该题”，“乙甲同学答对该题”，
则．
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与B相互独立，
所以，，
即，解得．
（2）设m，n分别表示甲、乙两位同学答对的题目数，由题意得，所求概率为 ．
22．一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为．
(1)求的值；
(2)求小红不能正确解答本题的概率；
(3)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算得解.
（2）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
（3）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
【详解】（1）记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件，则，
因为各种解法能否答对互不影响，且全部答对的概率为，
于是，解得，
所以.
（2）若小红不能正确解答本题，则说明小红任何方法都不会，
所以小红不能正确解答本题的概率是．
（3）记事件为小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对，
则
，
所以小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率为．
23．在2023年成都大运会的射击比赛中，中国队取得了优异的比赛成绩，激发了全国人民对射击运动的热情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，用抽签的方式确定第一次射击的人选，甲、乙两人被抽到的概率相等；若中靶，则此人继续射击，若未中靶，则换另一人射击．已知甲每次中靶的概率为，乙每次中靶的概率为，每次射击结果相互独立．
(1)若每次中靶得10分，未中靶不得分，求3次射击后甲得20分的概率；
(2)求第n次射击的人是乙的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，把3次射击后甲得20分的情况，第1次、第2次都是甲射击且中靶，第3次甲射击且未中靶和第1次乙射击且未中靶，第2次、第3次甲射击且均中靶，结合相互独立的概率乘法公式，即可求解；
（2）设“第n次射击的人是乙”为事件，得到，得到为等比数列，得到数列的通项公式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，3次射击后甲得20分的情况有以下两种：
第1次、第2次都是甲射击且中靶，第3次甲射击且未中靶，其概率；
第1次乙射击且未中靶，第2次、第3次甲射击且均中靶，
其概率．
所以3次射击后甲得20分的概率．
（2）解：设“第n次射击的人是乙”为事件，
则，
所以，又由，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，则，
故第n次射击的人是乙的概率为．
题型二 条件概率
策略方法
1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在…前提下(条件下)”等字眼．但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB)，要注意结合题目的具体情况进行分析．
2.求条件概率的两种方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得，这是求条件概率的通法．
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得.
【典例1】（单选题）连续抛掷一枚质地均匀的骰子3次，观察向上的点数．在第1次出现奇数的条件下，3次出现的点数之积为偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设第一次出现奇数为事件，3次出现的点数之积为偶数为事件，结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】设第一次出现奇数为事件，3次出现的点数之积为偶数为事件，
则，，
所以.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ）
A．0.495%B．0.9405%C．0.99%D．0.9995%
【答案】A
【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解.
【详解】记感染新冠病毒为事件,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件 则,故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为，
故选：A
2．某高铁动车检修基地库房内有共5条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车、高铁共五列车入库检修，若已知两列动车安排在相邻轨道，则动车停放在道的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件概型以及排列数的计算求得正确答案.
【详解】记“两动车相邻”，“动车停在道”，
则.
故选：C
3．有首歌道“大理三月好风光，蝴蝶泉边好梳妆”，近年来大理州一直致力开发旅游事业，吸引着大批的游客前往大理旅游.现有甲、乙两位游客慕名来到大理，准备从苍山、洱海、大理古城、崇圣寺三塔、蝴蝶泉五个景点中随机选择一个景点游玩，记事件为“甲和乙至少一人选择蝴蝶泉”，事件为“甲和乙选择的景点不同”，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】使用列举法，利用古典概型和条件概率公式可得.
【详解】分别记景点苍山、洱海、大理古城、崇圣寺三塔、蝴蝶泉分别为a，b，c，d，e.
则事件A包含的样本点有，共9种情况，
其中“甲和乙选择的景点不同”有，共8种情况，
所以.
故选：B
4．小明先后投掷两枚骰子，已知有一次投掷时朝上的点数为偶数，则两次投掷时至少有一次朝上的点数为4的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】记“有一次投掷时朝上的点数为偶数”为事件A，“两次投掷时至少有一次朝上的点数为4”为事件B，根据古典概型公式求出的值，进而根据条件概率公式求解即可得出答案.
【详解】记“有一次投掷时朝上的点数为偶数”为事件A，包含27种情况，“两次投掷时至少有一次朝上的点数为4”为事件B，包含11种情况.
则，，
所以，.
故选：B.
5．2023年8月31日贵南高铁实现全线贯通运营，我国西南和华南地区新增一条交通大动脉，黔桂两地间交通出行更加便捷、西南与华南地区联系将更加紧密.贵南高铁线路全长482公里，设计时速350公里，南宁东到贵阳东旅行时间由原来的5个多小时缩短至最快2小时53分.贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了解到其中有的人喜欢吃肠旺面，有的人喜欢吃丝娃娃，还有的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝娃娃.在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出事件，求出既喜欢肠旺面又喜欢丝娃娃的概率，从而利用条件概率公式求出答案.
【详解】设喜欢吃肠旺面设为事件，喜欢吃丝娃娃设为事件，
喜欢肠旺面或丝娃娃为事件，既喜欢肠旺面又喜欢丝娃娃为，
由题意知，，
从而，
因此由条件概率的公式得.
故选：B.
6．箱子中装有2个白球和2个黑球，两人先后从中有放回地随机摸取1个球，已知其中一人摸到的是白球，则另外一人摸到的也是白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，箱子中装有2个白球和2个黑球，两人先后从中有放回地随机摸取1个球，
设事件为“其中一人摸到的是白球”，事件为“另一人摸到的是白球”
因为两人先后从中有放回地随机摸取1个球，
可得，
所以所求概率为.
故选：A.
7．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用全概率公式进行求解.
【详解】设“从1号箱中取到红球放入2号箱”为事件A，“从2号箱中取到红球”为事件B.
由题意，知，，所以，
所以两次都取到红球的概率为.
故选：C.
8．一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，事件A：“这3个球的颜色各不相同”，事件B：“这3个球中至少有1个黑球”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】运用分类加法与分步乘法分别求得、，再结合条件概率的公式计算即可.
【详解】由题意知，， ，
所以.
故选：D.
9．湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用古典概率求出事件的概率，再利用条件概率公式计算即得.
【详解】依题意，甲，乙随机选择一条线路去研学的试验有个基本事件，
事件A含有的基本事件数是，则，
事件含有的基本事件数为，则,
所以.
故选：B
10．某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动．某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛．在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，党员甲被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件概率公式计算即可.
【详解】既有党员又有民主党派人士有种，
其中党员甲被选中有种，
所以在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，党员甲被选中的概率为.
故选：C.
11．将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“出现一个6点”，则概率的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由古典概型求出和，结合条件概率公式计算可得答案．
【详解】根据题意，将三枚骰子各掷一次，有种情况，
其中，若三个点数都不相同，有种情况，，
若三个点数都不相同且出现一个6点，有种情况，，
故概率．
故选：B．
12．甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择①，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用排列组合及计数原理，求出和，再利用条件概率公式即可求出结果.
【详解】由题意知，，，
所以，
故选：B.
13．甲盒中有2个红球和1个黄球，乙盒中有1个红球和2个黄球，丙盒中有1个红球和1个黄球．从甲盒中随机抽取一个球放入乙盒中，搅拌均匀，然后从乙盒中随机抽取一个球放入丙盒中，搅拌均匀后，再从丙盒中抽取一个球，则从丙盒中抽到的是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】事件从丙盒抽到的是红球可视为事件甲盒抽到黄球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球，
事件甲盒抽到黄球，乙盒抽到红球，事件丙盒抽到红球，甲盒抽到红球，乙盒抽到黄球，
丙盒抽到红球，事件甲盒抽到红球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的和事件，利用互斥
事件的概率加法公式和概率乘法公式求解即可.
【详解】甲盒抽到黄球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为，
甲盒抽到黄球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的概率为，
甲盒抽到红球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为，
甲盒抽到红球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的概率为，
因此丙盒中抽到的红球的概率为．
故选：A．
二、多选题
14．某校高三班有学生人，其中共青团员人．全班平均分成个小组，其中第一组有共青团员人．从该班任选一人作为学生代表，下列说法错误的是（ ）
A．选到的是第一组的学生的概率为
B．选到的是第一组的学生的概率为
C．已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率为
D．已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率为
【答案】AC
【分析】由古典概型的概率可判断选项A、B；再由条件概率可判断选项C、D.
【详解】设事件表示“选到第一组学生”，事件表示“选到共青团员”，
由题意，，故选项A错误，选项B正确；
要求的是在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，
在事件发生的条件下即已所选到的学生是共青团员为前提，有种不同的选择，
其中属于第一组的有种选择，
因此，故选项C错误，选项D正确.
故选：AC．
15．若、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
【答案】BD
【分析】利用条件概率公式逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，因为，
但与不一定相等，故不一定等于，A错；
对于B选项，因为，，
所以，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，因为，所以，，
所以，事件、独立，故，D对.
故选：BD.
16．某校开展羽毛球比赛，甲组有选手6名，其中3名男生，3名女生；乙组有选手5名，其中3名男生，2名女生．现从甲组随机抽取一人加入乙组，再从乙组随机抽取一人，A表示事件“从甲组随机抽取的一人是女生”，表示事件“从乙组随机抽取的一人是男生”，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】AB选项，在A发生情况下，结合古典概型求概率公式计算出答案；CD选项，在发生的情况下，结合古典概型求概率公式计算出答案.
【详解】A选项，在A发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是男生有3种可能情况，所以，A正确；
B选项，在A发生时，从乙组随机抽取一人，其中抽取的一人是女生有3种可能情况，所以错误；
C选项，在发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是男生有4种可能情况，所以，C正确；
D选项，在发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是女生有2种可能情况，所以，D错误.
故选：AC．
17．给定事件，且，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则A，B互为对立事件
B．若，且A，B互斥，则A，B不可能相互独立
C．
D．若A，B为相互独立事件且，则
【答案】BCD
【分析】利用条件概率和对立事件的的概念判断选项A；利用事件的互斥和独立的概念判断选项B；利用条件概率公式判断选项C；利用独立事件的概率乘法公式判断选项D.
【详解】对A，由表明在事件发生的前提下，
事件或事件发生的概率为1，并不能得出A，B互为对立事件，A错误；
对B，若，且A，B互斥，
则,所以A，B不可能相互独立，B正确；
对C，当互斥时，；
当不互斥时，，C正确；
对D，若A，B为相互独立事件，
则，
,D正确.
故选:BCD.
18．盒子中共有4只黑球，2只白球，现从中不放回地每次任取一球，连取两次，则下列选项正确的是（ ）
A．第一次取到黑球的概率为
B．事件“第一次取到黑球”和“第一次取到白球”互斥不对立
C．在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率为
D．第二次取到黑球的概率为
【答案】AC
【分析】求出第一次取到黑球的概率可判断A；列出“第一次取到黑球”、“第一次取到白球”包含的基本事件可判断B；根据条件概率公式计算可判断C；求出第二次取到黑球的概率可判断D.
【详解】对于A，第一次取到黑球的概率为，故A正确；
对于B，事件“第一次取到黑球”包括第一次取到黑球第二次取到黑球，
或者第一次取到黑球第二次取到白球两种情况；
“第一次取到白球”包括第一次取到白球第二次取到白球，
或者第一次取到白球第二次取到黑球两种情况，
所以事件“第一次取到黑球”和“第一次取到白球”即互斥又对立，故B错误；
对于C，设第一次取到白球为事件，第二次取到黑球为事件，
则第一次取到白球第二次取到黑球的概率为，，
所以在第一次取到白球的条件下，
第二次取到黑球的概率为，故C正确；
对于D，第二次取到黑球包括第一次取到黑球第二次取到黑球，
或者第一次取到白球第二次取到黑球两种情况，
所以第二次取到黑球的概率为，故D错误.
故选：AC.
19．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解即可.
【详解】因为，，所以，.
因为与为互斥事件，所以，
所以
，
所以，
故，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，，
所以，故D错误.
故选:AB.
三、填空题
20．袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是 .
【答案】
【分析】先设事件A、B，写出，；再利用条件概率计算公式计算即可得出答案.
【详解】用A表示事件“从中任意取出一球，它不是白球”，用B表示事件“从中任意取出一球，它是黑球”.
则，
所以
故答案为：
21．已知事件发生的概率为，事件发生的概率为，若在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为 .
【答案】
【分析】利用条件概率公式计算出的值，再利用条件概率公式可求得的值.
【详解】由已知可得，，，
由可得，
故.
故答案为：.
22．从这个连续正整数中不放回地任取2个数，设“第一次取到的是质数”为事件A，又设“第二次取到的不是质数”为事件，且，则的所有可能值的和为 .
【答案】15
【分析】根据条件概率得出在中质数比不是质数的数多一个，由质数合数的定义判断可得的可能值，再求和即得．
【详解】由知在中质数比不是质数的数多一个，因此只可能为3，5，7共3个，而．
故答案为：15.
23．现有10张奖券，有且仅有2张为有奖奖券，甲、乙两人轮流依次不放回地抽取奖券，甲先抽取，然后乙再抽取为一个轮次．则在第一轮甲、乙都未中奖的条件下，第二轮甲、乙都中奖的概率为 ．
【答案】
【分析】设出事件，利用条件概率公式进行求解.
【详解】设事件为在第一轮甲、乙都未中奖，事件为第二轮甲、乙都中奖，
则，
，
所以.
故答案为：
24．当前，我国各年龄段青少年的近视呈现发病年龄早､进展快､程度深的趋势，其中很大一部分是青少年长时间玩手机导致的.据调查，贵阳市某高中学生大约0.3的人近视，而该校大约有0.4的学生每天玩手机超过2.5小时，这些人的近视率约为0.6.现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过2.5小时的概率为 .
【答案】
【分析】根据条件概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】从该校学生中任意调查一名学生他是近视记为事件，且，
从该校学生中任意调查一名学生他每天玩手机超过记为事件，
且由题可知，，
所以从该校近视的学生中任意调查一名学生，
则他每天玩手机超过的概率为.
故答案为：
25．1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节.五一劳动节某单位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一假期期间值班2天，则甲连续值班的概率是 .
【答案】
【分析】根据条件概率公式可求出结果.
【详解】记“甲在五一假期期间值班2天”为事件，“甲连续值班”为事件，
则种，种，
所以，
所以已知甲在五一假期期间值班2天，则甲连续值班的概率为.
故答案为：.
26．五一长假期间，某单位安排这3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知在五一长假期间值班2天，则连续值班的概率是 .
【答案】
【分析】根据条件概率公式可求出结果.
【详解】记“在五一长假期间值班2天”，“连续值班”，
则种，种，
所以.
所以已知在五一长假期间值班2天，则连续值班的概率为.
故答案为：.
27．现有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机抽取两瓶，若取出的两瓶中至少有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为 ．
【答案】
【分析】先用大写字母表示各个事件，然后根据条件概率公式，分别求出各事件的概率即可.
【详解】设事件A为“取出的两瓶中至少有一瓶是蓝色”，事件B为“取出的两瓶中另一瓶是红色”，事件C为“取出的两瓶中另一瓶是黑色”，事件D为“取出的两瓶中另一瓶是红色或黑色”，则，且B与C互斥．由题意得，
，，，
所以，
故取出的两瓶中至少有一瓶是蓝色，另一瓶是红色或黑色的概率为．
故答案为：.
题型三 全概率公式
策略方法
全概率公式在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．
【典例1】（单选题）在2023亚运会中，中国女子篮球队表现突出，卫冕亚运会冠军，该队某球员被称为3分球投手，在比赛中，她3分球投中的概率为，非3分球投中的概率为，且她每次投球投3分球的概率为，则该球员投一次球得分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据全概率公式即可求解.
【详解】设事件A为“该球员投球得分”，事件B为“该球员投中3分球得分”，
由全概率公式：，
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ）
A．0.08B．0.1C．0.15D．0.2
【答案】A
【分析】运用全概率公式进行求解即可.
【详解】取得的光片是次品的概率为.
故选：A
2．甲、乙两个袋子中各装有5个大小相同的小球，其中甲袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有3个红球，1个白球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事件和分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件表示从乙袋中取出的球是红球，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由全概率公式可得.
【详解】易知，
，
所以
.
故选：A
3．现有甲乙两个箱子，分别装有除颜色外其它都相同的黑色和白色两种球，甲箱装有2个白球3个黑球，乙箱有3个白球2个黑球，先从甲箱随机取一个球放入乙箱，再从乙箱随机取一个球是白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出事件，利用全概率公式进行计算.
【详解】设“从乙箱中取出白球”，“从甲箱中取出白球”，
则，，，，
故由全概率公式得．
故选：C．
4．长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答.
【详解】令“玩手机时间超过的学生”，“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”，
则，且互斥，，，
依题意，，解得，
所以所求近视的概率为.
故选：B
5．随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是（ ）
A．0.24B．0.14C．0.067D．0.077
【答案】D
【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的，以及互斥事件的概率加法公式，准确计算，即可求解.
【详解】记小明步行上班为事件，骑共享单车上班为事件，乘坐地铁上班为事件，
小明上班迟到为事件，
则，，，
，
所以
，
所以某天上班他迟到的概率是.
故选：D.
6．设A，B为两个事件，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.
【详解】由，得，显然，
因此，所以．
故选：B
7．重庆八中味园食堂午餐情况监测数据表明，小唐同学周一去味园的概率为 ，周二去味园的概率为 ，且小唐周一不去味园的条件下周二去味园的概率是周一去味园的条件下周二去味园的概率的2倍，则小唐同学周一、周二都去味园的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设“小唐同学周一去味园”为事件A，设“小唐周二去味园”为事件B，根据题意利用全概率公式可得，进而结合条件概率公式分析求解.
【详解】设“小唐同学周一去味园”为事件A，设“小唐周二去味园”为事件B，则“小唐同学周一、周二都去味园”为事件AB，
由题意可知：，且，
由全概率公式可知：，
即，解得，
所以.
故选：A
8．已知有两箱书，第一箱中有3本故事书，2本科技书；第二箱中有2本故事书，3本科技书．随机选取一箱，再从该箱中随机取书两次，每次任取一本，做不放回抽样，则在第一次取到科技书的条件下，第二次取到的也是科技书的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】记事件“第一箱中取书”，事件“从第二箱中取书”．事件“第次从箱中取到的书是科技书”，，然后根据题意求出，,的值，再根据全概率公式和条件概率公式求解即可.
【详解】记事件“第一箱中取书”，事件“从第二箱中取书”．事件“第次从箱中取到的书是科技书”，,
则由题意知，，,
,
所以
故选：C
二、多选题
9．某市场供应多种品牌的N95口罩，相应的市场占有率和优质率的信息如表：在该市场中随机买一种品牌的口罩，记表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，记表示买到的口罩是优质品，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】对于A，利用互斥事件的概率公式求解判断，对于BD，由条件概率公式计算判断，对于C，由全概率公式计算判断.
【详解】由题意得，
对于A，因为与互斥，所以，所以A正确；
对于B，，所以B错误；
对于C，，所以C正确；
对于D，，所以D错误.
故选：AC
10．甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件表示“从乙盒中取出的是红球”，则（ ）
A．事件与事件是对立事件B．事件与事件是独立事件
C．D．
【答案】AD
【分析】根据对立事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断B；分第一次取白球和红球两种情况讨论，从而可判断C；根据条件概率公式即可判断D.
【详解】对于A：事件A与事件是对立事件，故A正确；
对于B：事件发生与否与事件C有关，故B错误：
对于C：，故C错误；
对于D：，，
所以，故D正确．
故选：AD.
11．某市场供应多种品牌的N95口罩，相应的市场占有率和优质率的信息如下表：
在该市场中随机买一种品牌的口罩，记表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，记表示买到的口罩是优质品，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】对于A，利用互斥事件的概率公式求解判断，对于BD，由条件概率公式计算判断，对于C，由全概率公式计算判断.
【详解】由题意得，
对于A，因为与互斥，所以，所以A正确，
对于B，，所以B错误，
对于C，
，所以C正确，
对于D，，所以D错误，
故选：AC
12．有3台机器生产同一种零件.第1台机器加工的次品率为10%，第2，3台机器加工的次品率均为8%，加工出来的零件混放在一起.已知三台机器生产的零件数分别占总数的20%，35%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第一台机器生产出来的次品概率为0.02
B．任取一个零件是次品的概率为0.084
C．如果取到的零件是次品，且是第2台机器生产的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台机器生产的概率为
【答案】ABD
【分析】应用乘方公式、全概率公式求第一台机器生产出来的次品概率、次品的概率，再由条件概率含义，应用古典概型的概率求法求次品条件下第2、3台机器生产的概率.
【详解】A：任取一个零件是第一台机器生产出来的次品概率为，对；
B：任取一个零件是次品的概率为，对；
C：如果取到的零件是次品，且是第2台机器生产的概率为，错；
D：如果取到的零件是次品，且是第3台机器生产的概率为，对.
故选：ABD
三、填空题
13．某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的，男性占近期购车车主总数的，女性购车车主有购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率是 .
【答案】0.7
【分析】根据题意，由全概率公式将购买新能源的分为男性购买新能源和女性购买新能源列出关系求解即可.
【详解】设男性中有购买了新能源车，则，解得，
所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是0.7.
故答案为：0.7
14．浙江省高考实行“七选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，50%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为 ．
【答案】
【分析】先求得这个学生来自每个学校并且选择了物理的概率，最后由分类加法算出总概率.
【详解】设：事件：这个学生来自甲学校；事件：这个学生来自乙学校；事件：这个学生来自丙学校；
事件：甲学校学生选了物理；事件：乙学校学生选了物理；事件：丙学校学生选了物理；
由题意知：这个学生选择是物理的概率：.
故答案为：.
15．现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球､2个黑球，2号罐子中装有4个红球､2个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用全概率公式求解作答.
【详解】记1号罐子中取出红球的事件为，取出黑球的事件为，从2号罐子中取出红球的事件为，
显然互斥，，
所以.
故答案为：.
16．某学校有，两家餐厅，某同学第1天等可能地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4，则该同学第2天去餐厅的概率为 ．
【答案】
【分析】根据题意结合全概率公式可直接求得.
【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，
“第2天去餐厅用餐”，“第2天去餐厅用餐”，
根据题意得，，，
由全概率公式，
得，
因此该同学第天去餐厅用餐的概率为.
故答案为：.
17．已知某地居民中青少年、中年人、老年人暑期去广西桂林旅游的概率分别为0.1，0.2，0.15，且该地居民青少年、中年人、老年人的人数比例为4:3:3，若从该地居民（仅指青少年、中年人、老年人）中任选一人，则此人暑期去桂林旅游的概率为 ．
【答案】0.145
【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算得解.
【详解】记该地居民为青少年、中年人、老年人的事件分别为，显然，且两两互斥，
记任选一人去桂林旅游的事件为，则，
,
由全概率公式得.
故答案为：0.145
四、解答题
18．年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.
(1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率：
(2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式计算出乙、丙分别答题正确的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率；
（2）利用全概率公式可求出所求事件的概率.
【详解】（1）解：设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，
则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得，
乙、丙两人都回答正确的概率是，解得，
所以，若规定三名同学都需要回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率为.
（2）解：记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，
记事件为“这道题被答对”，
则，，，
，，，
由全概率公式可得.
19．为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．
(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；
(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，分别求出概率，根据全概率公式计算即可；
（2）先设事件 ，然后求出相关概率，再根据全概率公式计算即可.
【详解】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，
则，，
所以第二题抽到的是概念叙述题的概率
（2）设事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题，事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是计算题，事件表示同学甲从甲箱中取出1个概念叙述题1个计算题，事件表示B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题，
，，
，，
20．莆田是历史文化名城.著名的“莆田二十四景”是游客的争相打卡点，莆田文旅局调查打卡二十四景游客，发现75%的人至少打卡两个景点.为提升城市形象，莆田文旅局为大家准备了4种礼物，分别是莆田文化金属书签､莆阳古厝徽章､广化寺祈福香包､湄洲艺术摆件.若打卡二十四景游客至少打卡两个景点，则有两次抽奖机会；若只打卡一个景点，则有一次抽奖机会.每次抽奖可随机获得4种礼物中的1种礼物.假设打卡二十四景游客打卡景点情况相互独立.
(1)从全体打卡二十四景游客中随机抽取3人，求3人抽奖总次数不低于4次的概率；
(2)任选一位打卡二十四景游客，求此游客抽中广化寺祈福香包的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用间接法，先求其对立事件“3人抽奖总次数低于4次”的概率即可；
（2）应用全概率公式求解.
【详解】（1）设3人抽奖总次数为，则的可能取值为3，4，5，6.
由题意知，每位打卡二十四景游客至少打卡两个景点的概率为，只打卡一个景点的概率为，随机抽取3人，3人打卡景点情况相互独立.
表示抽奖总次数为3次，即3人都只打卡一个景点.
依题意可得，，
所以.
（2）记事件“每位打卡二十四游客至少打卡两个景点”，
则“每位打卡二十四景游客只打卡一个景点”，
事件“一位打卡二十四景游客抽中广化寺祈福香包”，
则，，
因为每次抽奖可随机获得4种礼物中的1种礼物，所以游客抽到每个香包的概率都是.
一个游客至少打卡两个景点，抽中广化寺祈福香包的概率为，
一个游客打卡一个景点，抽中广化寺祈福香包的概率为，
由全概率公式得，
.
21．某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种创新产品，现对其生产的产品进行质量检验.
(1)为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，评估结果如图：现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善列联表，并说明是否有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关；
附：，.
(2)将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为，来自乙生产的概率为），检测结果显示这袋产品中恰有4件合格品，求该袋产品由甲团队生产的概率（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率）.
【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关
(2)
【分析】（1）根据题意完善列联表，计算得出结论；
（2）分别用A、B、C表示事件，根据全概率公式求出，再由计算即可得解.
【详解】（1）完善联表如下：
，
根据临界值表可知，有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关.
（2）记事件代表“一袋中有4个合格品”，事件代表“所抽取的这袋来自甲生产”，事件代表“所抽取的这袋来自乙生产”，故，,故求：
由
故.
22．双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛，之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A、B、C、D四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场比赛为决赛.
(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，求：
①A获得季军的概率；
②D成为亚军的概率；
(2)若A的实力出类拔萃，有4人参加的比赛其胜率均为75%，其余三人实力旗鼓相当，求D进入决赛且先前与对手已有过招的概率.
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①分析第一轮比赛后所在组，再确定后续比赛的胜负情况使A获得季军，应用独立事件的乘法公式求概率即可.
②分D首场笔试胜利和失败两种情况讨论，由全概率公式可得.
（2）可通过分类把复杂事件分为几个容易分析的事件，再解决问题.
【详解】（1）假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，即概率为，
①由题意，第一轮比赛一组，一组，
要A获得季军，则进入胜者组，后续连败两轮，或进入负者组，后续两轮先胜后败，
所以A获得季军的概率为.
②设表示队伍D在比赛中胜利，表示队伍D所参加的比赛中失败，
事件：队伍D获得亚军有三种情况：，
得
（2）由题意，A获胜的概率为，B、C、D之间获胜的概率均为，
要使D进入决赛且先前与对手已有过招，可分为两种情况：
①若A与D在决赛中相遇，分为A：1胜，3胜，D：1负4胜5胜，或A：1负4胜5胜，D：1胜，3胜，
概率为；
②若B与D决赛相遇，D：1胜，3胜，B：2胜3负5胜，或D：1胜，3负，5胜，B：2胜3胜，
概率为，
③若C与D决赛相遇，同B与D在决赛中相遇，
概率为；
所以D进入决赛且先前与对手已有过招的概率.
题型四 贝叶斯公式
策略方法
1.利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算，即；
第二步：计算，可利用求解；
第三步：代入求解．
2.贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即．
【典例1】（单选题）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有个纸箱，其中箱英语书、箱数学书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用表示丢失的一箱为英语书，表示丢失的一箱为数学书，利用全概率公式计算出的值，然后利用贝叶斯公式计算出的值.
【详解】用表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用表示丢失的一箱为英语书，表示丢失的一箱为数学书，
则，，，
由全概率公式可得，
所以，.
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意结合贝叶斯公式求解即可.
【详解】设事件表示“取到第号袋子”(=1，2，3，4，5)，事件表示“取到白球”，
则由贝叶斯公式得，
故选：A
2．“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解.
【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”，
则，，，，
则，
，
故，
故.
故选：D
3．某货车为某书店运送书籍，共箱，其中箱语文书、箱数学书、箱英语书．到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】记事件从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，记事件丢失的一箱是语文书，事件丢失的一箱是数学书，事件丢失的一箱是英语书，利用全概率公式求出的值，再利用贝叶斯公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，
记事件丢失的一箱是语文书，事件丢失的一箱是数学书，事件丢失的一箱是英语书，
则，
，
由贝叶斯公式可得.
故选：B.
4．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有个纸箱，其中箱英语书、箱数学书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用表示丢失的一箱为英语书，表示丢失的一箱为数学书，利用全概率公式计算出的值，然后利用贝叶斯公式计算出的值.
【详解】用表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用表示丢失的一箱为英语书，表示丢失的一箱为数学书，
则，，，
由全概率公式可得，
所以，.
故选：B.
5．托马斯·贝叶斯（ThmasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可
【详解】设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意：
①，；
②，；
③，；
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为
故选：C
6．根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别表示出三个事件：失踪的飞机后来被找到、失踪的飞机后来未被找到、装有紧急定位传送器的概率，再用条件贝叶斯公式计算即可得出结论.
【详解】设“失踪的飞机后来被找到”，“失踪的飞机后来未被找到”，“安装有紧急定位传送器”，
则，，
安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为.
故选：C.
二、多选题
7．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：．某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐分别记为事件，，且，，第二天去甲、乙两家餐厅就餐分别记为事件，，且，，已知王同学每天按时到甲、乙两家餐厅中的一家就餐，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据题中所给的公式进行逐一判断即可.
【详解】对A，因为，
所以，
所以有，
因此选项A正确,
对B，，故B正确；
对C，，
，所以选项C正确；
对D，因为为对立事件，则，所以选项D不正确，
故选：ABC.
8．某校开展“一带一路”知识竞赛，甲组有7名选手，其中5名男生，2名女生；乙组有7名选手，其中4名男生，3名女生．现从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人，表示事件“从甲组抽取的是男生”，表示事件“从甲组抽取的是女生”，B表示事件“从乙组抽取1名女生”，则下列结论正确的是（ ）
A．，是对立事件B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据对立事件的概念可判断A正确；根据全概率公式求出可判断B正确；根据条件概率公式计算可判断C错误；D正确．
【详解】A选项：根据对立事件的概念可知，，是对立事件，A正确；
B选项：由题意可知，，B正确；
C选项：当发生时，乙组中有5名男生，3名女生，其中抽取的不是1名女生有5种可能情况，则，C错误；
D选项：，D正确．
故选：ABD
三、填空题
9．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：．某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为 ．
【答案】
【分析】设事件为“甲同学周日去A馆”，事件为“甲同学周六去A馆”，即求，根据贝叶斯概率公式求解即可.
【详解】设事件为“甲同学周日去A馆”，事件为“甲同学周六去A馆”，即求，
根据题意得，，，
则.
故答案为：.
10．某同学喜爱篮球和跑步运动.在暑假期间，该同学下午去打篮球的概率为.若该同学下午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为.已知该同学在某天晚上去跑步，则下午打过篮球的概率为 .
【答案】
【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解即可.
【详解】设下午打篮球为事件，晚上跑步为事件，易知，，
∴，
∴.
故答案为：
11．假设某市场供应的口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
在该市场中任意买一口罩，用分别表示买到的口罩为甲品牌､乙品牌､其他品牌，表示买到的是优质品，则 .
【答案】
【分析】根据题意，由全概率公式求出，由概率乘法公式可得，进而由贝叶斯公式计算可得答案.
【详解】由全概率公式得：
，
由贝叶斯公式得.
故答案为：
12．流行性感冒，简称流感，是流感病毒引起的一种急性呼吸道疾病．已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是 ．
【答案】
【分析】根据古典概型的概率公式，求得选取的人为三个地区的概率，由题意，明确三个地区患流感的条件概率，利用全概率公式求得患流感的概率，根据条件概率的定义，可得答案.
【详解】记事件表示“这人患了流感”，事件分别表示“这人来自地区”，
由题意可知，，，
，，，
则，
故.
故答案为：.
13．设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为 .
【答案】
【分析】利用条件概率计算公式即可求得若取到的芯片是次品则该芯片是甲厂生产的概率.
【详解】记芯片分别由甲、乙、丙三条生产线生产为事件，
记取到的芯片是次品为事件，
则，
，
，
故，
则若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为.
故答案为：
四、解答题
14．三批同种规格的产品，第一批占25%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%；第三批占45%，次品率为5%．将三批产品混合，从混合产品中任取一件．
(1)求这件产品是次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取到第批产品为事件，，取到次品为事件，由全概率公式求解；
（2）由条件概率公式结合乘法公式求解.
【详解】（1）设取到第批产品为事件，，取到次品为事件.
.
（2）.
15．在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人
(1)求这个人患流感的概率；
(2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用全条件概率公式进行求解即可；
（2）利用条件概率公式进行求解即可.
【详解】（1）此人来自三个地区分别为事件，事件为这个人患流感，
所以，
因此
；
（2）.
16．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选拔，高一年级有的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者．
(1)设事件“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件“在三个年级中随机抽取1名学生，该生来自高年级”（）．请完成下表中不同事件的概率：
(2)若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概率．
【答案】(1)表格见解析
(2)
【分析】（1）根据三个年级的人数比值，以及每层抽取的比例，即可填写表格，再根据全概率公式，即可求解；（2）根据条件概率公式，即可求解.
【详解】（1）根据三个年级的人数比值为，则，
，，
由每个年级的抽取比例可知，，,
由全概率公式，得
，
（2）该学生来自于高一年级的概率.
17．滕州二中学校篮球社团举行篮球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队墨子队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队墨子队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；
(2)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队墨子队员上场的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件“甲队第局获胜”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；
（2）讨论上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率，再利用贝叶斯公式求甲队墨子队员上场的概率.
【详解】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，
事件“甲队第局获胜”，其中相互独立.
又甲队明星队员前四局不出场，故，
，所以.
（2）设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队墨子队员上场比赛，
由全概率公式知，，
因为每名队员上场顺序随机，故，
，
所以.
故.
18．在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率；
(2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设事件“种子选手第局上场”，事件“甲队最终获胜且种子选手上场”，求出、的值，利用全概率公式可求得的值；
（2）设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，计算出、的值，利用贝叶斯公式可求得的值.
【详解】（1）解：设事件“种子选手第局上场”，
事件“甲队最终获胜且种子选手上场”.
由全概率公式知，
因为每名队员上场顺序随机，故，
，，.
所以，
所以甲队最终获胜且种子选手上场的概率为.
（2）解：设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，
，，，
，
因为.
由（1）知，所以.
所以，已知甲队获得最终胜利，种子选手上场的概率为.
①事件的相互独立性
②条件概率
③全概率公式
④贝叶斯公式
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
优质率
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
优质率
甲
乙
总和
合格
不合格
总和
15
15
30
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
甲
乙
总和
合格
12
6
18
不合格
3
9
12
总和
15
15
30
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
优质率
事件概率
概率值
事件概率
概率值
相关试卷
新高考数学一轮复习讲义 第53讲 事件的独立性、条件概率和全概率公式（2份打包，原卷版+含解析）： 这是一份新高考数学一轮复习讲义 第53讲 事件的独立性、条件概率和全概率公式（2份打包，原卷版+含解析），文件包含新高考数学一轮复习讲义第53讲事件的独立性条件概率和全概率公式原卷版doc、新高考数学一轮复习讲义第53讲事件的独立性条件概率和全概率公式含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共90页， 欢迎下载使用。
第53练 事件的独立性、条件概率和全概率公式（精练）【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）： 这是一份第53练 事件的独立性、条件概率和全概率公式（精练）【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用），文件包含第53练事件的独立性条件概率和全概率公式精练基础+重难点原卷版docx、第53练事件的独立性条件概率和全概率公式精练基础+重难点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共94页， 欢迎下载使用。
素养拓展39 概率与统计的综合问题（精讲+精练）【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）： 这是一份素养拓展39 概率与统计的综合问题（精讲+精练）【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用），文件包含素养拓展39概率与统计的综合问题精讲+精练原卷版docx、素养拓展39概率与统计的综合问题精讲+精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共126页， 欢迎下载使用。
