新高考数学一轮复习专题八平面解析几何微专题一圆锥曲线中的定点与定值问题练习含答案

这是一份新高考数学一轮复习专题八平面解析几何微专题一圆锥曲线中的定点与定值问题练习含答案，共5页。试卷主要包含了已知椭圆C，双曲线C，,18)已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
(1)求C的标准方程;
(2)证明:直线l过定点,并求出定点坐标.
解析 (1)由抛物线C关于y轴对称,可设C:x2=2py,
由P(2,2)在抛物线C上,得4=2p×2,解得p=1,
故C:x2=2y.
(2)证明:设A(x1,y1)、B(x2,y2),则kPA=y1−2x1−2=x122−2x1−2=(x1−2)(x1+2)2(x1−2)=x1+22,同理可得kPB=x2+22,
由kPA·kPB=3,得x1+22·x2+22=3,得x1x2+2(x1+x2)=8,
联立x2=2y,y=kx+b,消去y得x2-2kx-2b=0,
Δ=4k2+8b>0,x1+x2=2k,x1x2=-2b,
即有-2b+2×2k=8,化简得b=2k-4,
此时Δ=4k2+8b=4k2+16k-32,则Δ>0有解,
则l:y=k(x+2)-4,即直线l过定点(-2,-4).
2.(2024江西质量检测,17)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,且|AF1|+|AF2|=4,离心率为12.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知M,N是C上两点(点M,N不同于点A),直线AM,AN分别交直线x=-1于P,Q两点,若F1P·F1Q=-94,证明:直线MN过定点.
解析 (1)不妨设椭圆C的半焦距为c,
因为|AF1|+|AF2|=4,离心率为12,
所以2a=4,ca=12,a2=b2+c2,解得a=2,b=3,c=1,则C的方程为x24+y23=1.
(2)证明:由(1)知F1(-1,0),A(2,0),易知直线MN的斜率存在且不为0,
不妨设MN的方程为x=sy+t(t≠2),M(x1,y1),N(x2,y2),
联立x=sy+t,x24+y23=1,消去x并整理得(3s2+4)y2+6sty+3t2-12=0,由Δ=36s2t2-4(3s2+4)(3t2-12)>0,得3s2+4-t2>0,
由根与系数的关系得y1+y2=-6st3s2+4,y1y2=3t2−123s2+4,
所以x1+x2=s(y1+y2)+2t=8t3s2+4,
x1x2=(sy1+t)(sy2+t)=s2y1y2+st(y1+y2)+t2=4t2−12s23s2+4,
易知直线AM的方程为y=y1x1−2(x-2),令x=-1,
解得y=-3y1x1−2,即P−1,−3y1x1−2,同理得Q−1,−3y2x2−2,
所以F1P=0,−3y1x1−2,F1Q=0,−3y2x2−2,
因为F1P·F1Q=-94,所以-3y1x1−2−3y2x2−2=-94,
即y1y2x1x2−2(x1+x2)+4=-14,可得3t2−123s2+44t2−12s23s2+4−2×8t3s2+4+4=-14,
整理得3(t2−4)(t−2)2=-1,解得t=-1或t=2(舍去),
则直线MN的方程为x=sy-1.
故直线MN过定点(-1,0).
3.(2024广西南宁二模,18)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点D(6,3)到左、右焦点的距离之差为6.
(1)求C的方程;
(2)已知A(-3,0),B(3,0),过点(5,0)且与x轴不重合的直线l与C交于M,N两点,直线MA与NB交于点P,试问点P到直线x=-2的距离是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
解析 (1)依题意可得2a=6,62a2−(3)2b2=1,解得a=3,b=1,
故C的方程为x29-y2=1.
(2)设l的方程为x=my+5,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立x=my+5,x29−y2=1,消去x得(m2-9)y2+10my+16=0,
则y1+y2=−10mm2−9,y1y2=16m2−9.
直线AM:y=y1x1+3(x+3),直线BN:y=y2x2−3(x-3).
联立y=y1x1+3(x+3),y=y2x2−3(x−3),
消去y得x+3x−3=y2(x1+3)y1(x2−3)=y2(my1+8)y1(my2+2).
=my1y2+8y2my1y2+2y1=my1y2+8(y1+y2)−8y1my1y2+2y1.
=16mm2−9+−80mm2−9−8y116mm2−9+2y1=−64mm2−9−8y116mm2−9+2y1=-4,
解得x=95,所以点P在定直线x=95上.
因为直线x=95与直线x=-2之间的距离为195,
所以点P到直线x=-2的距离为定值,且定值为195.
4.(2024云南昆明一中,宁夏银川一中联考(一),18)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长等于23,离心率e=12.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P,证明:|PF||AB|为定值.
解析 (1)由题意可得2b=23,ca=12,b2=a2−c2,
解得a=2,b=3,c=1,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)由(1)得F(1,0),
当直线l的斜率不存在时,线段AB被x轴垂直平分,不符合题意;
当直线l的斜率为0时,|PF||AB|=|OF|2a=14;
当直线l的斜率存在且不为0时,设直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为Q(xQ,yQ),
联立x24+y23=1,y=k(x−1),消去y,整理得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
可得Δ=64k4-4(4k2+3)(4k2-12)=144(k2+1)>0,x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2−124k2+3,所以xQ=x1+x22=4k24k2+3,
则yQ=k(xQ-1)=k4k24k2+3−1=−3k4k2+3,即Q4k24k2+3,−3k4k2+3,
则线段AB的中垂线的方程为y-−3k4k2+3=-1kx−4k24k2+3,
令y=0,可得x=k24k2+3,
所以|PF|=|xP-1|=k24k2+3−1=3(k2+1)4k2+3,
又|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2−4x1x2
=1+k2·8k24k2+32−4·4k2−124k2+3=12(k2+1)4k2+3,
所以|PF||AB|=3(k2+1)4k2+312(k2+1)4k2+3=14(定值).
综上所述,|PF||AB|为定值14.