第06讲 二次函数的相关概念及y=ax²的图象与性质2024年新九年级暑假数学衔接试题（人教版）

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·模块一 二次函数
·模块二 二次函数y=ax2 的图象与性质
·模块三 课后作业
模块一
二次函数
二次函数的定义：
我们把一种意义一般地，如果y=ax2+bx+c(a,b,c就是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.
【考点1 二次函数的定义】
【例1.1】以下函数式二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+c B．y=2x−12−4x2
C． y=ax2+bx+ca≠0D．y=x−1x−2
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，进行判断．
【详解】解：A、当a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，故本选项错误；
B、由y=2x−12−4x2得到y=−4x+1，是一次函数，故本选项错误；
C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；
D、由原函数解析式得到y=x2−3x+2，符合二次函数的定义，故本选项正确．
应选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键．
【例1.2】关于x的函数y=a−bx2+1是二次函数的条件是（ ）
A．a≠bB．a=bC．b=0D．a=0
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵y=a−bx2+1是二次函数，
∴a−b≠0，
解得：a≠b，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0．
【变式1.1】若函数y=m−3xm2−7−x+3是关于x的二次函数，则m=____．
【答案】−3
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵函数y=m−3xm2−7−x+3是关于x的二次函数，
∴m2−7=2m−3≠0，
解得m=−3，
故答案为：−3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0且a、b、c是常数）的函数叫做二次函数．
【变式1.2】有下列函数：①y=（2x−1）2−4x2；②y=2x2；③y=x2aa≠0；④y=x2+2x+1．其中y是x的二次函数有_____．（填序号）
【答案】②③④
【分析】根据二次函数定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【详解】解：y是x的二次函数的是②y=2x2；③y=x2aa≠0；④y=x2+2x+1．
故答案为：②③④．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
【变式1.3】已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．−1B．3C．−1或3D．0
【答案】B
【分析】根据二次函数的未知数最高次数是2，最高次项系数不为零列式计算即可；
【详解】∵y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，
∴m−1=2m+1≠0，
解得：m=3；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键．
【考点2 二次函数的一般形式】
【例2.1】二次函数y=−x2−2x+1的二次项系数是（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”作答即可．
【详解】解：二次函数y=−x2−2x+1的二次项系数是−1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
【例2.2】．二次函数y=2xx−3的二次项系数与一次项系数的和为（ ）
A．2B．−2C．−1D．−4
【答案】D
【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．
【详解】解：y=2xx−3=2x2−6x，
∴二次项系数是2，一次项系数是−6，
∴2−6=−4，
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键．
【变式2.1】二次函数y=x2−6x−1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，−6，−1B．1，6，1C．0，−6，1D．0，6，−1
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．
【详解】解：二次函数y=x2−6x−1，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，−6，−1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
【变式2.2】二次函数y=5xx−1的一次项系数是（ ）
A．1B．−1C．2D．−5
【答案】D
【分析】先把二次函数化为y=ax2+bx+c的形式，再找出其一次项系数．
【详解】∵原二次函数可化为y=5x2−5x
∴其一次项系数是−5．
故选：D．
【点睛】考查二次函数的一般形式，把二次函数化为y=ax2+bx+c的形式是解题的关键．
【变式2.3】下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y=−x+1；
(2) y=−x22；
(3) y=2x2+x−2；
(4) y=13x2+2x−3；
(5)y=ax2+bx+c；
(6)y=m2x2+4x−3 (m为常数)．
【答案】(1)y=−x+1不是二次函数，是一次函数
(2)y=−x22，是二次函数，二次项系数是−12、一次项系数是0，常数项是0
(3)y=2x2+x−2不是二次函数
(4)y=13x2+2x−3，是二次函数，二次项系数是13、一次项系数是2，常数项是-3
(5)a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数
(6)m=0时，y=m2x2+4x−3不是二次函数
【分析】（1）观察函数解析式，不含二次项，不是二次函数；
（2）根据二次函数的定义即可判断；
（3）根据二次函数的定义即可判断；
（4）根据二次函数的定义即可判断；
（5）根据二次函数的定义即可判断；
（6）根据二次函数的定义即可判断．
【详解】（1）y=−x+1不是二次函数，是一次函数；
（2）y=−x22，是二次函数，二次项系数是−12、一次项系数是0，常数项是0；
（3）y=2x2+x−2不是二次函数；
（4）y=13x2+2x−3，是二次函数，二次项系数是13、一次项系数是2，常数项是−3；
（5）a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数；
（6）m=0时，y=m2x2+4x−3不是二次函数．
【点睛】本题考查了二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
【考点3 实际问题中的二次函数】
【例3.1】正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，则y是x的函数，它们的关系式为（ ）
A．y=2xB．y=6x
C．y=2x2D．y=6x2
【答案】D
【分析】先计算正方体一个面的面积，然后乘以六得到正方体的表面积．
【详解】解：正方体的每一个面都是面积为x2的小正方形，
∵展开后由六个全等的小正方形组成，
∴正方体表面积为y=6x2．
故答案选：D
【点睛】本题考查了二次函数关系式，用棱长表示出正方体表面积是解题关键．
【例3.2】某化工厂1月份生产某种产品200t，3月份生产这种产品yt，则y与产品产量的月平均增长率x之间的函数关系式是________．
【答案】y=2001+x2
【分析】根据增长率问题，2月份的产量为2001+x，则3月份的产量为2001+x2，列出函数关系式即可求解．
【详解】解：依题意，y=2001+x2，
故答案为：y=2001+x2．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，列出二次函数关系式，是解题的关键．
【例3.3】如图，用一段长为18 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为x(m)，另一边的长为y(m)，矩形的面积为S(m2)．当x在一定范围内变化时，y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系B．正例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，正例函数关系D．二次函数关系，一次函数关系
【答案】A
【分析】分别列出y与x的关系式，S与x的关系式判断即可；
【详解】解：由题意可得：y=−12x+9 ，S=−12x2+9x
∴y与x成一次函数关系；S与x成二次函数关系；
故选：A．
【变式3.1】圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)之间的函数关系式是________．
【答案】y=πx2
【分析】根据圆的面积计算公式，直接写出函数关系式即可．
【详解】由圆的面积计算公式,得y=πx2.
【变式3.2】如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系B．反比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系
【答案】D
【分析】根据题意，列出I与v的函数关系式，即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：Iv2=2，
整理得：I=2v2，
∴I与v的函数关系为二次函数关系；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出正确的函数函数关系式．
模块二
二次函数y=ax2的图象与性质
二次函数y=ax2的性质
（1）抛物线y=ax2的顶点就是坐标原点，对称轴就是y轴；
（2）函数y=ax2的图像与a的符号关系：
①当a＞0时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当a＜0时抛物线开口向下顶点为其最高点；
（3）顶点就是坐标原点，对称轴就是y轴，抛物线的解析式形式为y=ax2(a≠0)
【考点1 二次函数y=ax2的图象】
【例1.1】在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数y=4x2，y=14x2，y=−4x2与y=−14x2的图象并回答下列问题：
（1）抛物线y=4x2的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线y=−4x2的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______；
（2）抛物线y=4x2与抛物线y=−4x2的图象关于______轴对称；
（3）抛物线y=14x2，当x______0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x______0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线y=−14x2，当x_______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最_______点．
【答案】列表、画图象，如图所示,见解析；（1）向上 y轴 (0,0) 向下 y轴 (0,0)；（2）x；（3）≠ > 低 > 高．
【分析】根据画函数图像的步骤：列表，根据表中提示先填好表格的数，再描点，根据表中提供的对应数值作为点的坐标描点，最后用平滑的曲线连接各点可得函数的图像；
（1）根据所画的y=4x2与y=−4x2图像可得答案；
（2）根据所画的y=4x2与y=−4x2图像可得答案；
（3）根据所画的y=14x2与y=−14x2图像可得答案；
【详解】列表如下：
描点：将表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点．
连线：用平滑的曲线连接，如图所示：
（1）根据所画的函数y=4x2与y=−4x2的图像可得：
抛物线y=4x2的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,0)．抛物线y=−4x2的开口方向向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,0)；
故答案为：向上 y轴 (0,0) 向下 y轴 (0,0)
（2）由图像可得：
抛物线y=4x2与抛物线y=−4x2的图象关于x轴对称；
故答案为：x．
（3）由图像可得：
抛物线y=14x2，当x≠ 0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x>0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最低点．抛物线y=−14x2，当x>0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最高点．
故答案为：≠ > 低 > 高．
【点睛】本题考查的是画函数的图像，及根据图像总结函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【例1.2】已知抛物线y=ax2a≠0的开口向下，则a的值可能为（ ）
A．−2B．14C．1D．2
【答案】A
【分析】根据抛物线y=ax2a≠0的开口向下，可得a＜0，据此即可解答．
【详解】解：∵抛物线y=ax2a≠0的开口向下
∴a＜0
故选A
【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，明确影响抛物线开口方向的因素是解答本题的关键．
【例1.3】已知函数y=m+3xm2+3m−2是关于x的二次函数．
（1）求m的值．
（2）当m为何值时，该函数图像的开口向下？
（3）当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？
【答案】（1）m1＝−4，m2＝1；（2）当m＝−4时，该函数图象的开口向下；（3）当m＝1时，函数为y=4x2，该函数有最小值，最小值为0．
【分析】（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．
（2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下；
（3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值；
【详解】解：（1）∵函数y=m+3xm2+3m−2是关于x的二次函数，
∴m2＋3m−2＝2，m＋3≠0，
解得：m1＝−4，m2＝1；
（2）∵函数图象的开口向下，
∴m＋3＜0，
∴m＜−3，
∴当m＝−4时，该函数图象的开口向下；
（3）∵m＝−4或1，
∵当m＋3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，
∴m＞−3，
∵m＝−4或1，
∴当m＝1时，函数为y=4x2，该函数有最小值，最小值为0．
【点睛】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键．
【变式1.1】对于函数y=3x2，下列说法正确的是（ ）
A．y的值总为正B．图像开口向下
C．图像顶点在原点D．y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标，进而求解．
【详解】解：∵y=3x2，
∴抛物线开口向上，顶点在原点上，y≥0，当x＜0时，y随x增大而减小，当x＞0时，y随x增大而增大，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
【变式1.2】根据下列条件分别求a的取值范围．
(1)函数y=a−2x2，当x>0时，y随x的增大而减小，当xy1>y2 D．y2>y1>y3
【答案】B
【分析】根据二次函数的增减性，即可求解．
【详解】解：∵y=2x2，
∴图像的开口向上，对称轴是直线y轴，对称轴左边y随x的增大而减小，
∵A−3,y1,B−1,y2,C−2,y3在函数y=2x2上，−3y2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【例2.2】函数 ①y=3x2， ②y=32x2， ③y=−2x2中，图象开口大小的顺序是（ ）
A． ①> ②> ③B． ①> ③> ②C． ③> ②> ①D． ②> ③> ①
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：∵3=3>−2=2>32=32，
∴图象开口大小的顺序是②>③>①，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知对于二次函数y=ax2a≠0，a的值越大开口大小越小是解题的关键．
【例2.3】在同一坐标系中，作y=2x2、y=−2x2、y=12x2的图象，它们共同特点是（ ）
A．都是关于x轴对称，抛物线开口向上B．都是关于y轴对称，抛物线开口向下
C．都是关于原点对称，顶点都是原点D．都是关于y轴对称，顶点都是原点
【答案】D
【分析】本题的三个抛物线解析式都符合y=ax2形式，可以从顶点坐标和对称轴找相同点．
【详解】解：因为y=2x2、y=−2x2、y=12x2都符合y=ax2形式，
y=ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点，
所以它们的共同特点是：关于y轴对称，抛物线的顶点在原点．
故选D．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象，熟练掌握y=ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点是解题关键．
【变式2.1】抛物线y=−x2的顶点坐标是（ ）
A．−1,0B．0,−1C．0,0D．1,−1
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】解：二次函数y=−x2的图象的顶点坐标为0,0．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
【变式2.2】若二次函数y=ax2的图像经过点P−3,4，则该图像必经过点（ ）
A．3,4B．（−3,−4C．−4,3D．4,−3
【答案】A
【分析】先确定出二次函数图像的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
【详解】解：∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，
∴若图像经过点P−3,4，则该图像必经过点3,4．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，主要利用了二次函数图像的对称性，确定出函数图像的对称轴为y轴是解题的关键．
【变式2.3】已知y=(k+1)xk2−2是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的k的值；
(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？
(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？
【答案】(1)k=±2； (2) 见解析； (3)见解析.
【分析】（1）直接利用二次函数定义得出符合题意的k的值；
（2）抛物线有最低点，所以开口向上，k+1大于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质，即可得最低点的坐标和函数的单调区间；
（3）函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1小于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，然后根据二次函数性质可求得最大值和函数单调区间．
【详解】(1) 根据二次函数的定义得 k2−2=2k+1≠0 解得k=±2.
∴当k=±2时，原函数是二次函数.
(2) 根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，
∴k+1＞0，即k＞-1，根据第(1)问得：k=2.
∴该抛物线的解析式为y=3x2，∴抛物线的顶点为(0，0)，当x＞0时，y随x的增大而增大.
(3) 根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，
∴k+1＜0，即k＜-1，根据第(1)问得：k=-2.
∴该抛物线的解析式为y=−x2，顶点坐标为(0，0)，
∴当k=-2时，函数有最大值为0. 当x＞0时，y随x的增大而减小.
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的性质是解题关键，是基础题型．
模块三
课后作业
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y=−3x+5B．y=2x2C．y=(x+1)2−x2D．y=3x2
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．函数是二次函数，故本选项符合题意；
C．y=(x+1)2−x2=2x+1，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．
2．下列判断中唯一正确的是（ ）
A．函数y=ax2的图象开口向上，函数y=−ax2的图象开口向下
B．二次函数y=ax2，当x