第05讲 一元二次方程的特殊解法2024年新九年级暑假数学衔接试题（人教版）

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·模块一 用换元法解一元二次方程
·模块二 含绝对值的一元二次方程的解法
·模块三 配方法的应用
·模块四 课后作业
模块一
用换元法解一元二次方程
【例1】已知a2+b2a2+b2+2−15=0，求a2+b2的值．
【例2】已知x2+ax−b=0的解是x1=1，x2=−4，则方程2x+32+a2x+3−b=0的解是（ ）
A．x1=−1，x2=−3.5B．x1=1，x2=−3.5
C．x1=−1，x2=3.5D．x1=1，x2=3.5
【变式1】若实数x满足2x2+2x−5xx2+1=3，那么xx2−4x+1=__________．
【变式3】阅读材料：
在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：
解方程：x2–3|x|+2=0．
解：设|x|=y，则原方程可化为：y2–3y+2=0．
解得：y1=1，y2=2．
当y=1时，|x|=1，∴x=±1；
当y=2时，|x|=2，∴x=±2．
∴原方程的解是：x1=1，x2=–1，x3=2，x4=–2．
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
(1)解方程：x4–10x2+9=0．
(2)解方程：x+1x2–2x2x+1=1．
(3)若实数x满足x2+1x2–3x–3x=2，求x+1x的值．
【变式4】转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程x4－3x2－4＝0时，我们就可以通过换元法，设x2＝y，将原方程转化为y2－3y－4＝0，解方程得到y1＝－1，y2＝4，因为x2＝y≥0，所以y＝－1舍去，所以得到x2＝4，所以x1＝2，x2＝－2．请参考例题解法，解方程：x2＋3x－x2+3x−2=0．
【例2】阅读题例，解答下题：
例：解方程：x2−|x|−2=0．
解：将含有绝对值符号的方程中的绝对值去掉，就分情况考虑：
（1）当x≥0，x2−x−2=0，解得x1=−1（不合题意，舍去），x2=2；
（2）当x