2023-2024学年新疆阿勒泰地区高一下学期期末联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆阿勒泰地区高一下学期期末联考数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=1+ii，则( )
A. z的虚部为1B. z=2
C. z2为纯虚数D. z在复平面内对应的点位于第二象限
2.已知向量a,b满足a=1,b=2，向量a与b的夹角为60∘，则4a−b=( )
A. 12B. 4C. 2 3D. 2
3.若一组数据为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的75%分位数为( )
A. 7.5B. 8C. 8.5D. 9
4.已知平面向量a,b的夹角为60∘.则单位向量a在b上的投影为( )．
A. 32B. 22C. 12D. 1
5.在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，A=45∘，C=75∘，则b等于( )
A. 6− 22B. 3C. 62D. 6
6.甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为( )
A. 0.72B. 0.26C. 0.7D. 0.98
7.在▵OAB中，BP=2PA，则( )
A. OP=34AB−14AOB. OP=13AB−23AO
C. OP=14AB−AOD. OP=13AB−AO
8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G，H分别是棱B1C1，C1C，B1B，AB的中点，则异面直线EF与GH所成的角为( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，复数z1=1+2i,z2=2−i,z3=i3，则( )
A. z1与z2互为共轭复数B. z1=z2
C. z1+z2+z3为纯虚数D. z1+z3⋅z2=3+i
10.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )．
A. 若平面α，β垂直同一个平面，则α//β
B. 若l⊥α且m//α，则l⊥m
C. 若平面α，β不平行，则在平面α内不存在平行于平面β的直线
D. 若l//m，且α//β，则l与α所成的角和m与β所成的角相等
11.对于事件A和事件B，P(A)=0.3，P(B)=0.6，则下列说法正确的是( )
A. 若A与B互斥，则P(AB)=0.3B. 若A与B互斥，则P(A∪B)=0.9
C. 若A⊆B，则P(AB)=0.18D. 若A与B相互独立，则P(AB)=0.18
12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2、b=3、c=4，下面说法错误的是( )
A. sinA：sinB：sinC=2：3：4B. △ABC是锐角三角形
C. △ABC的最大内角是最小内角的2倍D. △ABC内切圆半径为12
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用分层随机抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则这个样本中共有 人.
14.已知圆锥的表面积为3πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为 cm3．
15.甲、乙两人在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下：则两人射击成绩的稳定程度强的是 .(填甲或者乙)
16.如图是正方体的平面展开图：
在这个正方体中，
①BM//平面ADNE；
②CN//平面ABFE；
③平面BDM//平面AFN；
④平面BDE//平面NCF．
以上四个命题中，正确命题的序号是 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知平面向量a=1,−3,b=2,x,c=−3,x+5．
(1)若a⊥a+b，求b；
(2)若a+b//c，求向量a与b的夹角．
18.(本小题12分)
已知z是复数，z−i为实数，z−3i−2−i为纯虚数(i为虚数单位)．
(1)求复数z和z；
(2)复数z1=zm−i5在复平面对应的点在直线y=2x上，求实数m的值．
19.(本小题12分)
已知▵ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且2acsB=2c+b．
(1)求A；
(2)若a=3 3,b=3，求▵ABC的面积．
20.(本小题12分)
2022年入冬以来，为进一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆发，A地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将A地区20000个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在6以上(含6)的有14000人．

(1)求m,n的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图；(只画图，不要过程)
(2)根据频率分布直方图估计A地区居民一周口罩使用个数的75%分位数和中位数；(四舍五入，精确到0.1)
(3)根据频率分布直方图估计A地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差．(每组数据用每组中点值代替)
21.(本小题12分)
一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，编号分别为A，B，C，有2个黑球，编号分别为D，E，从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次．
(1)试写出该试验的样本空间;
(2)设事件M:“第一次摸到红球”，事件N:“第二次摸到黑球”，求事件M和事件N发生的概率．
22.(本小题12分)
如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，AB=1，AA1=2，∠BAD=60∘，点P为DD1的中点．
(1)求证：直线BD1/​/平面PAC;
(2)求二面角B1−AC−P的余弦值．
答案解析
1.C
【解析】解：z=1+ii=−i1+i=1−i，∴z的虚部为−1，z= 2，z2=−2i为纯虚数，z=1+i在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：C．
2.C
【解析】解：因为a=1,b=2，向量a与b的夹角为60∘.所以a⋅b=abcs60∘=1，
所以4a−b= (4a−b)2= 16a|2−8a⋅b+b|2= 16−8+4=2 3．
故选：C．
3.B
【解析】解：由题意知：共有10个数据，则10×75%=7.5，∴这组数据的75%分位数为8．
故选：B．
4.C
【解析】解：单位向量a在b上的投影为acs60∘=12
故选：C
5.D
【解析】解：∵A=45°，C=75°，a=2，
∴B=180°−A−C=60°，
∴b=asinBsinA=2× 32 22= 6．
故选：D．
6.D
【解析】解：由题设，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为 0.1 、 0.2 ，
所以飞行目标被雷达发现的 概率为 1−0.1×0.2=0.98 ．
故选：D
7.D
【解析】解：∵BP=2PA，∴BA=3PA，
∴−AB=3(OA−OP)=3(−AO−OP)，∴OP=13AB−AO．
故选：D．
8.C
【解析】解：分别取CD,BC的中点N,Q，连接FN,EQ,QN,EN,GF,HN，
由正方体的性质知：HN//GF,HN=GF，
所以四边形GHNF是平行四边形，所以GH//FN，
所以异面直线EF与GH所成的角(或其补角)即为EF与FN所成的角(或其补角)，
即为∠EFN，设正方体的棱长为2，
EF=FN=QN= 2，EN= EQ2+QN2= 22+ 22= 6，
所以cs∠EFN=EF2+FN2−EN22EF⋅FN=2+2−62× 2× 2=−24=−12，
所以异面直线EF与GH所成的角为π3．
故选：C．
9.BD
【解析】解：对于A，因为z=a+bi的共轭复数为z=a−bi，所以z1与z2不互为共轭复数，所以A不正确；
对于B，因为z1= 12+22= 5,z2= 22+(−1)2= 5，所以 B正确；
对于C，因为z1+z2+z3=1+2i+2−i+−i=3，为实数，所以C不正确；
对于D，因为z1+z3=1+i，所以z1+z3⋅z2=1+i2−i=3+i，所以 D正确．
故选：BD
10.BD
【解析】解：若平面α，β垂直同一个平面，α与β可能相交，故 A错误；
由线面的位置关系可知，若l⊥α且m//α，则l⊥m，故 B正确；
当平面α,β相交时，在平面α内平行于交线的直线与β平行，故 C错误；
因为两条平行直线与同一平面所成角相等，若两平面平行，
则两条平行直线与两个平行平面所成角相等，故D正确；
故选：BD
11.BD
【解析】解：对于A，若A与B互斥，则P(AB)=0，A错误；
对于B，若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.9，B正确;
对于C，若A⊆B，则P(AB)=PA=0.3 ，C错误;
对于D，若A与B相互独立，则P(AB)=PAPB=0.18， D正确;
故选：BD．
12.BCD
【解析】解：因为a=2，b=3，c=4，
∴由正弦定理可得：sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4，故A正确；
可知c为最大边，则C为最大角，
由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab=4+9−162×2×3=−14