2022-2023学年新疆阿勒泰地区高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年新疆阿勒泰地区高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面复数所对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求解.

【详解】因为,所以,

所以复平面复数所对应的点在第一象限,

故选:A.

2．已知集合，，若，则实数a取值集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果.

【详解】由，知，因为，，

若，则方程无解，所以；

若，，则，

因为，所以，则；

故实数取值集合为.

故选：D.

3．小明所在高校开设了篮球､足球､太极拳等12门体育选修课，每名学生需在大一和大二年级分别选择不重复的一门选修课学习，则小明的体育选修课不同的选择有（    ）

A．66种 B．96种 C．132种 D．144种

【答案】C

【分析】直接用排列的定义列式计算即可.

【详解】不同的选择有种．

故选：C．

4．已知函数是奇函数，则（    ）

A．0 B．1 C． D．

【答案】B

【分析】根据奇函数的定义求解即可.

【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，所以，

经验证，，故.

故选：B.

5．已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（    ）

A．12 B． C．16 D．10

【答案】C

【分析】利用椭圆的定义求解即可.

【详解】设椭圆的另外一个焦点为，如图，

则的周长为，

故选：C.

6．若函数不存在极值点，则实数m的取值范围是（    ）

A．（，+∞） B．（－∞，）

C．[，+∞） D．（－∞，]

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用导数结合单调性建立不等式，即可求解作答.

【详解】函数不存在极值点,s

由函数求导得：，

因函数是R上的单调函数，而抛物线开口向上，

因此有，恒成立，于是得，解得，

所以实数m的取值范围是.

故选：C.

7．若，且，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用二倍角的余弦公式可求得的值，求出的取值范围，即可求得的值.

【详解】因为，则，

因为，则，所以，.

故选：D.

8．已知为等比数列的前n项和，，，则的值为（    ）

A．85 B．64 C．84 D．21

【答案】A

【分析】根据等比数列的性质，即可计算求解.

【详解】设等比数列的公比为，由题意可知，，得，

，

所以.

故选：A

二、多选题

9．下列说法正确的是（　　）

A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1

B．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数

C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21

D．甲乙丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18

【答案】AD

【分析】利用简单随机抽样的意义判断A；求出众数、中位数判断B；求出第70百分位数判断C；利用分层抽样的意义求出样本容量判断D作答.

【详解】对于A，个体被抽到的概率为，A正确；

对于B，数据1，2，3，3，4，5的众数为3，中位数为3，B错误；

对于，数据27，12，14，30，15，17，19，23从小到大排列为：12，14，15，17，19，23，27，30，

由于%，因此给定数据的第70百分位数是23，C错误；

对于D，令样本容量为，依题意，，解得，D正确.

故选：AD

10．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）．

A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为

C． D．的面积为

【答案】AC

【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.

【详解】依题意，，，所以，

A选项，圆锥的体积为，A选项正确；

B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；

C选项，设是的中点，连接，

则，所以是二面角的平面角，

则，所以，

故，则，C选项正确；

D选项，，所以，D选项错误.

故选：AC.

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（    ）

A． B．的周长为16

C．的面积为 D．

【答案】AB

【分析】根据双曲线的焦点即可求解抛物线的定义，即可判断A，联立双曲线方程与抛物线方程，即可求解交点坐标，利用点点距离即可求解长度，即可判断BC,由余弦定理即可判断D.

【详解】由已知，双曲线右焦点，即，故A项正确．且抛物线方程为．

对于B项，联立双曲线与抛物线的方程，

整理可得．，解得或（舍去负值），

所以，代入可得，．

设，又，所以，，，则的周长为16，故B项正确；

对于C项，易知，故C项错误；

对于D项，由余弦定理可得，，故D项错误．

故选：AB

12．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ）

A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称

【答案】AD

【分析】根据抽象函数的奇偶性与对称性即可判断得答案.

【详解】因为为奇函数，所以，所以函数关于点对称，

又为偶函数，所以，所以函数关于直线对称.

故选：AD.

三、填空题

13．已知，，向量，的夹角为，则      ．

【答案】

【分析】利用数量积的定义及运算律即可得解.

【详解】因为，，向量，的夹角为，

所以.

故答案为：

14．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为      ．

【答案】

【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解.

【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，

所以正四棱锥的体积为，

截去的正四棱锥的体积为，

所以棱台的体积为.

方法二：棱台的体积为.

故答案为：.

15．以抛物线上的动点为圆心，半径为2的圆与直线相交于两个不同的点，则线段长度的最大值为   .

【答案】

【分析】先求得点到直线的距离的最小值，进而利用垂径定理求得线段长度的最大值.

【详解】设点，则点到直线的距离，

故当时，d取到最小值为，

此时有最大值.

故答案为：

16．将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若，且，则的值为      .

【答案】

【分析】计算，，计算得到，，得到答案.

【详解】根据三角函数平移伸缩法则得到，

，即，则，

∴，由，得，，

则.

故答案为：.

【点睛】本题考查了三角函数平移伸缩变换，根据函数值求自变量，意在考查学生的计算能力和转化能力.

四、解答题

17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，求：

(1)角B；

(2)的面积S.

【答案】(1)

(2).

【分析】(1)正弦定理求解；

(2)根据面积公式求解.

【详解】（1）由正弦定理，得，

因为在中，且，所以.

（2）因为，

所以.

所以.

18．记等差数列的前n项和为，已知，．

(1)求的通项公式；

(2)设，数列的前n项和为，若，求m的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据下标和定理及得出，结合即可求出，进而写出通项公式；

（2）首先写出的表达式，由裂项相消法得出，由解出即可．

【详解】（1）设的公差为d，因为，

所以，解得，

又，所以．

所以．

（2）因为，

所以

，

由，解得，

所以．

19．为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成．

(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；

(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；

(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，3

(3)选择小宇，理由见解析

【分析】（1）小明至少正确完成其中3道题包含两种情况：一是小明正确完成3道题，二是小明正确完成4道题，然后由互斥事件的概率公式求解即可；

（2）由题意得X的可能取值为2，3，4，然后求各自对应的概率，从而可求出X的分布列及数学期望；

（3）分别计算出他们两人至少完成其中3道题的概率，通过比较概率的大小可得答案.

【详解】（1）记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则

．

（2）X的可能取值为2，3，4

，

，

，

X的分布列为；

数学期望．

（3）由（1）知，小明进入决赛的概率为；

记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则；

因为，故小宇进决赛的可能性更大，

所以应选择小宇去参加比赛．

20．如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点E在棱PB上．

(1)证明：平面平面PBC；

(2)当时，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直，面面垂直；

（2）解法一：以C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；

解法二：取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；

【详解】（1）因为底面，平面，

所以．

因为，，所以．

所以，所以．

又因为，平面PBC，平面PBC，

所以平面PBC．

又平面EAC，

所以平面平面PBC．

（2）解法一：

以点C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．

设点E的坐标为，因为，所以，

即，，，所以．

所以，．

设平面ACE的一个法向量为，则．

所以，取，则，．

所以平面ACE的一个法向量为．

又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．

设平面PAC与平面ACE的夹角为，

则．

所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为．

解法二：

取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示

的空间直角坐标系，则，，，．

设点E的坐标为，因为，所以，

即，，，所以．

所以，．

设平面ACE的一个法向量为，则．

所以，取，则，．

所以，平面ACE的一个法向量为．

又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．

设平面PAC与平面ACE的夹角为，

则．

所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为

21．已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程；

（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案.

【详解】（1）由已知，，

又，则，

所以双曲线方程为.

（2）由，得，

则，

设，，则，，

所以.

22．设函数

(1)若，求的极值；

(2)证明：当且时，.

【答案】(1)有极大值，有极小值

(2)证明见解析

【分析】（1）当时，，求导后根据导函数的符号判断出函数的单调性，然后根据单调性求得函数的极值．

（2）由题意得，令，然后根据导数证明即可得原不等式成立．

【详解】（1）时，，

则．

当时，单调递增；

当时，单调递减；

当时，单调递增．

所以当时,有极大值，且极大值为；

当时,有极小值，且极小值为．

（2）已知．

令，则．

因为，，则，

所以，则在上单调递增，

故，

所以当时，．

【点睛】方法点睛：（1）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程，再判断的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析．若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．

（2）证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立，解题时可转化为求函数最值的问题处理．