[数学][二模]吉林省吉林市2024年中考二模考试试题(解析版)

这是一份[数学][二模]吉林省吉林市2024年中考二模考试试题(解析版)，共21页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各数中是无理数的是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】在中，
是有理数，是无理数，
故选：D．
2. 下列四种体育用球的主视图、左视图和俯视图都相同的是（ ）
A. 羽毛球B. 乒乓球
C. 橄榄球D. 冰球
【答案】B
【解析】A、C、D选项的主视图、左视图或俯视图不尽相同，都不符合题意；
B选项的主视图、左视图和俯视图都是圆，故本选项符合题意；
故选：B．
3. 如图，直线被直线所截，．下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，
∴，故A正确；
∴，故B正确；
∵，
∴，故C正确，
∴D错误，
故选：D ．
4. 下列各式运算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A. ，故该选项不符合题意；
B. ，故该选项不符合题意；
C. ，故该选项符合题意；
D. ，故该选项不符合题意；
故选：C．
5. 台湾省，简称“台”，是中华人民共和国省级行政区，省会为台北市．在地图上如果把城市看作一点，下列城市与台北市之间的距离最大的是（ ）
A. 吉林市B. 西安市C. 海口市D. 福州市
【答案】A
【解析】在地图上如果把城市看作一点，与台北市之间的距离最大的是吉林市，
故选：A．
6. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注： 明代时 1 斤＝16 两，故有“半斤八两”这个成语）．设总共有 x 个人，根据题意所列方程正确的是（ ）
A. 7x - 4 = 9x+8B. 7x+4 = 9x-8
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，7x+4 = 9x－8，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 比较大小：______（填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】，
，
，
，
故答案：．
8. 若关于和的单项式与是同类项，则______．
【答案】
【解析】∵单项式与是同类项，
∴，，
∴，
故答案为：．
9. 不等式组的解集为______．
【答案】
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
故答案为：．
10. 如图，在中，．按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点；②作直线交于点；③连接．若，，则______．
【答案】
【解析】∵，，，
∴，
由作法得垂直平分，
∴G为的中点，
∴．
故答案为：．
11. 《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》是唐代大诗人李白的诗作，笑笑默写该诗如图所示．如果用表示“杨”字的位置，那么图中错别字的位置表示为______．

【答案】
【解析】根据题意，得原诗作为“杨花落尽子规啼，闻道龙标过五溪．我寄愁心与明月，随君直到夜郎西．” 确定错别字是“到”，位于位置上，
故答案为：．
12. 高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为取整函数，也称高斯函数，即表示不超过的最大整数，例如，则______．
【答案】
【解析】，
∵，
∴，
∴即，
∴
故答案为：．
13. 构建几何图形解决代数问题体现的是数形结合思想．如图，在中，，．延长线段到点，使，连接，可得，所以．利用此图形可以得出．通过类比这种方法，可以得出______．
【答案】
【解析】如图所示，在中，，，延长到点，使得，
∴，，
∴，
设，则，∴，
∴．
14. 如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点，连接，．若，则阴影部分图形周长的最小值为______（结果保留）．
【答案】
【解析】在上取，连接，，则与交于点F，连接，如图所示：
∵平分交于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点与点E关于对称，
∴，
∴，
∵，
∴当最小时，阴影部分周长最小，
∵，
∴最小时，最小时，阴影部分周长最小，
∵两点之间线段最短，
∴当B、D、E三点共线时，最小，即阴影部分周长最小，
∴当点D在点F处时，最小，且最小值为，
∵，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴阴影部分周长最小值为．
故答案为：．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 先化简，再求值：，其中，．
解：原式．
当，时，原式．
16. 如图，和相交于点，，，求证：．

证明：在和中，．
．
17. 为了提高教育教学质量，吉林市某中学数学教研组召开了一次教研工作会．在如图所示的场地里摆放了把椅子，每个方框代表一把椅子，横为排，竖为列，其中圆点表示已有位老师入座，又有郝老师和所老师两位老师随机入座．根据会议安排，郝老师需要坐第二排，所老师需要坐第三排．假设这两位老师在每一排选择座位的可能性相同，请用画树状图或列表法求两位老师刚好坐同一列的概率．
解：根据题意，列表如下：
由表格可以看出，所有等可能出现的结果共有9种，其中郝老师和所老师坐同一列的结果有2种，即（两位老师坐同一列）．
18. 根据图中两姐妹的对话记录，求姐姐购买一部华为手机的预算为多少元？
解：设姐姐购买一部华为手机的预算为元，
根据题意，得，
解得．
答：姐姐购买一部华为手机的预算为7000元．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 某款亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流I（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求台灯的电流关于电阻的函数解析式．
（2）当时，求的取值范围．
解：（1）设与的函数关系式是，
图象经过点，
，
，
与的函数关系式是；
（2）当时，，
当时，，
当时，的取值范围是．
20. 如图1、图2均是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，矩形的顶点均在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺画图，不要求写画法．
（1）在图1中，在上找一点，连接，使得，
（2）在图2中，在上找一点，连接，使得平分．
解：（1）如图1，格点向左4个格点为，连接，
由题意知，，
由勾股定理得，，
∴点即为所作；
（2）∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
作图同理（1），如图2．
21. 如图1是汽车内常备的千斤顶，图2是它的平面示意图，四边形是菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变线段的长度，同时改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即点与点之间的距离）．经测量，．
（1）当时，求的长（结果保留整数）．
（2）从增加到时，这个千斤顶高度升高了______cm（结果保留整数）．（参考数据：，，）
解：（1）连接，交于点O，
∵四边形菱形，，，
∴，
∴，
∴．
（2）连接，交于点O，
∵四边形是菱形，，，
∴，
∴，
∴．
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴．
故千斤顶升高了，
故答案为：13．
22. 小婷利用统计知识分析《春秋经传引得》《三国志》《汉书》《后汉书》《史记》五本古文经典和某期现代汉语文本《人民日报》的词汇长度、词汇数量（单位：个）分布情况，研究古人与现代人在撰写文章时的用词习惯，由于十字词以上的词汇数量过少，所以不做研究．下面给出了部分信息：
a．五本古文经典的词汇长度折线图：

b．五本古文经典的词汇数量扇形图：

c．五本古文经典和《人民日报》的词汇长度条形图：

根据以上信息，回答下列问题：
（1）五本古文经典中词汇长度数量最多的是______字词，其次是三字词．
（2）《后汉书》共出现词汇个，计算五本古文经典的词汇数量总数为多少个．
（3）通过分析古今的词汇长度、词汇数量分布情况，说明古人与现代人在撰写文章时用词习惯的共同点（写出一条即可）．
解：（1）根据五本古文经典的词汇长度折线图五本古文经典中词汇长度数量最多的是二字词，
故答案为：二；
（2），
（个），
答：五本古文经典的词汇数量总数为个；
（3）古人与现代人在撰写文章时都更倾向用二字词、三字词．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 随着科技的进步，传统的人工生产方式开始向自动化和智能化转变．某工厂工人每日上下午各工作3小时，中间休息2小时．假设每名工人和每台机器人工作时的效率不变，一台机器人每日工作量（件），一名工人每日工作量（件）分别与机器人工作时间（小时）之间的函数关系如图所示．

（1）机器人的工作效率为______件/小时．
（2）当时，求关于的函数解析式．
（3）当时，一台机器人比一名工人多生产______件产品．
解：（1）由图可得：机器人不休息，且3小时做了45件，
故机器人的工作效率为件/小时；
（2）由图可得：
每名工人的工作效率为：件/小时，
∵每名工人工作时的效率不变，
∴当时，设关于的函数解析式为：，
将代入解析式得：，
解得：，
∴关于的函数解析式为；
（3）机器人8小时生产产品：（件），
当时，，
∴当时，一台机器人比一名工人多生产件产品．
24. 如图，在等腰直角三角形中，，动点分别从点，同时出发，点沿折线向终点运动，在上的速度为，在上的速度为，点以的速度沿线段向终点运动，连接，．设运动时间为，的面积为．
（1）的长为______（用含的代数式表示）．
（2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围．
（3）当为钝角三角形时，直接写出的取值范围．
解：（1）∵等腰直角三角形，，
∴，，
∵点沿折线向终点运动，在上的速度为，在上的速度为，
∴如图，当点在上时，即时，
此时；
如图，当点在上时，即时，连接，作于，
由题意得：，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为或
（2）如图，当时，
由题意得：，，
∴；
如图，当，作于，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
综上所述，；
（3）如图，当时，此时点在上，始终是钝角三角形，
如图，当点在上，时，作于，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
由题意得：，，
∴，，
∴，
解得：，
∴当时，是钝角三角形，
如图，当点在上，时，
此时，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴当时，是钝角三角形，
综上所述，当为钝角三角形时，x的取值范围为或．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，四边形边长为5正方形，线段绕点顺时针旋转到处，旋转角为，连接，点在射线上，连接，使，连接，．
（1）①当时，______．
②______（用含有的代数式表示）．
（2）求证：（可直接利用问题（1）中②的结论）．
（3）连接，当时，直接写出的长．
（1）解：①由旋转可得：，，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
②∵
∴，
∴，
∴
故答案为：①70；②．
（2）证明：正方形，
∴，，
由旋转可得：，，
∴，
由②可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过点A作于P，如图，
证明：正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
由旋转可得：，
∵
∴，
∴
在中，由勾股定理，得
∴
∴
∵，，
∴，
∴
由（2）知：
∴．
26. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，连接．点为线段上方抛物线上任意一点，连接交于点，以点为圆心作圆．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标．
（2）当点和点同时在上时．
①直接写出点与的位置关系．
②求点的坐标．
（3）当点在上，且的值最大时，直接写出连接点与上各点的所有线段中，最短线段的长度．
解：（1）∵抛物线与x轴交于、两点，
∴抛物线解析式可设为，
故抛物线的解析式为．
故抛物线的解析式为，
点的坐标为．
（2）①∵，,
∴，
当B，C都在上时，
∴是为直径的圆，
∴点在上．
②∵,，
∴，
设直线的解析式为，将，代入直线的解析式得：
，解得，
∴直线的解析式为：．
根据题意，得，解得（舍去）．
故．
（3）∵,，
设直线的解析式为，将,代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
根据抛物线的解析式为，
设，
过点Q作轴，交直线于点M，
故点M的纵坐标为，
∴．
解得，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴当时，比值最大，最大值为．
此时，
设直线的解析式为，将，代入直线的解析式得：
，解得，
∴直线的解析式为：．
根据题意，得，解得．故．
∴，，
设与的另一个交点为N，则是最短的线段，且．
郝老师
所老师