2023-2024学年山东省济南市天桥区九年级（下）开学数学试卷

这是一份2023-2024学年山东省济南市天桥区九年级（下）开学数学试卷，共24页。试卷主要包含了下列各数中，属于无理数的是，下列运算正确的是，已知反比例函数图象经过点，分解因式等内容，欢迎下载使用。

1．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A．B．C．D．0.4
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．中国空间站“天宫一号”运行在距离地球平均高度约375000米处，数375000用科学记数法表示是（ ）
A．1.375×103B．37.5×104C．3.75×105D．0.375×106
4．如图，已知直线a∥b，现将含45°角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上．若∠1＝23°，则∠2的度数为（ ）
A．68°B．67°C．23°D．22°
5．下列运算正确的是（ ）
A．x3•x2＝x5B．（x3）2＝x5
C．（x+1）2＝x2+1D．（2x）2＝2x2
6．如图，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，已知a+b＜0，下列结论一定正确的是（ ）
A．a＜bB．|a|＞|b|C．a2﹣b2＜0D．a﹣b＜0
7．如果从﹣1，2，3三个数中任取一个数记作m，又从0，1，﹣2三个数中任取一个数记作n，那么点P（m，n）恰在第四象限的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知反比例函数图象经过点（﹣2，3），下列说法中不正确的是（ ）
A．该函数图象在第二、四象限
B．点（1，﹣6）在该函数图象上
C．y随x的增大而增大
D．当x＞1时，﹣6＜y＜0
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，CD＝4，以点A为圆心适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线AH交BC于点D，作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF，下列结论错误的是（ ）
A．AD平分∠BACB．AF＝AE＝DE＝DF
C．S△ADF＝10D．S△ADF：S△CDF＝5：4
二．填空题（共6小题）
10．分解因式：x2﹣4x+4＝ ．
11．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共15个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，则口袋中红球约有 个．
12．已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为x1＝1，则另一个根x2＝ ．
13．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，⊙M经过点A，B，C，D，则tan∠BDC的值为 ．
14．如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买8千克这种苹果比分8次购买1千克这种苹果可节省的金额为 元．
15．如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AC＝AD，BC＞AB，tan∠ABC＝2，AB∥CD，AB＝3，BD＝4，则对角线AC的长为 ．
三．解答题（共10小题）
16．计算：+4sin60°+（2022﹣π）0．
17．解不等式组（在数轴上表示解集）
18．如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接DE，BF．
求证：∠ABF＝∠CDE．
19．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥ON）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角∠PME＝37°．（参考数据sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈）
（1）求点P到地面的高度；
（2）当挖掘机挖到地面上的点时，∠MPQ＝113°，求QN．
20．某学校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛，学校随机抽取了50名学生的成绩，整理并制成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
其中60≤x＜70这一组的数据如下：
61，61，61，62，62，63，63，63，63，64，64，64，64，64，67，68，69，69
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）表格中a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）60≤x＜70这一组数据的众数是 ，中位数是 ，平均分是 ；
（3）若全校共有1500名学生参与竞赛，试估计成绩不少于80分的学生人数．
21．如图，直线AC与⊙O相切于点C，射线AO与⊙O交于点D，E，连接CD，CE．
（1）求证：∠ACD＝∠E；
（2）若，AD＝2，求的长．
22．学校期中考试后，一班班委会决定购买一批笔记本作为奖品，鼓励成绩优异和进步较大的同学，他们先用60元买了A类笔记本，又用60元买了B类笔记本，A类笔记本的价格比B类笔记本的价格高50%，他们所买的A类笔记本比所买的B类笔记本少2本．
（1）求他们买的A类笔记本儿和B类笔记本儿的价格各是多少元？
（2）二班也购买了相同的两种笔记本儿，共20本儿，且购买总费用不超过260元，求二班至少购买多少本儿B类笔记本？
23．在学习了函数后我们了解了函数的一般研究方法，为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：
（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若0＜x1＜x2≤1，则y1 y2；若1＜x1＜x2，则y1 y2；
（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形的化粪池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，上盖的造价为1.5千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为w千元．
①请写出w关于x的函数关系式；
②若该农户预算不超过5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？请直接写出x的范围．
24．阅读材料
如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠EDF＝90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连接BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF＝CD．
解决问题
（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；
（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角∠ACB＝∠EDF＝α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D为抛物线上第四象限中的点，过点D作DH⊥x轴，垂足为H，延长DH至点E，且AE∥BC，求五边形ACDBE的面积的最大值；
（3）如图2，作AM∥BC，且与抛物线交于点M，连接BM，点N为CB延长线上点，且∠ANC＝∠AMB，若点P为直线MN上动点，求PB+PC最小值．
2023-2024学年山东省济南市天桥区九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．【分析】根据无理数的定义进行解答即可．
【解答】解：是无理数；
＝3，﹣，0.4是有理数．
故选：A．
【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．原图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：375000＝3.75×105，
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】根据题意可得：∠3＝45°，从而利用角的和差关系可得∠ABC＝68°，然后利用平行线的性质可得∠2＝∠ABC＝68°，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：∠3＝45°，
∵∠1＝23°，
∴∠ABC＝∠1+∠3＝68°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠ABC＝68°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．【分析】把原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、x3•x2＝x5，此选项正确；
B、（x3）2＝x6，此选项错误；
C、（x+1）2＝x2+2x+1，此选项错误；
D、（2x）2＝4x2，此选项错误；
故选：A．
【点评】此题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．【分析】结合已知条件及数轴，可判定a，b的大小以及两者绝对值的关系，然后利用所判定的关系进行判断即可．
【解答】解：由数轴可得：a＞b，
则A不符合题意；
由a＞b，可得a﹣b＞0，
则D不符合题意；
∵a+b＜0，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＜0，
则C符合题意；
由a+b＜0可得b＜a＜0或b＜0＜a，
当b＜a＜0，|a|＜|b|；当b＜0＜a时，|a|＜|b|，
则B不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数与数轴的对应关系，根据数轴及已知条件判定出a，b及绝对值的大小关系是解题的关键．
7．【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再根据第四象限内点的坐标特征找出点P（m，n）恰在第四象限的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中点P（m，n）恰在第四象限的结果数为2，
所以点P（m，n）恰在第四象限的概率＝．
故选：A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
8．【分析】先把点（﹣2，3）代入反比例函数中，解得k＝﹣6，再根据反比例函数的性质即可得出结果．
【解答】解：把点（﹣2，3）代入反比例函数y＝，得，k＝﹣6＜0．
∴该函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，故A选项正确，C选项错误，
∵x＝1时，y＝﹣6，
∴点（1，﹣6）在该函数图象上，
当x＞1时，﹣6＜y＜0，故B选项正确，选项D正确；
故选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
9．【分析】由作图可知选项A正确，证明四边形AEDF是平行四边形，可得四边形AEDF是菱形，再利用平行线分线段成比例定理证明选项D正确，故A，B，D正确．
【解答】解：由作图可知，AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD
∵EF垂直平分线段AD，
∴EA＝ED，FA＝FD，
∴∠EAD＝∠EDA，∠FAD＝∠DFA，
∴∠EDA＝∠DAF，∠EAD＝∠ADF，
∴DE∥AF，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵EA＝ED，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AF＝AE＝DE＝DF，
∵DF∥AB，
∴CF：AF＝CD：DB＝4：5，
∴S△ADF：S△CDF＝5：4，
故A，B，D正确，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共6小题）
10．【分析】利用完全平方公式公式分解．
【解答】解：x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
故答案为：（x﹣2）2．
【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．
11．【分析】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为，根据概率公式即可求出答案
【解答】解：设红球有x个，
则＝，
解得x＝3，
∴红球的个数约为3个．
故答案为：3．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数．
12．【分析】根据根与系数的关系得：x2+1＝3，求出即可．
【解答】解：则根据根与系数的关系得：
x1+x2
＝1+x2
＝
＝3，
解得：x2＝2，
即方程的另一个根为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：当x1和x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根时，那么，．
13．【分析】连接AC，AB，根据圆周角定理和三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：连接AC，AB，
则AC是⊙O的直径，∠BAC＝∠BDC，
∴tan∠BDC＝tan∠BAC＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角函数的定义，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14．【分析】分x≤2和x＞2两种情形计算解析式，求函数值即可．
【解答】解：当x≤2时，设解析式为y＝kx，
把（2，20）代入y＝kx，得20＝2k，
解得k＝10，
故y＝10x，
当x＝1时，y＝10，
故分8次购买1千克这种苹果共需要80元；
当x＞2时，设解析式为y＝px+b，
把（2，20），（4，36）代入y＝px+b，
得，
解得，
故y＝8x+4，
当x＝8时，y＝68，
故节约80﹣68＝12元；
故答案为：12．
【点评】本题考查了一次函数的解析式的实际应用，正确进行分类是解题关键．
15．【分析】作DE⊥AB，交BA的延长线于E，作CF⊥AB，可得DE＝CF，且AC＝AD，可证Rt△ADE≌Rt△AFC，可得AE＝AF，CF＝DE，根据tan∠ABC＝＝2，可设BF＝a，CF＝2a，根据勾股定理可求a的值，即可解决问题．
【解答】解：如图：作DE⊥AB交BA的延长线于E，作CF⊥AB于F，
∵AB∥CD，DE⊥AB⊥，CF⊥AB
∴CF＝DE，且AC＝AD
∴Rt△ADE≌Rt△AFC（HL）
∴AE＝AF，CF＝DE，
∵tan∠ABC＝2＝，
∴设BF＝a，则DE＝CF＝2a，
在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2
∴32＝（2a）2+（6﹣a）2
解得a1＝2，a2＝（不合题意舍去）
∴AE＝AF＝1，CF＝4
在Rt△AFC中，AC＝＝，
故答案为．
【点评】本题是解直角三角形问题，恰当地构建辅助线是本题的关键，利用三角形全等证明边相等，学会利用参数构建方程解决问题．
三．解答题（共10小题）
16．【分析】根据实数运算的法则，零指数幂的性质，负整数指数幂的性质，特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：+4sin60°+（2022﹣π）0
＝﹣2+4×﹣2+1
＝﹣2+2+1
＝﹣1．
【点评】本题考查了实数运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握实数混合运算的法则是解题的关键．
17．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，
解不等式≤7﹣x，得：x≤4，
则不等式组的解集为2＜x≤4，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．【分析】证明△ABF≌△CDE（SAS），即可得出∠ABF＝∠CDE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∴∠BAC＝∠DCA．
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE．
在△ABF和△CDE中，，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠ABF＝∠CDE．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
19．【分析】（1）过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F，根据题意可得：MF⊥PG，MF＝GN，FG＝MN＝1m，然后在Rt△PFM中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答；
（2）根据三角形的内角和定理和解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F，
由题意得：MF⊥PG，MF＝GN，FG＝MN＝1m，
在Rt△PFM中，∠PMF＝37°，PM＝5m，
∴PF＝PM•sin37°≈5×＝3（m），
∴PG＝PF+FG＝3+1＝4（m），
∴点P到地面的高度约为4m；
（2）∵∠PMF＝37°，∠PFM＝90°，
∴∠MPF＝53°，
∵∠MPQ＝113°，
∴∠QPG＝113°﹣53°＝60°，
∵PG＝4m，
∴QG＝PG＝×4＝4（m），
∵PM＝5m，PF＝3m，
∴FM＝＝4（m），
∴QN＝QG+NG＝（4+4）（m）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．【分析】（1）根据频数＝频率×总数及各组频数之和等于总数求解即可；
（2）根据众数、中位数平均数的定义求解即可；
（3）利用样本估计总体求解即可．
【解答】解：（1）a＝50×0.1＝5，b＝50﹣（2+5+18+9+2）＝14，
∴m＝14÷50＝0.28，
故答案为：5，14，0.28；
（2）根据60≤x＜70这一组的数据：61，61，61，62，62，63，63，63，63，64，64，64，64，64，67，68，69，69，可知众数为64（分）；
中位数是：＝64（分），
平均数＝60+（1+1+1+2+2+3+3+3+3+3+4+4+4+4+4+7+8+9+9）＝63.6（分），
故答案为：64分，64分，63.6分；
（3）1500×＝480（人），
答：估计成绩不少于80分的学生人数约为480分．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．【分析】（1）连接OC，由切线的性质得到∠1+∠ACD＝90°，由圆周角定理得到∠1+∠2＝90°，由等腰三角形性质得到∠2＝∠E，对上述角进行等量代换，即可解题．
（2）本题设OD＝OC＝r，在Rt△ACO中，利用勾股定理求得r，证得△OCD是等边三角形，得到∠AOC＝60°，再根据弧长公式即可求解．
【解答】（1）证明：如下图，连接OC，
∵直线AC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CA，
∴∠1+∠ACD＝90°，
∵ED为⊙O的直径，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠ACD＝∠2，
∵OE＝OC，
∴∠2＝∠E，
∴∠ACD＝∠E；
（2）解：设OD＝OC＝r，
∵OC⊥CA，，AD＝2，
∴，
∴r＝2，
∴点D为AO的中点，
又∵∠ACO＝90°，
∴，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴的长为．
【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形性质与判定、弧长公式，解题的关键在于熟练掌握相关的公式定理，并灵活运用．
22．【分析】（1）设他们买的B类笔记本儿的价格是x元，则他们买的A类笔记本儿的价格是（1+50%）x元，利用数量＝总价÷单价，结合用60元买的A类笔记本比用60元买的B类笔记本少2本，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B类笔记本儿的单价，再将其代入（1+50%）x中，即可求出A类笔记本儿的单价；
（2）设二班购买y本儿B类笔记本，则购买（20﹣y）本儿A类笔记本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过260元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设他们买的B类笔记本儿的价格是x元，则他们买的A类笔记本儿的价格是（1+50%）x元，
根据题意得：﹣＝2，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，
∴（1+50%）x＝（1+50%）×10＝15（元）．
答：他们买的A类笔记本儿的价格是15元，B类笔记本儿的价格是10元；
（2）设二班购买y本儿B类笔记本，则购买（20﹣y）本儿A类笔记本，
根据题意得：15（20﹣y）+10y≤260，
解得：y≥8，
∴y的最小值为8．
答：二班至少购买8本儿B类笔记本．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．【分析】（1）用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可．
（2）利用图象法解决问题即可．
（3）①总造价＝底面的造价+侧面的造价+上盖的造价，构建函数关系式即可．
②转化为一元二次不等式解决问题即可．
【解答】解：（1）函数图象如图所示：
（2）若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2，
若x1•x2＝1，则y1＝y2．
故答案为：＞，＜；
（3）①由题意，w＝1+（2x+）×0.5+1×1.5＝2.5+x+（x＞0）．
②由题意2.5+x+≤5，
∵x＞0，
可得x2﹣2.5x+1≤0，
解得：≤x≤2．
∴水池底面一边的长x应控制在≤x≤2的范围内．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
24．【分析】（1）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD；
（2）如答图③所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为；
（3）如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为tan．
【解答】解：（1）猜想：BF＝CD．理由如下：
如答图②所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°．
∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，
∴OF＝OD，∠DOF＝90°．
∵∠BOF＝∠BOC+∠COF＝90°+∠COF，∠COD＝∠DOF+∠COF＝90°+∠COF，
∴∠BOF＝∠COD．
∵在△BOF与△COD中，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF＝CD．
（2）答：（1）中的结论不成立．
如答图③所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，
∴＝tan30°＝，∠BOC＝90°．
∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，
∴＝tan30°＝，∠DOF＝90°．
∴＝＝．
∵∠BOF＝∠BOC+∠COF＝90°+∠COF，∠COD＝∠DOF+∠COF＝90°+∠COF，
∴∠BOF＝∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵＝＝，∠BOF＝∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴＝．
（3）如答图④所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点，
∴＝tan，∠BOC＝90°．
∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，
∴＝tan，∠DOF＝90°．
∴＝＝tan．
∵∠BOF＝∠BOC+∠COF＝90°+∠COF，∠COD＝∠DOF+∠COF＝90°+∠COF，
∴∠BOF＝∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵＝＝tan，∠BOF＝∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴＝tan．
【点评】本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．本题（1）（2）（3）问的解题思路一脉相承，由特殊到一般，有利于同学们进行学习与探究．
25．【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，求出a，b，c的值即可求出抛物线的解析式；
（2）求出直线BC和直线AE的解析式，设点D（m，m2﹣2m﹣3），则E（m，m+1），F（m，m﹣3），根据S五边形ACDBE＝S△ABE+S△ABC+S△BCD表示五边形ACDBE的面积，通过二次函数的增减性求出面积的最值；
（3）有题意得∠MAN＝∠ANC＝∠AMB＝∠MBN，从而证明△AGM∽△BGN，△AGB∽△MGN，得到直线MN的解析式为直线x＝4，根据轴对称得到PB+PC的最小值．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，﹣3）代入，
得直线BC的解析式为y＝x﹣3，
由AE∥BC，设直线AE的解析式为y＝x+b1，
把A（﹣1，0）代入，得直线AE的解析式为y＝x+1，
设点D（m，m2﹣2m﹣3），则E（m，m+1），F（m，m﹣3），
∵点D为抛物线上第四象限中的点，
∴EH＝m+1，DF＝﹣m2+3m（0＜m＜3），
S五边形ACDBE＝S△ABE+S△ABC+S△BCD＝＝，
整理得S五边形ACDBE＝（0＜m＜3），
当，五边形ACDBE的面积取最大值，最大值为；
（3）联立，解得（点A的坐标，舍去），，
∴点M的坐标为（4，5），
延长MN交x轴于点H，AN与BM交于点G，
∵AM∥BC，∠ANC＝∠AMB，
∴∠MAN＝∠ANC＝∠AMB＝∠MBN，
∴△AGM∽△BGN，
∴，
∴，
∵∠AGB＝∠MGN，
∴△AGB∽△MGN，
∴∠GAB＝∠GMN，
∵∠MAN＝∠AMB，
∴∠MAH＝∠AMH，
∵∠MAH＝45°，
∴△AMH是等腰直角三角形，∠AHM＝90°，
∴MN⊥x轴，
∴直线MN的解析式为直线x＝4，
作点B关于直线x＝4的对称点B′（5，0），
当点P为B′C和直线x＝4的交点时，PB+PC的值最小，且最小值即为线段B′C的长度，
∵B′（5，0），C（0，﹣3），
∴B′C＝，
∴PB+PC的最小值为．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用二次函数解决面积最值问题，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质等．组号
成绩
频数
频率
1
40≤x＜50
2
0.04
2
50≤x＜60
a
0.1
3
60≤x＜70
18
0.36
4
70≤x＜80
9
0.18
5
80≤x＜90
b
m
6
90≤x≤100
2
0.04
x
…
1
2
3
4
5
…
y
…
2
…