2023-2024学年广东省汕尾市高二下学期7月期末教学质量检测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省汕尾市高二下学期7月期末教学质量检测数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知1+iz=2+2i，则z的虚部为( )
A. 1B. 2C. iD. 0
2.已知α是三角形一内角，若tanα=2，则csα=( )
A. 55B. 2 55C. ± 55D. −2 55
3.集合A=x|y=lnx−1，B=y|y= x+1，x∈A是x∈B的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则( )
A. 若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
B. 若l/​/m，m/​/n，l⊥α，则n⊥α
C. 若l/​/m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n
D. 若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l/​/m
5.在2x3−1x6的展开式中，x2的系数是( )
A. −80B. −60C. 60D. 80
6.某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N72,82，则数学成绩位于[80,88]的人数约为( )参考数据：Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545，Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973．
A. 455B. 2718C. 6346D. 9545
7.某校高二年级开展课外实践活动，数学建模课题组的学生选择测量凤山妈祖石像的高度．如图，为测量石像AH的高度，在距离平台1.2米高的C处测得石像顶的仰角为60∘；后退18米到达距离平台1.2米高的D处测得石像顶的仰角为30∘，则石像的高度为( )米．
A. 9 3+1.2B. 9 6+1.2C. 10 3+1.2D. 18 3+1.2
8.P是直线3x−4y+5=0上的一动点，过P作圆C：x2+y2−4x+2y+4=0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为( )
A. 2B. 2 2C. 4 2D. 8 2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数fx=x3+x−2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x−1，则P点的坐标可以为( )
A. 1,0B. 2,8C. −1,−4D. 1,4
10.a=λ,1,b=1,−1，若a在b上的投影向量为b，则( )
A. λ=3B. a//bC. a⊥a−bD. a−b=2 2
11.端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经E桥、F桥、G桥、H桥及I桥，活动期间在5座桥边各设置1个志愿者服务点．现有5名志愿者参加其中三座桥一G桥、H桥及F桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，记事件A为“甲在G桥服务点”，事件B为“乙和丙分到一起”，则( )
A. 事件A与事件B相互独立B. PA=13
C. PB=925D. PBA=625
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知an是等比数列，若a1=1,a5=4，则a3= ．
13.已知双曲线C的对称中心是原点，对称轴是坐标轴，若x轴上一点P2,0到双曲线C的渐近线距离为 3，则C的离心率为 ．
14.若函数fx=mx−lnx+m−2有两个零点，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列an是公差为2的等差数列，且满足a1，a3，a4成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)已知数列an的前n项和为Sn，求使不等式Sn>an成立的n的最小值．
16.(本小题12分)
已知动点P到直线x=−4的距离比到点M(2,0)距离多2个单位长度，设动点P的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)已知过点N(4,0)的直线l交E于A，B两点，且▵OAB(O为坐标原点)的面积为32，求l的方程．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点．
(1)证明：PB//平面AEC．
(2)若平面DAE与平面AEC的夹角为60∘,AP=1,AD= 3，求AB的长．
18.(本小题12分)
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515].由此得到样本的频率分布直方图如图．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
19.(本小题12分)
已知函数fx=alnx−x+1x(a为正实数)．
(1)讨论函数fx极值点的个数；
(2)若fx有两个不同的极值点x1,x2x1(i)证明：fx1+fx2=0；
(ii)设fx恰有三个不同的零点t1,t2,t3t1答案解析
1.D
【解析】根据题意，z=2+2i1+i=21+i1+i=2，
所以z的虚部为0．
故选：D
2.A
【解析】因为α是三角形一内角，tanα=2>0，
所以α∈0,π2，
由tanα=2，得sinαcsα=2，sinα=2csα，
因为sin2α+cs2α=1，所以4cs2α+cs2α=1，
解得csα= 55或csα=− 55(舍去)．
故选：A
3.A
【解析】因为A=x|y=lnx−1=x|x−1>0=x|x>1，
B=y|y= x+1=y|y≥1，
所以A真包含于B，所以x∈A是x∈B的充分不必要条件．
故选：A
4.B
【解析】解：由α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，知：
在A中，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，
由线面垂直的判定定理可知，当直线m，n相交时才能得到l⊥α，
若直线m，n平行，则不能推出l⊥α，故A错误；
在B中，若l/​/m，m/​/n，则l/​/n，又l⊥α，则可得n⊥α，故B正确；
在C中，若m⊥α，n⊥α，则m/​/n，又l/​/m，则l/​/n，故C错误；
在D中，若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，故D错误．
故选：B．
5.C
【解析】由Tr+1=C6r2x36−r−1xr=(−1)r26−rC6rx18−4r，
令18−4r=2，解得r=4，
所以T5=C642x32−1x4=4C64x2=60x2，
故选：C
6.B
【解析】解：由题意可知， μ=72,σ=8 ， P80≤X≤88=Pμ+σ≤X≤μ+2σ
=12Pμ−2σ≤X≤μ+2σ−Pμ−σ≤X≤μ+σ≈120.9545−0.6827=0.1359
则数学成绩位于[80,88]的人数为 0.1359×20000≈2718 ．
故选：B
7.A
【解析】依题意∠ADC=30∘，CD=18m，∠ACB=60∘，BH=CE=DF=1.2m，
所以∠DAC=60∘−30∘=30∘=∠ADC，所以AC=CD=18，
则AB=ACsin∠ACB=18× 32=9 3，
所以AH=AB+BH=9 3+1.2m，即石像的高度为9 3+1.2米.
故选：A
8.B
【解析】解：由对称性可知S四边形PACB=2S△PAC，S△PAC=12PA⋅AC，
圆C的圆心为(2,−1)，半径AC=1，
PA2+AC2=PC2，PC的最小值为圆心到直线的距离，
即3×2−4×(−1)+5 32+(−4)2=3，
故PA的最小值为 32−1=2 2，所以S△PAC的最小值为 2，
四边形PACB面积的最小值为2 2．
故选B．
9.AC
【解析】解：设Px0,y0，
因为f′x=3x2+1，
又函数的切线平行y=4x−1，
则f′x0=3x02+1=4，
所以x0=1或x0=−1，
代入函数fx=x3+x−2，
则P−1,−4或P1,0．
故选AC．
10.AD
【解析】因为a在b上的投影向量为a⋅bb⋅bb=λ−12b=b，
所以λ−12=1，解得λ=3，故 A正确；
由a=(3,1)，b=1,−1可知a≠λb，故 B错误；
因为a−b=(2,2)，所以a⋅a−b=(3,1)⋅(2,2)=3×2+1×2=8≠0，故 C错误；
因为a−b=(2,2)，所以a−b= 22+22=2 2，故 D正确．
故选：AD
11.ABD
【解析】B选项，5名志愿者参加其中三座桥，G桥、H桥及F桥的服务，
要求这三个服务点都有人参加，可以分为2,2,1和3,1,1，
其中分为2,2,1时，共有C52C32C11A22A33=90种情况，
其中分为3,1,1时，共有C53C21C11A22A33=60种情况，
故共有90+60=150种，
其中甲独自在G桥服务点，此时剩余4名志愿者可以分为2,2和3,1，
当剩余4名志愿者分为2,2时，有C42C22A22A22=6种情况，
当剩余4名志愿者分为3,1时，有C43C11A22=8种情况，
当甲和另外一个人在G桥服务点，从剩余4名志愿者先选1人，剩余3人，分为两组，故有C41C32C11A22=24种情况，
当甲和另外2人在G桥服务点，从剩余4名志愿者先选2人，剩余2人，分为两组，故有C42A22=12种情况，
故nA=6+8+24+12=50，
所以PA=50150=13， B正确；
C选项，乙和丙分到一起，当5名志愿者分为2,2,1时，有C32C11A33=18种情况，
当5名志愿者分为3,1,1时，先从剩余3名志愿者选择1人和乙，丙一起，再将剩余2人进行全排列，有C31A33=18种情况，
故PB=18+18150=625， C错误；
A选项，AB表示甲在G桥服务点，乙和丙分到一起，
若甲单独在G桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为2,2,1，则有A22=2种情况，
若甲单独在G桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为3,1,1，从剩余2人中选择1人和乙，丙一起，有C21A22=4种情况，
若甲和另外一个人在G桥服务点，先从除了乙，丙外的剩余2名志愿者选1人，再进行排列，则有C21A22=4种情况，
当甲和另外2人在G桥服务点，则一定是和乙，丙一起，剩余2人进行全排列，共有A22=2种情况，
综上，nAB=2+4+4+2=12，PAB=12150=225，
因为PAPB=13×625=225=PAB，故事件A与事件B相互独立， A正确；
D选项，PBA=PABPA=22513=625， D正确．
故选：ABD
12.2
【解析】由等比数列的通项公式可知，q4=a5a1=4，即q2=2，
所以a3=a1q2=2，
故答案为：2
13.2或2 33
【解析】①若焦点在x轴上，设双曲线方程为x2a2−y2b2=1a,b>0，则渐近线方程为y=±bax，
即bx±ay=0，则点P2,0到双曲线C的渐近线距离d=2b a2+b2= 3，
所以4b2=3c2，所以4c2−a2=3c2，则c2=4a2，所以离心率e=ca=2；
②若焦点在y轴上，设双曲线方程为y2a2−x2b2=1a,b>0，则渐近线方程为y=±abx，
即ax±by=0，则点P2,0到双曲线C的渐近线距离d=2a a2+b2= 3，
所以4a2=3c2，所以离心率e=ca=2 33；
综上可得双曲线的离心率为2或2 33．
故答案为：2或2 33
14.0,1
【解析】由函数fx=mx−lnx+m−2有两个零点，
即方程mx−lnx+m−2=0有两个解，即mx+1−2=lnx有两个解，
令g(x)=mx+1−2,μ(x)=lnx，函数g(x)为过点−1,−2的直线，
若m≤0，则直线g(x)与曲线μ(x)只有一个交点，不符合题意，
所以m>0，先求过点−1,−2曲线μ(x)的切线，设切点为x1,lnx1，
由μ′(x)=1x，则k=1x1，切线方程为y−lnx1=1x1x−x1，
将点−1,−2代入方程，−2−lnx1=1x1−1−x1，得1+lnx1=1x1，
因为1+ln1=11，而y=1+lnx在0,+∞上单调递增，
y=1x在0,+∞上单调递减，所以方程1+lnx1=1x1只有一解，为x1=1，
故过点−1,−2曲线μ(x)的切线斜率为1，
若直线g(x)与曲线μ(x)有两个交点，则m∈0,1，
此时函数fx=mx−lnx+m−2有两个零点
故答案为：0,1．
15.解：(1)等差数列an的公差为2，由a1，a3，a4成等比数列，得(a1+4)2=a1(a1+6)，
解得a1=−8，
所以数列an的通项公式是an=−8+2(n−1)=2n−10；
(2)由(1)知，Sn=−8+2n−102⋅n=n2−9n，
由Sn>an，得n2−9n>2n−10，
即n2−11n+10>0，而n⩾1，解得n>10，又n∈N∗，所以nmin=11．
【解析】(1)根据给定条件，列式求出数列an的首项a1即可求出通项;
(2)求出数列an的前n项和，再列式解不等式即得．
16.(1)
因为动点P到直线x=−4的距离比到点M(2,0)距离多2个单位长度，
所以动点P到直线x=−2的距离和到点M(2,0)距离相等，
故曲线E是以M(2,0)为焦点，直线x=−2为准线的抛物线，
所以曲线E的方程为y2=8x．
(2)
设Ax1,y1,Bx2,y2，
易知直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为x=ty+4，
联立y2=8xx=ty+4，消去x得，y2−8ty−32=0，
所以y1+y2=8t,y1y2=−32，
S▵OAB=12ON//y1−y2=2 y1+y22−4y1y2=16 t2+2=32，
解得t=± 2，
所以直线l的方程为x+ 2y−4=0或x− 2y−4=0．

【解析】(1)根据抛物线的定义求解即可；
(2)设直线l的方程为x=ty+4，联立抛物线方程消去x，然后利用韦达定理结合面积即可求解．
17.(1)
连接BD交AC于点O，连接OE，如图，
因为O为BD的中点，E为PD的中点，
所以PB//OE．
又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB//平面AEC．
(2)
因为PA⊥平面ABCD，AD，AB⊂平面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AB．
又AB⊥AD，所以PA，AD，AB两两互相垂直，
故以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系如图所示，
设AB=a，则A(0,0,0)，C(a, 3,0)，P(0,0,1)，D(0, 3,0)，E0, 32,12，
所以AC=(a, 3,0)，AE=0, 32,12．
显然m=1,0,0为平面DAE的一个法向量．
设平面ACE的一个法向量为n=x,y,z，
则n⋅AC=0,n⋅AE=0,即ax+ 3y=0, 32y+12z=0.
令z= 3，得n= 3a,−1, 3，
因为平面DAE与平面AEC的夹角为60∘，
所以cs⟨m,n⟩=m⋅nmn= 3a 4+3a2=12，
解得a=32或a=−32(舍去)，即AB=32·
【解析】(1)证明PB//OE，再由线面平行的判定定理得证；
(2)由PA，AD，AB两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面夹角即可得解．
18.解：(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3，
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件)．
(2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，
X服从超几何分布．
P(X=0)=C282C402=63130，
P(X=1)=C121C281C402=2865，
P(X=2)=C122C402=11130，
∴X的分布列为
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240=310．
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B2,310，
P(X=k)=C2k(1−310)2−k(310) k，
所以P(Y=0)=C 20·7102=49100，
P(Y=1)=C 21·310·710=2150，
P(Y=2)=C 22·3102=9100．
∴Y的分布列为
【解析】(1)根据频率分布直方图计算出重量超过505克的产品频率，与样本容量相乘即可；
(2)列出随机变量X的所有可能的取值，分别计算出对应概率，列出分布列求期望即可．
(3)列出随机变量Y的所有可能的取值，分别计算出对应概率，列出分布列求期望即可．
19.(1)
f′x=ax−1−1x2=−x2+ax−1x2,x>0,a>0，
设gx=−x2+ax−1，
因为gx开口向下，Δ=a2−4，
所以当0所以fx在0,+∞上单调递减，无极值点；
当a>2时，令gx=0，解得x=a± a2−42，且a+ a2−42×a− a2−42=1，
所以fx在a− a2−42,a+ a2−42上单调递增；在0,a− a2−42和a+ a2−42,+∞上单调递减；此时fx有两个极值点，
综上，当0当a>2时，fx有两个极值点．
(2)
(i)证明：由题意及(1)可知a>2，且x1x2=1，
又因为f1x=aln1x−1x+x=−alnx−1x+x=−fx，
所以fx1+fx2=fx1+f1x1=0．
(ii)证明：由(1)知，a>2，t1由ft1+ft3=0及(i)知t1t3=1，
所以t1t2t3=1．
若证m+t1t2t3n不妨设n=mt，则t=nm>1，
由m1−lnm=n1−lnn得lnm=1−tlntt−1，
要证m+n再两边去对数得ln1+t+lnm<1，
即ln1+t+1−tlntt−1<1，
即证lnt+1t令ℎs=ln1+ss,s∈0,+∞，则ℎ′s=ss+1−ln1+ss2，
再令ps=s1+s−ln1+s，则p′s=11+s2−11+s<0，
所以ps在0,+∞内单调递减，
又ps由t∈1,+∞得t−1∈0,+∞，且t所以ℎs<ℎs−1，即lnt+1t综上，m+t1t2t3n【解析】(1)求导后利用导数等于零再结合二次函数的性质判断极值点情况即可；
(2)(i)由(1)和对数的运算性质得到f1x=−fx，可证明；(ii)由(1)和(i)可得t1t2t3=1，问题转化为即证m+n0
1
2
P
63130
2865
11130
Y
0
1
2
P
49100
2150
9100