湖南省永州市宁远县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份湖南省永州市宁远县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时量：120分钟 满分：120分）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是（ ）
A 1，2，3B. 2，3，4C. 4，5，6D. 3，4，5
答案：D
解析：解：A．，因此1，2，3不能构成三角形，更不可能构成直角三角形，故A错误；
B．，因此2，3，4不可能构成直角三角形，故B错误；
C．，因此4，5，6不可能构成直角三角形，故C错误；
D．，因此3，4，5能构成直角三角形，故D正确．
故选：D．
2. 某多边形由一个顶点引出的对角线可以将该多边形分成10个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A. 11B. 12C. 13D. 14
答案：B
解析：解：设这个多边形的边数是n，则，解得，
即这个多边形的边数是12，
故选：B.
3. 以下四个条件中可以判定四边形是平行四边形的有（ ）
①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线相等．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：C
解析：解：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
④对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形的对角线也相等；
∴能判定四边形是平行四边形的有①②③，
故选：C．
4. 如图，两个正方形的面积分别为64和49，则等于（ ）

A. 13B. 15C. 17D. 19
答案：C
解析：解：∵两个正方形的面积分别是64和49，

∴，，
根据勾股定理得：．
故选：C.
5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
答案：B
解析：解：第1个图是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
第2个图是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
第3个图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不正确；
第4个图是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确．
故符合题意的有3个．
故选：B．
6. 矩形、正方形、菱形都具有的性质是（ ）
A. 对角线互相垂直B. 对角线互相平分
C. 对角线长度相等D. 一组对角线平分一组对角
答案：B
解析：解：A、只有正方形和菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，不符合题意；
B、矩形、正方形、菱形的对角线都互相平分，符合题意；
C、只有矩形和正方形的对角线长度相等，菱形的对角线长度不一定相等，不符合题意；
D、只有正方形和菱形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组对角，不符合题意；
故选；B．
7. 下列命题是真命题的有（ ）
①等边三角形3个内角都为；
②斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
③全等三角形对应边上的高相等；
④三边长分别为5，12，13的三角形是直角三角形．
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
答案：A
解析：解：①等边三角形3个内角都为，本项是真命题；
②斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，本项是真命题；
③全等三角形对应边上的高相等，本项是真命题；
④∵，∴三边长分别为5，12，13的三角形是直角三角形，本项是真命题．
综上，①②③④都是真命题；
故选：A．
8. 若四边形两条对角线互相垂直，则顺次连接其各边中点得到的四边形是（ ）
A. 菱形B. 矩形C. 梯形D. 平行四边形
答案：B
解析：解：如图所示，四边形的对角线，点G，F，E，H分别为边，，，的中点，
在中，
分别为，的中点，
， ，
在中，
分别为，的中点，
， ，
， ，
为平行四边形，
又∵在中，
分别为，的中点，
，
又，，
，
∴四边形为矩形．
故选B．
9. 到三角形三边所在的直线距离相等点有（ ）个
A. 0B. 1C. 4D. 5
答案：C
解析：解：到三角形三边所在直线距离相等的点有4个．如图所示：

在中，分别作和的平分线交于点I，
根据角平分线的性质得：点I到直线，的距离相等，点I到直线，的距离相等，
因此点I到三边所在直线的距离相等；
作外角的平分线交的平分线于点P，
根据角平分线的性质得：点P到直线，的距离相等，点P到直线，的距离相等，
因此点P到三边所在直线的距离相等；
同理：作外角的平分线与的平分线交于Q，则点Q到三边所在直线的距离相等；
作外角的平分线交的平分线于点R，则点R到三边所在直线的距离相等．
综上所述：到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，它们分别是三角形内角平分线的交点，内角平分线与外角平分线的交点．
故答案为：C.
10. 沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：由图像可知，长方形的长等于正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，
根据勾股定理可得：，
故选：．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 在等腰直角三角形中，斜边长为，则它的面积为________．
答案：
解析：解：∵等腰直角三角形其斜边上的高也是斜边上的中线，
∴斜边上的高为：，
∴该等腰直角三角形的面积为，
故答案为：．
12. 已知一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形的边数是________．
答案：12
解析：解：多边形的各个内角都等于，
每个外角为，
设这个多边形的边数为，则
，
解得．
故答案为：12．
13. 如图，是的角平分线，＝，＝，AB=8，则△ABD的面积是________；
答案：24
解析：解：过D作于E，
∵是的角平分线，，，
∴.
∵，
∴的面积.
故答案为：24．
14. 已知矩形的对角线长为，两条邻边的比为，则该矩形的较短的一边长为______．
答案：
解析：解：矩形的对角线长为，两条邻边的比为，
设两条邻边分别为、，
由勾股定理得：，
解得：，
，
故答案为：．
15. 如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为________．
答案：##45度
解析：解：连接，
由题知，，
，
，
，，
，为直角三角形，即，
．
故答案为：．
16. 如图，A，B两点被池塘隔开，在直线外选一点C，连接和分别取，的中点D，E，测得D，E两点间的距离为10 m，则A，B两点间的距离为________．
答案：20
解析：解：∵点D，E分别为AC，BC的中点，DE＝10m，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝20m，
故答案为：20．
17. 能使两个直角三角形全等的条件有______．
①一条直角边及其对角对应相等；②斜边和一条直角边对应相等；③斜边和一锐角对应相等；④两个锐角对应相等．
答案：①②③
解析：∵所有的直角都相等，
∴①一条直角边及其对角对应相等，符合角角边定理，正确；
②斜边和一条直角边对应相等，符合，正确；
③斜边和一锐角对应相等，符合角角边定理，正确；
④两个锐角对应相等，缺少边元素，无法判定，错误．
故答案：①②③．
18. 如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP+NP的最小值是___．
答案：1
解析：解：作点M关于AC的对称点，连接P，
∵菱形ABCD关于AC对称，点M关于AC的对称点，点M是AB的中点，
∴点是AD的中点，MP＝P，
∴MP+NP＝P +NP，
∴当点、P、N三点共线时，MP+NP有最小值为线段N的长．
当点、P、N三点共线时，
∵点是AD的中点，点N是BC边上的中点，
∴，，
∵在菱形ABCD中，
∴ADBC，AD＝BC，
∴ABN，A＝BN，
∴四边形ANB是平行四边形，
∴N＝AB＝1，
∴MP+NP的最小值是1．
故答案为：1．
三、解答题（共66分）
19. 一块钢板形状如图所示，量得，，，请你计算一下这块钢板的面积．
答案：36
解析：，
∴，
∵
∴
，
∴，
∴钢板的面积．
20. 已知：如图，在平行四边形中，E、F分别是的中点，求证：．
答案：证明见解析
解析：证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E、F分别是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
21. 如图，在四边形中平分为的中点，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若求的面积．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
证明：∵E为的中点，
∴
∵
∴
又∵
∴四边形是平行四边形．
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴平行四边形是菱形．
小问2解析：
解：∵四边形是菱形，
∴
∴．
∴是等边三角形．
∴．
∴．
∴
∴．
22. 已知：如图，，垂足分别为N，M，与相交于点P．求证：．
答案：证明见解析
解析：证明：如图，连接
，


23. 如图，矩形的对角线，相交于点O，过点C作的平行线交的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）连接，如果，求面积．
答案：（1）证明见解析
（2）
小问1解析：
证明：四边形是矩形，
，，
．
，
四边形是平行四边形，
，
．
小问2解析：
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
在中，，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
24. 如图，在正方形中，P是上的点，且，Q是的中点，求证：．
答案：见解析
解析：∵正方形，
∴；
∵，
设，
则，
∵Q是的中点，
∴，
∴，
∴．
25. 如图，在中，，点D从点C出发沿方向以/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接．

（1）求证：；
（2）四边形能够成为矩形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
答案：（1）见解析 （2）当时，四边形DEBF是矩形
小问1解析：
证明：∵中，，
∴，
∵
又∵在中，，
∴，
∴；
小问2解析：
∵，
∴当时，四边形是矩形
∴
∵，
∴，
∵，
∴
即，
解得：，
即当时，四边形是矩形．
26. 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG＝CG；
（2）将图①中BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将图①中BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．
答案：（1）见解析；（2）依然成立，见解析；（3）依然成立，EG⊥CG
解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCF＝90°，
在Rt△FCD中，
∵G为DF的中点，
∴CG＝FD，
同理，在Rt△DEF中，
EG＝FD，
∴CG＝EG．
（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG＝CG．
证法：如图，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，
在△DAG与△DCG中，
∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，
∴△DAG≌△DCG（SAS），
∴AG＝CG；
△DMG与△FNG中，
∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，
∴△DMG≌△FNG（ASA），
∴MG＝NG；
∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，
∴四边形AENM是矩形，
在矩形AENM中，AM＝EN，
在△AMG与△ENG中，
∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG，
∴△AMG≌△ENG（SAS），
∴AG＝EG，
∴EG＝CG．
（3）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图，过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N，
∵G为FD中点，
∴FG=GD，
∵MF∥CD，
∴∠FMG=∠DCG，∠GDC=∠GFM，
∴△CDG≌△MFG，
∴CD＝FM，
∵NF∥BC，
∴∠NFH+∠NHF=∠EHB+∠EBH，
又∵∠NHF=∠EBH，
∴∠NFH=∠EBH，
∴∠EFM＝∠EBC，
又∵BE=EF，
则△EFM≌△EBC，∠FEM＝∠BEC，EM＝EC
∵∠FEC+∠BEC＝90°，
∴∠FEC+∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∵G为CM中点，
∴EG＝CG，EG⊥CG．