2021-2022学年湖南省永州市宁远县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省永州市宁远县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列各组线段长度能构成直角三角形的一组是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2. 三角形内部到三边距离相等的点是

A. 三边中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点
C. 三内角平分线的交点 D. 三边上高的交点

3. 一个多边形的内角和为，则这个多边形是

A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 多边形

4. 已知平行四边形相邻两角的度数比为：，则较大的角为

A.  B.  C.  D.

5. 在中，若斜边，则等于

A.  B.  C.  D.

6. 下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是

A. 平行四边形 B. 菱形 C. 正五角星 D. 正六边形

7. 下列判断错误的是

A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 四条边都相等的四边形是菱形
D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

8. 下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是

A. ，，
B. ，，
C.
D. ，，

9. 如图，在中，，，，是的平分线，设，的面积分别是，，则：等于

A. ： B. ： C. ： D. ：

10. 如图，中，，，，点、、分别是、、的中点，则四边形的周长是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

11. 一个等腰三角形一腰上的高等于这个三角形一边长的一半，则底角的度数是______．
12. 一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数为______．
13. 如图，中，与的平分线交于点，过作交、于、，若的周长比的周长大，到的距离为，的面积____．
14. 已知一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为______．
15. 在中，，，边上的中线则的长为______．
16. 如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为______．
    
     

17. 如图，在中，于点，要使≌，若直接根据“”判定，还需要再添加的一个条件是______．
     

18. 在矩形中，对角线，的平分线交矩形一边于点，若，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 如图，在中，，，，．
    求的长；
    求的面积．
20. 如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明．写出一种即可
    关系：，，，．
    已知：在四边形中，______ ，______ ；
    求证：四边形是平行四边形．
21. 如图，在▱中，，、分别是和的中点．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求▱的面积．

22. 如图所示，一架梯子斜靠在墙面上，且的长为米．
    若梯子底端离墙角的距离为米，求这个梯子的顶端距地面有多高？
    在的条件下，如果梯子的顶端下滑米到点，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为多少米？
     

23. 如图所示，，点在边上，且，．
    求证：；
    求和的位置关系并说明理由．
    
     

24. 如图，在四边形中，，，点是的中点，连接，过点作，垂足为，已知．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求线段的长．

25. 正方形边长为，点在边上点与点、不重合，点、分别在边、上点与点、不重合，直线与相交于点．
    
    如图，若，求证：；
    在的条件下，平移直线，使点与点重合，如图联结、设，的面积为，用含的代数式表示；
    如图，若，且，求的长．
26. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒过点作于点，连接，．
    求证：；
    四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由；
    当为何值时，为直角三角形？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、，故选项A符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

2.【答案】

【解析】解：三角形内部到三边距离相等的点是三内角平分线的交点，
故选：．
根据角平分线的性质，可知三角形内部到三边距离相等的点是三内角平分线的交点，本题得以解决．
本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确角平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

3.【答案】

【解析】解：设这个多边形是边形，由题意知，
，
，
所以该多边形的边数是九边形．
故选：．
设这个多边形是边形，则它的内角和是，得到关于的方程组，就可以求出边数．
本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】解：如图，设，则，
四边形是平行四边形，
，
，
，
解得：，
，
，
即较大的角为，
故选：．
根据平行四边形性质得出，推出，设，，求出，即可解决问题．
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行四边形的邻角互补是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：在中，斜边，
，
故选：．
根据勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．
本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．
【解答】
解： 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意；
B 、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项不符合题意；
C 、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项不符合题意；
D 、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项符合题意．
故选： ．   

8.【答案】

【解析】解：、因为，三条线段不能组成三角形，所以选项不符合题意；
B、，，，根据“”可判断此三角形为唯一三角形，所以选项符合题意；
C、利用不能确定三角形的大小，所以选项不符合题意；
D、利用，，可画出两三角形，所以选项不符合题意．
故选：．
根据三角形三边的关系对进行判断；根据全等三角形的判定方法对、、进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
 

9.【答案】

【解析】解：过作于，则，

又，，，
，
：：：．
故选：．
由已知条件可得点到两边距离相等，即两三角形的高相等，要求三角形的面积比，只要求出两个三角形的底的比即可．
本题考查了角平分线的性质；发现并利用两个三角形等高是正确解答本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：点、、分别是、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
四边形的周长为，
故选：．
根据三角形的中位线和四边形的周长公式即可得到结论．
本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
 

11.【答案】或或

【解析】解：如图：，
，
，
，
，
；
如图：，
，
，
，
，

，
．
如图，
，，
，
这个三角形的底角为：或或．
故答案为：或或．
首先根据题意作图，然后分别从等腰三角形一腰上的高在内部与在外部去分析，根据直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，则此直角边所对的角是角，再由等边对等角的知识，即可求得这个三角形的底角．
本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并求出顶角和底角的度数是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：多边形的外角和是度，多边形的内角和是外角和的倍，
则内角和是度，
，
这个多边形是六边形．
故答案为：．
利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：与的平分线交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
的周长比的周长大，
，
，
到的距离为，
的面积是，
故答案为：．
根据角平分线定义和平行线性质求出，，根据等腰三角形的判定得出，，求出长，根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线定义，三角形的面积的应用，能求出是解此题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：一个菱形的两条对角线长分别为和，
这个菱形的面积
故答案为：．
根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．
本题考查的是菱形的性质，熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解答此题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：是中线，，，
，
，即，
是直角三角形，则，
又，
．
故答案为：．
在中，根据勾股定理的逆定理即可判断，然后根据线段的垂直平分线的性质，即可得到，从而求解．
本题考查了勾股定理的逆定理与线段的垂直平分线的性质，关键是利用勾股定理的逆定理证得．
 

16.【答案】

【解析】解：是的中位线，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得到，，，根据等腰三角形的判定定理求出，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：还需添加条件，
于，
，
在和中，
，
≌．
由上可知，根据“”判定，还需要再添加的一个条件是．
故答案为：．
根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可以简写成“斜边、直角边”或“”可得需要添加条件．
此题主要考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是正确理解：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
 

18.【答案】或

【解析】解：如图，当点在上时，
四边形是矩形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
当点在的延长线上时，
在中，，，
，
故答案为：或．
画出图形，分两种情形讨论点在边上，点在延长线时，分别求出即可．
本题考查矩形的性质、角平分线的性质、直角三角形中度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题的关键是理解题意正确画出图形，注意不能漏解，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：在中，，，
，即，
是直角三角形，
，
在中，，，
；

由可知，
，
，
答：的面积是．

【解析】先根据勾股定理的逆定理求证是直角三角形，再利用勾股定理求出的长即可，
利用三角形面积公式即可得出答案．
本题考查的是勾股定理以及其逆定理的运用，即如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

20.【答案】解：已知：，，，均可，其余均不可以．
解法一：
已知：在四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形．
证明：，
，．
，
．
四边形是平行四边形．
解法二：
已知：在四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形．
证明：，
，
又，
四边形是平行四边形；
解法三：
已知：在四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形．
证明：，
，
又，
四边形是平行四边形；
解法四：
已知：在四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形．
证明：，
，
，
又，
，
四边形是平行四边形．

【解析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
根据平行四边形的判定方法就可以组合出不同的结论，然后即可证明．
其中解法一是证明两组对角相等的四边形是平行四边形；
解法二是证明两组对边平行的四边形是平行四边形；
解法三是证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
解法四是证明两组对角相等的四边形是平行四边形．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
、分别是和的中点，
，，，
四边形是平行四边形，
又，，
，
，
四边形是矩形．
，，，
，
中，，，
，，
，
▱的面积为．

【解析】由平行四边形的性质得出，，由已知条件得出，，证出四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质得出，即可得出四边形是矩形；
根据，，即可得到和的长，再根据等腰三角形的性质即可得到的长，进而得出▱的面积．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，由等腰三角形的性质得出是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：根据勾股定理：
所以梯子距离地面的高度为：米；
梯子下滑了米即梯子距离地面的高度为米，
根据勾股定理：米，
所以当梯子的顶端下滑米时，梯子的底端水平后移了米，
答：当梯子的顶端下滑米时，梯子的底端水平后移了米．

【解析】利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
由可以得出梯子的初始高度，下滑米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

23.【答案】证明：，
在和中，
，
≌，
，
解：，
由得≌，
，
又，
，
，
．

【解析】根据证明≌，即可得证；
根据全等三角形的性质可得，再根据，即可求出，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形特有的全等判定方法是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，点是的中点，
，
平行四边形是菱形；
解：，，，
，
点是的中点，
，
由得：，四边形是菱形，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
即线段的长为．

【解析】先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论；
由勾股定理得，再由菱形的性质得，然后证，则，即可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图中，过点作交于，交于点，

四边形是正方形，
，，，
，，
四边形是平行四边形，，
，，
，，
，
≌，
，
；
解：，，，
≌，
，
，
，
；
解：如图中，将绕点逆时针旋转得到，过点作交于点，连接，

则四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
，，
设，则，，
在中，，
，
，
，
在中，，
．

【解析】通过证明四边形是平行四边形，可得，，由“”可证≌，可得，即可解决问题；
由“”可证≌，可得，根据计算即可解决问题；
由“”可证≌，可得，由，，推出，，设，则，，在中，根据，构建方程求出，再在中，求出即可解决问题．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
 

26.【答案】证明：直角中，．
，，
又在直角中，，
，
；

解：，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
即，
解得：，
即当时，▱是菱形；

当时，是直角三角形；或当时，是直角三角形．
理由如下：
当时，．
，
，
，
，
，
，
时，．
当时，，
四边形是平行四边形，
，
，
是直角三角形，，
，
，
，
，，
，
解得．
综上所述，当时是直角三角形；或当时，是直角三角形．

【解析】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定与性质，正确利用表示、的长是关键，属于较难题．
利用表示出以及的长，然后在直角中，利用直角三角形的性质求得的长，即可证明；
易证四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，据此即可列方程求得的值；
分两种情况讨论即可求解．