初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆测试题

这是一份初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆测试题，共21页。

圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：圆心；半径(其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小)．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．典例及变式
典例1．（2024·菏泽市九年级期末）如图，图中的弦共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【提示】
根据弦的定义解答即可．
【详解】
解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故选B．
【名师点拨】
本题考查弦的定义，熟记弦的定义是解题的关键．
变式1-1．（2024·恩施市期末）如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有( )
A．2条B．3条C．4条D．5条
【答案】B
【提示】
根据弦的定义进行提示，从而得到答案．
【详解】
图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故选B．
【名师点拨】
本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦．
变式1-2．（2024·大连市期末）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】
试题提示：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答．
解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点，
图中的弦有AB、BC、CE，一共3条．
故选B．
典例2．（2024·湖北宜昌市·九年级期中）已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为( )cm．
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【提示】
⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
【详解】
∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故选B.
【名师点拨】
本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．
变式2-1．（2019·四川省成都市九年级期中）、是半径为的⊙O上两个不同的点，则弦的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】
根据圆的基本性质可直接进行求解．
【详解】
∵圆中最长的弦为直径，
∴．
∴故选D．
【名师点拨】
本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键．
变式2-2．（2024·浙江湖州市·九年级期中）已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（ ）
A．2B．5C．9D．11
【答案】D
【提示】
根据圆中最长的弦为直径求解．
【详解】
解：因为圆中最长的弦为直径，
所以弦长≤10．
∴的长度不可能是11；
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了圆的认识，在本题中，圆的弦长的取值范围0＜ｌ≤10．
典例3．（2024·福建厦门市·九年级期末）东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝向右水平拉直（保持端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝端的位置最接近的是（ ）
A．点B．点C．点D．点
【答案】A
【提示】
根据“径一周三”的古率计算出半圆的周长即可．
【详解】
解：∵半圆的直径是1，
∴由“径一周三”知圆的周长，
∴半圆的周长为，
∴拉直后铁丝端的位置最接近的是点A，
故选：A．
【名师点拨】
此题主要考查了阅读与推理，解答此题的关键是读懂题意．
变式3-1．如图中三个小圆周长之和与大圆周长比较,较长的是( )
A．三个小圆周长之和B．大圆周长
C．一样长D．不能确定
【答案】C
【提示】
如图,设大圆的直径为d,三个小圆的直径依次为d',d″,d‴,根据圆的周长公式即可解答.
【详解】
如图,设大圆的直径为d,三个小圆的直径依次为d',d″,d‴,
则大圆周长为πd;三个小圆周长之和为πd'+πd″+πd‴=π(d'+d″+d‴).因为d=d'+d″+d‴,所以三个小圆周长之和与大圆周长一样长.
【名师点拨】
本题考查了圆的周长之间的大小比较，解决本题关键是表示出四个圆的周长，再利用乘法分配律的解决．
变式3-2．（2024·衡水市期末）如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是（ ）
A．4πr B．2πr C．πr D．2r
【答案】B
【提示】
一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离就是圆的周长．
【详解】
圆心经过的距离就是圆的周长，所以是2πr.
故选B.
【名师点拨】
考查圆的认识，掌握圆周长的计算方法是解题的关键.
典例4．（2024·广东省东莞市九年级期中）如图所示，为⊙O的弦，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】
由圆的性质可得OM=ON，所以∠N=∠M=52°，利用三角形内角和为180°求出∠MON的度数即可.
【详解】
∵OM=ON，
∴∠N=∠M=52°，
∴∠MON=180°﹣2×52°=76°.
故选C.
【名师点拨】
本题主要考查圆的性质以及等腰三角形的性质.
变式4-1．（2024·东莞市九年级期中）如图，点C、D在圆O上，AB是直径，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD=（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【答案】D
【提示】
根据平角的定义求得∠AOC的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得∠AOD的度数．
【详解】
∵∠BOC＝110°，∠BOC＋∠AOC＝180°
∴∠AOC＝70°
∵AD∥OC，OD＝OA
∴∠D＝∠A＝70°
∴∠AOD＝180°−2∠A＝40°
故选：D．
【名师点拨】
此题考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆的基本性质、平行线性质及三角形内角和定理的运用．
变式4-2．（2024·临海市期末）如图，⊙O的半径等于，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】
过O作OD⊥AB于D,根据等腰三角形三线合一得∠BOD=60°，由30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可.
【详解】
解：过O作OD⊥AB，垂足为D,
∵OA=OB,
∴∠BOD=∠AOB=×120°=60°,
∴∠B=30°,
∴OD=OB=×4=2.
即圆心到弦的距离等于2.
故选：C.
【名师点拨】
本题考查圆的基本性质及等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，解直角三角形是解答此题的关键.
变式4-3．（2024·江苏泰州市期末）如图△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，则AD 的度数为（ ）
A．28°B．56 °C．62°D．112°
【答案】B
【提示】
连接CD，如图，利用互余计算出∠A=62°，则∠A=∠ADC=62°，再根据三角形内角和定理计算出∠ACD=56°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
【详解】
解：连接CD，如图，
∵∠C=90°，∠B=28°，
∴∠A=90°-28°=62°，
∵CA=CD，
∴∠A=∠ADC=62°，
∴∠ACD=180°-2×62°=56°
∴AD的度数为56°；
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了同圆的半径相等、直角三角形的两锐角互余、等腰三角形的性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．
变式4-4．（2024·浙江杭州市·九年级期末）CD是圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE=3，AE=4，则下列说法正确的是（ ）
A．AC的长为B．CE的长为3
C．CD的长为12D．AD的长为10
【答案】A
【提示】
连接AO，分别在Rt△AOE中，Rt△ACE中，Rt△ADE中，根据勾股定理即可求得相应线段的长度，依此判断即可．
【详解】
解：连接AO，
∵AB⊥CD于点E，OE=3，AE=4，
∴在Rt△AOE中，根据勾股定理
,
∵CD为圆O的直径，
∴OC=OD=OA=5，
∴CD=10，CE=OC-OE=2，故B选项和C选项错误；
在Rt△ACE中，根据勾股定理
，故A选项正确；
在Rt△ADE中，根据勾股定理
，故D选项错误；
故选：A．
【名师点拨】
本题考查勾股定理，同圆半径相等．正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．注意圆中半径相等这一隐含条件．
1．（2024·广西河池市期末）下列4个说法中：①直径是弦；②弦是直径；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④弧是半圆； 正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【提示】
根据弧的分类、圆的性质逐一判断即可．
【详解】
解：①直径是最长的弦，故正确；
②最长的弦才是直径，故错误；
③过圆心的任一直线都是圆的对称轴，故正确；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，
正确的有两个，
故选B．
【名师点拨】
本题考查了对圆的认识，熟知弦的定义、弧的分类是本题的关键．
2．（2024·安徽安庆市·九年级期末）已知是⊙O的弦，⊙O的半径为r，下列关系式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】
根据“直径是最长的弦”进行解答即可．
【详解】
解：若是的直径时，，
若AB不是的直径时，无法判定AB与的大小关系．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选D．
【名师点拨】
本题考查了圆的认识，解题的关键是掌握“直径是圆中最长的弦” ．
3．（2024·广西河池市·九年级期末）如图，⊙O的半径为，，则经过点的弦长可能是（ ）
A．3B．5C．9D．12
【答案】C
【提示】
当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10；当弦与OP是垂直时，弦最短为8；判断即可.
【详解】
当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10；
当弦与OP垂直时，根据垂径定理，得
半弦长= =4，
所以最短弦为8；
所以符合题意的弦长为8到10，
故选C.
【名师点拨】
本题考查了直径是最长的弦，垂径定理，熟练运用分类思想，垂径定理，勾股定理是解题的关键.
4．（2024·天津东丽区·九年级期末）已知的半径是6cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A．6cmB．12cmC．16cmD．20cm
【答案】B
【提示】
根据最长的弦是直径进行求解即可．
【详解】
解：∵在圆中，最长的弦是直径，且的半径是6cm，
∴中最长的弦长=6×2=12cm，
故选：B．
【名师点拨】
此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解答此题的关键．
5．（2024·江西赣州市·九年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【答案】A
【详解】
∵∠A=40°，
∴∠B=90°-40°=50°.
∵CB=CD,
∴∠BCD＝180°-50°×2=80°，
∴∠ACD=90°-80°=10°
故选A
6．（2024·湖北十堰市·九年级期中）下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧
【答案】B
【详解】
试题解析：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．
故选B．
7．（2024·浙江绍兴市·九年级期中）如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（ ）
A．1cmB．2cmC．4cmD．
【答案】C
【提示】
根据圆的概念的认识进行解答即可．
【详解】
∵AB=2cm，
∴圆的直径是4cm，
故选C．
【名师点拨】
本题考查圆的认识，关键是根据圆的概念进行解答．
8．（2024·前郭尔罗斯蒙古族自治县学九年级期中）如图，已知是⊙O的直径，过点的弦平行于半径，若的度数是，则∠B的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【提示】
由平行线的性质可得∠BOC=40°，由等边对等角可得∠A=∠B，再由三角形的外角性质可得∠A+∠B=∠BOC=40°，从而得到∠B=20° ．
【详解】
解：∵OB∥DC，∴∠BOC=∠C=40°，
∵OA=OB，∴∠A=∠B，
又∠A+∠B=∠BOC=40°，∴∠B=∠BOC=20°，
故选A．
【名师点拨】
本题考查圆的应用，综合运用平行线的性质及圆所有半径相等的性质是解题关键．
9．（2024·河南安阳市·九年级期中）如图是⊙O的直径，点是⊙O上一点，，则的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【答案】D
【提示】
利用OA=OC，求出∠ACO=，再利用三角形内角和定理求出答案．
【详解】
∵，OA=OC，
∴∠ACO=，
∴=，
故选：D．
【名师点拨】
此题考查同圆的半径相等的性质，三角形内角和定理，熟记同圆的半径相等的性质是解题的关键．
10．（2024·河北唐山市·九年级期中）如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】
由圆的旋转对称性，可知阴影部分的面积刚好拼成大圆的一半，据此解题．
【详解】
解：根据题意，大圆、小圆都被两条互相垂直的直径平均分成4份，由圆的旋转对称性，可得阴影部分的面积刚好拼成大圆的一半，阴影部分面积：π×22＝2π，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查圆的旋转对称性等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
11．（2024·营口市九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是__．=
【答案】10
【详解】
连接OC，在Rt△OCD中，CD＝4，OD＝3，根据勾股定理可得OC=5，所以直径AB=2OC=10.
12．（2024·江苏宿迁市九年级期中）已知圆中最长的弦为6，则这个圆的半径为________.
【答案】3
【提示】
根据直径为圆的最长弦求解．
【详解】
∵圆中最长的弦为6，
∴⊙O的直径为6，
∴圆的半径为3．
故答案为3．
【名师点拨】
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
13．（2024·三门峡市九年级期中）已知在⊙O中最长的弦长，则⊙O的半径是____．
【答案】4cm
【提示】
根据圆的直径为圆中最长的弦求解．
【详解】
解：∵最长的弦长为8cm，
∴⊙O的直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故答案为：4cm．
【名师点拨】
本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
14．（2024·贵州安顺市·九年级期末）如图，CD是的直径，E为⊙O上一点，，A为DC延长线上一点，AE交于点B，且，则的度数为__________．
【答案】16°
【提示】
连接OB，根据，可得，设∠A=x，则∠AOB=x，列方程求出ｘ的值即可．
【详解】
连接OB
设∠A=x，则∠AOB=x
即∠A的度数为16°
故答案为：16°．
【名师点拨】
本题考查了圆的角度问题，掌握等边对等角、三角形外角定理是解题的关键．
15．（2024·江苏苏州市·九年级期中）如图，点、、在⊙O上，，，则的度数为______．
【答案】
【提示】
先求出∠B，利用平行线的性质求出∠CAB，进而求出∠CAO=∠BAO+∠CAB，利用等边对等角∠CAO=∠C=40，再利用平行线求出内错角∠BOC．
【详解】
解：∵ ACOB，
∴∠ACO=∠COB．∠CAB=∠B，
∵，OA=OB，
∴∠BAO=∠B=20º，
∴∠CAB=∠B=20º，
∴∠CAO=∠BAO+∠CAB=20º+20º=40º，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠C=40，
∴∠BOC=∠C=40º，
故答案为：40º．
【名师点拨】
本题考查圆心角问题，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质，利用等边对等角和平行线解决角的问题．
16．（2024·江苏盐城市·九年级期末）如图，是⊙O的直径，是圆心，是圆上一点，且， 是 延长线上一点，与圆交于另一点，且．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【提示】
（1）连接 ，利用等腰三角形的性质证得,,再利用等角的关系得；
（2）根据(1)可直接求得的度数．
【详解】
（1）如图，连接 ．
，， ，
，
．
又 ， ，
，
（2）由（1） 得 ，
．
【名师点拨】
此题考查圆的性质，等腰三角形的性质，题中依据连接OB是解题的关键.
17．（2024·邯郸市期末）已知：如图，在中，是直径，为不是直径的弦，求证：是⊙O中最长的弦．
【答案】见解析
【提示】
连接，，利用三角形三边关系可得，而，则可证明，即是中最长的弦．
【详解】
证明：如图，连接，，
、、、是圆的半径，
．
是圆的直径，
．
、、是三角形的三边，
．
即．
是中最长的弦．
【名师点拨】
本题考查直径为圆中最长的弦的证明，利用三角形三边关系证明是解题的关键．