初中1 函数教课内容ppt课件

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数学 八年级上册 BS版
⦾问题综述一次函数是初中阶段所接触的第一种初等函数，体现了数 形结合的数学思想，在中考中是重要的考点.在解决问题时，除 了一些基础的问题，例如点的坐标、字母系数的取值及取值范 围，还常常涉及面积问题、最值问题等综合性较强的问题.我们 要掌握常见的解题方法，化繁为简，达到事半功倍的效果.
⦾要点归纳1. 边在坐标轴上或边与坐标轴平行的三角形，叫做坐标三角 形.2. 一般三角形的面积问题 坐标三角形的面积问题.
3. 四边形的面积问题 坐标三角形的面积问题.
4. 求坐标系中三角形面积的方法：补、割、移.
类型一　一次函数与坐标三角形的面积问题
已知一次函数 y1＝ k1 x －4（ k1≠0）和一次函数 y2＝4 x ＋ b 与坐标轴围成的三角形的面积都是24，求这两个一次函数的表 达式.
【思路导航】先分别求出一次函数的图象与坐标轴的交点坐 标，再根据三角形的面积公式求解即可.
【点拨】已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积，求一次 函数的表达式时，先设出一次函数的表达式，再用待定字母表 示出直线与两坐标轴的交点坐标（这一步要考虑直线与 x 抽、 y 轴相交时的位置的不同情况），然后利用已知三角形的面积求 出待定字母的值，最后代回所设的一次函数的表达式即可.
已知四条直线 y ＝ kx －3， y ＝－1， y ＝3， x ＝1所围成的四边 形的面积是12，求 k 的值.
显然四边形 ABCD 是梯形，且梯形的高是4，根据梯形的面积是 12，则梯形的上、下底的和是6.
类型二　由面积关系求点的坐标
如图1，在平面直角坐标系中，已知直线 l1： y ＝ x ＋1与 x 轴 交于点 A ，直线 l2： y ＝3 x －3与 x 轴交于点 B ，与 l1相交于点 C .
（1）写出点 A ， B ， C 的坐标： A ， B ⁠ ， C ⁠.
（2）如图2，动直线 x ＝ t 分别与直线 l1， l2交于 P ， Q 两点.
①若 PQ ＝2，求 t 的值.
②是否存在点 Q ，使得 S△ AQC ＝2 S△ ABC ？若存在，请求出此时 点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【思路导航】（1）根据一次函数与一元一次方程的关系求解； （2）①先用 t 表示点 P ， Q 的坐标，再列方程求解；②先分类 讨论，再列方程求解.
（1）【解析】对于直线 l2： y ＝3 x －3，令 y ＝3 x －3＝0，解得 x ＝1，故点 B 的坐标为（1，0）.对于 l1： y ＝ x ＋1，同理可 得，点 A 的坐标为（－1，0）.由3 x －3＝ x ＋1，解得 x ＝2.则 y ＝3 x －3＝3.故点 C 的坐标为（2，3）.故答案为（－1，0）， （1，0），（2，3）.
（2）解：①点 P 在直线 l1上，则设点 P （ t ， t ＋1），同理点 Q （ t ，3 t －3），则 PQ ＝｜ t ＋1－3 t ＋3｜＝2，解得 t ＝1或 t ＝3.
②存在.理由如下：当 t ＜2时， BQ ＝ BC ，可得点 Q 的坐标为（0，－3）；当 t ＝2时，△ AQC 不存在；当 t ＞2时， CQ ＝2 BC ，所以点 Q 的纵坐标为9.当 y ＝9时，9＝3 x －3，解得 x ＝4.所以点 Q 的坐标为（4，9）.综上所述，存在点 Q ，使得 S△ AQC ＝2 S△ ABC ，点 Q 的坐标为 （0，－3）或（4，9）.
【点拨】在涉及面积问题时要结合图形具体分析，这样考虑更 全面，解题更简单.
如图，在平面直角坐标系中，已知点 O 为坐标原点，直线 AB 分 别与 x 轴、 y 轴交于点 A （5，0）， B （0，5），动点 P 的坐标 为（ a ， a －1）.（1）求直线 AB 的函数表达式；
解：（1）设直线 AB 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.由题意，得 b ＝5，5 k ＋ b ＝0.所以 k ＝－1.所以直线 AB 的函数表达式为 y ＝－ x ＋5.
（2）连接 AP ，若直线 AP 将△ AOB 的面积分成相等的两部分， 求此时点 P 的坐标.
类型三　一次函数图象的平移问题 已知一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ， b 为常数，且 k ≠0）的图象 过点（3，2）和（0，－4），交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B .
（1）求一次函数的表达式.（2）规定：横、纵坐标都为整数的点为整点；该一次函数的图 象与 y ＝ x 的图象及 y 轴围成的区域（不含边界）称为区域 W . ①求区域 W 中整点的个数；②将一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象至少向上平移多少个单位长度， 才能使得区域 W 中整点的个数为0？
【思路导航】（1）根据待定系数法可以求得该函数的表达式； （2）①求两直线的交点坐标，分析可得整点的个数；②设出平 移后的直线的表达式，把对应点代入后求得平移的距离.
解：（1）根据题意，得 b ＝－4，3 k ＋ b ＝2.所以 k ＝2.所以一次函数的表达式为 y ＝2 x －4.
（2）①令2 x －4＝ x ，解得 x ＝4.当 x ＝4时， y ＝4.
所以两直线的交点坐标为（4，4）.
画出函数 y ＝ x 和 y ＝2 x －4的图象如图所示.
分析可知区域 W 内的整点有（1，－1），（1，0），（2，1），共3个.故区域 W 内的整点有3个.
②当平移后的直线经过点（1，0）时，区域 W 内有0个整点.设平移后的直线的函数表达式为 y ＝2 x ＋ n .把（1，0）代入，得0＝2＋ n ，解得 n ＝－2.所以－2－（－4）＝2.所以将一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象至少向上平移2个单位长度， 才能使得区域 W 中整点的个数为0.
【点拨】对于此类题目通常需要结合图象进行解题，所以准确 作出图象是解题的关键.
（2）当 x ≥－4时，对于 x 的每一个值，函数 y ＝ mx （ m ≠0） 的值都大于一次函数 y ＝ kx ＋ b 的值，求 m 的取值范围.
类型四　一次函数与图形的综合问题
如图1，已知直线 AB 分别交平面直角坐标系中 x 轴和 y 轴于 A ， B 两点，点 A 的坐标为（－3，0），点 B 的坐标为（0，6），点 C 在直线 AB 上，且点 C 的坐标为（－ a ， a ）.
（1）求直线 AB 的函数表达式和点 C 的坐标；
（2）点 D 是 x 轴上的一动点，当 S△ AOB ＝ S△ ACD 时，求点 D 的坐标；
（3）如图2，点 E 坐标为（0，－1），连接 CE ，点 P 为直线 AB 上一点，且∠ CEP ＝45°，求点 P 的坐标.
【思路导航】（1）求出直线 AB 的函数表达式，再将点 C （－ a ， a ）代入表达式即可求出点 C 的坐标；（2）求出 AD ，即可 求得点 D 的坐标；（3）分两种情况讨论：①当点 P 在射线 CB 上时，②当点 P 在射线 CA 上时分别求出点 P 的坐标.
解：（1）设直线 AB 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.因为 A （－3，0）， B （0，6），所以 b ＝6，－3 k ＋ b ＝0.所以 k ＝2.所以直线 AB 的函数表达式为 y ＝2 x ＋6.因为点 C （－ a ， a ）在直线 AB 上，所以 a ＝－2 a ＋6，解得 a ＝2.所以点 C 的坐标为（－2，2）.
（3）①如图1，当点 P 在射线 CB 上时，过点 C 作 CF ⊥ CE 交直 线 EP 于点 F .
因为∠ CEF ＝45°，所以 CE ＝ CF .
过点 C 作 x 轴的垂线 l ，分别过点 F ， E 作 FM ⊥ l ， EN ⊥ l ，
所以∠ FMC ＝∠ CNE ＝90°，∠ MCF ＋∠ MFC ＝90°.
因为 CF ⊥ CE ，
因为∠ MCF ＋∠ NCE ＝90°.
所以∠ MFC ＝∠ NCE .
所以△ FMC ≌△ CNE （AAS）.
所以 FM ＝ CN ＝3， CM ＝ EN ＝2，
即点 F 的坐标为（1，4）.
设直线 EF 的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n （ m ≠0），
由题意，得 n ＝－1， m ＋ n ＝4.
所以直线 EF 的函数表达式为 y ＝5 x －1.
②如图2，当点 P 在射线 CA 上时，过点 C 作 CH ⊥ PE 交直线 PE 于点 H ，过点 H 作 HK ⊥ y 轴于点 K ，过点 H 作 GH ⊥ x 轴，过点 C 作 CG ⊥ GH 于点 G . 因为∠ GHK ＝∠ CHE ＝90°，所以∠ CHG ＋∠ CHK ＝∠ CHK ＋∠ EHK . 所以∠ CHG ＝∠ EHK . 因为∠ CEP ＝45°，所以 CH ＝ HE . 所以△ CHG ≌△ EHK （AAS）.
【点拨】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象 及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键.
如图，直线 AB ： y ＝ x －2与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，点 C 是线段 AB 上一点（不与点 A ， B 重合）.以 OC 为一边作△ OCD ，其中∠ COD ＝90°， OC ＝ OD ，连接 AD . （1）求点 A ， B 的坐标和线段 AB 的长；（2）试猜想线段 AD 和 BC 之间的数量与位置关系，并说明 理由；
（3）当 BC ＝ OB 时，求点 D 的坐标.
（2）猜想： AD ＝ BC ， AD ⊥ BC . 理由如下：
因为∠ COD ＝90°， OA ⊥ OB ，
所以∠ COD ＝∠ AOB ＝90°.
所以∠ DOA ＝∠ COB .
因为点 A （2，0），点 B （0，－2），
所以 OA ＝ OB .
所以△ DOA ≌△ COB （SAS）.
所以 AD ＝ BC ，∠ DAO ＝∠ CBO .
因为∠ CBO ＋∠ OAB ＝90°，
所以∠ DAO ＋∠ OAB ＝90°，即∠ DAB ＝90°.
所以 AD ⊥ BC .
所以 AD ＝ BC ， AD ⊥ BC .