四川省眉山市东坡区2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷(含答案)

这是一份四川省眉山市东坡区2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2．若，，则( )
A.B.C.D.
3．已知直线和直线垂直，则( )
A.B.C.D.
4．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为( )
A.B.C.D.
5．正四面体中，F是的中点，E是的中点，若，，，则( )
A.B.C.D.
6．圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围( )
A.B.C.D.
8．在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点A到直线的距离为( )
A.B.1C.D.
二、多项选择题
9．设A，B为两个随机事件，若，，则下列结论中正确的是( )
A.若，则B.若，则A，B相互独立
C.若A与B相互独立，则D.若A与B相互独立，则
10．若圆与圆的交点为A，B，则( )
A.公共弦AB所在直线方程为
B.线段AB中垂线方程为
C.若实数x，y满足圆，则的最大值为
D.过点作圆的切线方程为圆
11．已知点P是椭圆上一点，，是椭圆E的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是( )
A.点P的纵坐标为4B.
C.的周长为D.的内切圆半径为
12．如图，在棱长为1的正方体中，点M，N分别在线段和上.给出下列四个结论中所有正确结论的序号是( )
A.的最小值为1
B.四面体的体积为
C.存在无数条直线与垂直
D.点M，N为所在边中点时，四面体的外接球半径为
三、填空题
13．已知椭圆的焦点在x轴上且焦距为2，则m的值为________
14．圆，圆，圆与圆相外切，则________.
15．在三棱锥中，，，，则异面直线与所成的角是________.
16．已知、，是椭圆的左、右焦点，点M在椭圆C上，且.记外接圆和内切圆的半径分别为R、r，若，则椭圆C的离心率为________.
四、解答题
17．已知直线l经过点.
（1）若直线l与直线平行，求l的直线方程；
（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
18．圆，A是圆C上一动点，点，M为线段的中点.
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）记M的轨迹为曲线E，过点的点线l与曲线E有且只有一个交点，求直线l的方程.
19．随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过三小时.
（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.
20．椭圆，其中一个焦点坐标是，长轴长是短轴长的2倍.
（1）求E的方程；
（2）设直线与E交于A，B两点，若，求k的值.
21．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.
（1）求证：；
（2）若，请问在线段上是否存在点E，使得二面角的大小为，若存在请求出E的位置，不存在请说明理由.
22．如图，已知圆，为直线上一动点，O为坐标原点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明直线过定点，并求出定点的坐标；
（2）求线段中点的轨迹方程；
（3）若两条切线，与y轴分别交于点S，T，求的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：设直线的倾斜角为a，直线的方程可化为，所以斜率为，因为，所以.故选:B.
2．答案：C
解析：由可知，根据向量减法的坐标运算法则可得，即.
故选:C
3．答案：D
解析：由于直线和直线垂直，故，解得.故选:D.
4．答案：C
解析：甲、乙、两3人投中与否的所有情况为：(中，中，中)，(中，中，不中)，(中，不中，中)，(中，不中，不中)，(不中，中，中)，(不中，中，不中)，(不中，不中，中)，（不中，不中，不中），共8种，其中至多有1人投中的有4种，故所求概幸为.故选:C.
5．答案：A
解析：依题意，结合图形可得，
故选:A.
6．答案：A
解析：由圆的方程，可得圆心为原点，半径为2，
若圆上有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线的距离d小于1，
又直线的一般方程为，
，解得.
所以实数b的取值范国为.
故选:A.
7．答案：B
解析：直线即，恒过定点，曲线即表示以点为圆心，半径为1，且位于直线上方的半圆（包括点，），
当直线l经过点时，l与曲线C有两个不同的交点，此时，直线记为;当l与半圆相切时，由，得，切线记为，分析可知当时，l与曲线C有两个不同的交点，即实数k的取值范围是.
8．答案：B
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，得，，，
，，
所以在上的投影为，
所以点A到直线的距离为
故选:B
9．答案：BD
解析：A，若，则，A错误；
B，因为，，则，B正确；
C，因为A与B相互独立，则，也相互独立，
则，C错误；
D，若A与B相互独立，则，也相互独立，
则，D正确.
故选：BD
10．答案：AD
解析：圆的圆心，
圆的圆心，
对于A:圆和圆方程作差得
，整理得，A正确；
对于B:线段中垂线即为直线，方程为，即，B错误;
对于C:令，则，代入
得，整理得，
方程有解，故，解得，
则的最大值为2，C错误；
对于D:点在圆上，
故切线方程为，即，D正确.
故选: BD.
11．答案：BC
解析：依题意，不妨设点，由可得，故，
则的面积为，解得:，
对于A选项，由上分析知点P的纵坐标为，故A项错误;
对于B选项，由知，此时点P为椭圆短轴顶点，故，又，由知，故B项正确;
对于C选项，因点P在椭圆上，故有，于是的周长为，故C项正确;
对于D选项，设的内切圆半径为r，则由:佣形两积相等可得:，解之得:.故D项错误.
故选BC
12．答案：AC
解析：对于A：因为是正方体，
所以平面，平面，
又因为平面，平面，
所以，，即是与的公垂线段，
因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，
所以当M，N分别与，重合时，最短为1，故A正确；
对于B：因为是正方体，
所以平面平面，且平面，
所以平面，当点M在上运动时，点M到平面的距离不变，距离，
由可知，当点N在上运动时，N到的距离不变，
所以的面积不变，所以，所以B错误；
对于C：连接，，因为平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，当N不在线段端点时，过N作交于E，过N作交于F，平面交线段于M，
因为平面，平面，
故平面，同理平面，又，平面，
所以平面平面，故平面，又平面，
所以，因为点N在线段上，所以存在无数条直线与垂直，故C正确；
对于D：如图以点D为原点，以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
故的外接圆半径为，
所以可得等腰的外接圆圆心为，设四面体的外接球球心为O，则平面，
所以可设四面体的外接球球心为，
由，可得，解得，
所以四面体的外接球的半径为，故D错误.
故选：AC.
13．答案：5
解析：由题意知，即.因为椭圆的焦点在x轴上，所以.
14．答案：2
解析：由题意知，，所以，，，，因为两圆外切，所以，解得.故答案为:2.
15．答案：
解析：设，则，.
所以，所以为直角三角形，即.
所以.
因为，
所以.
因为.
所以
，
设异面直线与所成的角为()
则
因为，所以，
即异面直线与所成的角为，
故答案为:.
16．答案：
解析：设，，则，依题意可知，即.在中，由余弦定理可知，得，得，故，即.又，因此，得.
17．答案：（1）；
（2）或
解析：（1）根据题意可设直线l的方程为，将点P代入计算可得，可得直线l的方程为.
（2）若在两坐标轴上的截距为0，则可得直线方程为，即;
若在两坐标轴上的截距不为0，设为a，则直线的方程为，代入点可得，可得直线l的方程为;综上可知，直线l的方程为或.
18．答案：（1）；
（2）或
解析：（1）令，由M为线段的中点，，则，而A是圆C上一动点，故，整理得，即，所以动点M的轨迹方程为.
（2）由(1)知:曲线E的圆心为，半径，且点N在曲线E外，若直线l斜率不存在，即，显然与曲线E相切，满足;若直线l斜率存在，设，则到直线l的距离，所以，此时;综上，直线l的方程为或.
19．答案：（1）；
（2）
解析：（1）甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元.
都付2元的概率为；都付4元的概率为；都付6元的概率为；
故所付费用相同的概率为.
（2）设两人费用之和为8、10、12的事件分别为A、B、C
；；.
设两人费用之和大于或等于8的事件为，则
所以，两人费用之和大于或等于8的概率
20．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）由题意得，，，
解得，，
所以椭圆E的标准方程为.
（2）设A，B的坐标为，，依题意得，
联立方程组消去y，得.
，，，，
，
，，，
所以，.
21．答案：（1）证明见解析；
（2）点E为线段中点时，二面角的大小为.
解析：（1）证明：连接交于点D，
因，则
由平面侧面，且平面侧面，
得平面，又平面，所以.
三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以.
又，从而侧面，
又侧面，故.
（2）假设在线段上存在一点E，使得二面角的大小为，
由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC､所在直线分别为y，z轴，以过A点和AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，
且设，，
得
所以，
设平面的一个法向量，由，得：
，取，
由（1）知平面，所以平面的一个法向量，
所以，解得，
点E为线段中点时，二面角的大小为.
22．答案：（1）证明见解析，定点；
（2）
（3）
解析：（1）由题，圆M的圆心坐标，半径为1，
所以，，，
故以P为圆心，为半径的圆P的方程为，
显然线段为圆P和圆M的公共弦，
则直线的方程为，
即，所以，
所以直线过定点；
（2）由（1）知，直线过定点，的中点为直线与直线的交点，
设的中点为F，直线过的定点为H，
易知始终垂直于，所以F点的轨迹是以为直径的圆，
，，
点F的轨迹方程为；
（3）设过点P的圆M的切线方程为，即，
故到直线的距离，即，
设，的斜率分别为，，则，，
把代入，得，
则，
故当时，取得最小值为.