2023-2024学年四川省眉山市东坡区两校高一下学期期末联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省眉山市东坡区两校高一下学期期末联考数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.OA+BC−BA=( )
A. OBB. COC. ACD. OC
2.平面向量a=1,−2，b=−2,x，若a//b，则x等于( )
A. 4B. 2C. −1D. −4
3.sin4π3cs5π6tan−4π3 =( )
A. −3 34B. 3 34C. − 34D. 34
4.已知复数z=3+i1+i(i是虚数单位)，则z所对应的点所在象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.在ΔABC中，若acsB=c，则ΔABC的形状是( )
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
6.关于函数f(x)=|tanx|的性质，下列叙述不正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为π2
B. f(x)是偶函数
C. f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称
D. f(x)在每一个区间(kπ,kπ+π2)(k∈Z)内单调递增
7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP⋅AB的取值范围是( )
A. (−2,6)B. (−6,2)C. (−2,4)D. (−4,6)
8.已知函数f(x)=sinωx+π3，(ω>0)在区间−2π3,5π6上是增函数，且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是( )
A. 0,15B. 12,35C. 16,15D. 12,52
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 若|a|=0，则a=0B. AB+BA=0
C. 若e1,e2为单位向量，则e1=e2D. a|a|是与非零向量a共线的单位向量
10.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是( )
A. b=7,c=3,C=π6B. b=5,c=6,C=π4
C. a=6,b=3 3,B=π3D. a=20,b=15,B=π6
11.已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数y=fx的图象关于点−π12,0对称
B. 函数y=fx的图象关于直线x=−5π12对称
C. 函数y=fx在−2π3,−π6单调递减
D. 该图象向右平移π12个单位可得y=2sin3x的图象
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将函数y= 2cs2x+π3的图象向左平移π3个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为 ．
13.设向量a=2,3，b=6,t，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围为 ．
14.为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为10 3km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB=75∘，∠ACD=120∘，∠ADC=30∘，∠ADB=45∘，则A，B两个基站的距离为
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量a=3,−4，b=5,2．
(1)若a−3b//ka+b，求实数k的值；
(2)若a−mb⊥b，求实数m的值．
16.(本小题12分)
已知函数f(x)=2 3sinxcsx+cs2x−sin2x．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)求f(x)在区间0,π2上的最大值和最小值．
17.(本小题12分)
已知sinα+csαsinα−csα=3,α∈0,π2．
(1)求tanα的值;
(2)若sinα−β= 1010，且β∈0,π2，求角β．
18.(本小题12分)
在①cs2A+sinB2+sin2C=1+sinBsinC；②2ccsA=acsB+bcsA；③asinC=ccsA−π6这三个条件中任选一个，解答下面两个问题．
(1)求角A；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，cb19.(本小题12分)
如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1,BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．
(Ⅰ)设∠MOD=30∘，求三角形铁皮PMN的面积；(Ⅱ)求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．
答案解析
1.D
【解析】解：OA+BC−BA=OA+AB+BC=OB+BC=OC．
故选：D．
2.A
【解析】由于a//b，所以1⋅x=−2⋅−2⇒x=4．
故选：A
3.A
【解析】解：sin4π3cs5π6tan(−4π3)=sin(π+π3)cs(π−π6)tan(−π−π3)=−sinπ3⋅(−csπ6)⋅(−tanπ3)=− 32⋅ 32． 3=−3 34..
4.A
【解析】z=3+i1+i=3+i1−i1+i1−i=4−2i2=2−i，则z=2+i，
z所对应的点为2,1，在第一象限．
故选：A．
5.B
【解析】解：因为在△ABC中，acsB=c，
由余弦定理可知：a·a2+c2−b22ac=c，可得b2+c2=a2，
∴A=90°，
所以三角形是直角三角形．
故选B．
6.A
【解析】解：对于函数f(x)=|tanx|，根据该函数的图象与性质知，其最小正周期为π，A错误；
又f(−x)=|tan(−x)|=|tanx|=f(x)，所以f(x)是定义域上的偶函数，B正确；
根据函数f(x)的图象与性质知，f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称，C正确；
根据f(x)的图象与性质知，f(x)在每一个区间(kπ,kπ+π2)(k∈Z)内单调递增，D正确．
故选：A．
7.A
【解析】解：AB的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(−1,3)，
结合向量数量积的定义，
可知AP⋅AB等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积，
所以AP⋅AB的取值范围是(−2,6)，
故选：A．
8.C
【解析】解：解法一：(复合函数法)
令X=ωx+π3，−2π3≤x≤5π6，
则−2πω3+π3≤X≤5πω6+π3．
所以函数y=sinX在区间−2πω3+π3,5πω6+π3上单调递增，
从而可得−2πω3+π3,5πω6+π3⊆−π2,π2，
则−π2≤−2πω3+π35πω6+π3≤π2，解得ω≤15．
当0≤x≤π时，π3≤X≤πω+π3，
所以函数y=sinX在区间π3,πω+π3恰好取一次最大值1，
所以π2≤πω+π3<5π2，解得16≤ω≤136．
综上所知16≤ω≤15．
故选：C
解法二：(特殊值法)
当ω=12时，令X=x2+π3，−2π3≤x≤5π6，
则0≤X≤3π4，则函数y=sinX在区间0,3π4上不单调，
所以ω=12不合题意，排除B、D．
当ω=112时，令X=x12+π3，0≤x≤π，
则π3≤X≤5π12，则函数y=sinX在区间π3,5π12取不到最大值1，
所以ω=112不合题意，排除A．
故选：C
9.ABD
【解析】选项A，因为|a|=0，根据零向量的定义知，a=0，故选项 A正确；
选项B，根据向量加法的运算法则知，AB+BA=0，故选项 B正确；
选项C，e1,e2为单位向量，则有e1=e2，但e1与e2可以方向不同，根据向量相等定义知，选项 C错误；
选项D，因a|a|的模长为1，且与向量a同向，故选项 D正确．
故选：ABD
10.BC
【解析】A选项有无穷多解，显然错误；
B中，因为bsinC=5 22，C为锐角，所以bsinCC中，因为asinB=3 3，B为锐角，所以b=asinB，所以该三角形有一解， C正确；
D中，因为asinB=10，B为锐角，所以asinB故选：BC
11.AD
【解析】由图象可得fx的最大值为2，即A=2，
T=2πω=4π4−π12，即ω=3，
所以fx=2sin3x+φ，
因为fπ12=2，所以π4+φ=2kπ+π2,k∈Z，
所以φ=2kπ+π4,k∈Z，因为|φ|<π2，所以φ=π4，
所以fx=2sin3x+π4，
对于A，因为f−π12=0，所以函数y=fx的图象关于点−π12,0对称，故正确；
对于B，因为f−5π12=2sin−π=0，所以错误；
对于C，当x∈−2π3,−π6时，3x+π4∈−7π4,−π4，
所以函数y=fx在−2π3,−π6上不单调，故错误；
对于D，该图象向右平移π12个单位可得y=2sin3x−π12+π4=2sin3x的图象，故正确，
故选：AD
12.y=− 2cs2x−3
【解析】解：y= 2cs2x+π3的图象向左平移π3个单位长度，
得到y= 2cs2(x+π3)+π3= 2cs(2x+π)=− 2cs2x的图象，
再向下平移3个单位长度得到y=− 2cs2x−3的图象．
故答案为：y=− 2cs2x−3．
13.−4,9∪9,+∞
【解析】由题意可知，a⋅b>0，且a与b不平行，
则2×6+3t>0，且2t≠18，得t>−4，且t≠9，
故答案为：−4,9∪9,+∞
14.10 5
【解析】∠CAD=180∘−120∘−30∘=30∘，所以∠CAD=∠CDA，CA=CD=10 3，
∠BCD=120∘−75∘=45∘，
▵ACD中，AD=2AC⋅cs30∘=30，
▵BCD中，∠CBD=180∘−∠BCD−∠CDB=180∘−45∘−75∘=60∘，
BDsin∠BCD=CDsin∠CBD，即BDsin45∘=10 3sin60∘，得BD=10 2，
▵ABD中，AB= AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cs45∘= 302+10 22−2×30×10 2× 22=10 5．
故答案为：10 5
15.解：(1)
方法一：由题意得，a−3b=−12,−10，ka+b=3k+5,2−4k，
∵a−3b//ka+b，∴−122−4k+103k+5=0，
解得k=−13
方法二：由题意得，a，b不平行，设a−3b=λka+b，
则a−3b=λka+λb，∴1=λk−3=λ，解得k=−13．
(2)
由题意得，a−mb=3−5m,−4−2m，
∵a−mb⊥b，∴a−mb⋅b=53−5m+2−4−2m=0，
解得m=729．
【解析】(1)利用向量共线的坐标形式可求参数的值或者利用共线向量定理可求参数的值；
(2)利用向量垂直的坐标形式可求参数的值．
16.解：(1)
因为f(x)=2 3sinxcsx+cs2x−sin2x= 3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)，所以函数fx的最小正周期为T=2πω=2π2=π，
由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2,k∈Z
得到kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z．
所以函数fx的单调减区间为kπ+π6,kπ+2π3，k∈Z．
(2)
因为f(x)=2sin(2x+π6)，当x∈0,π2时，2x+π6∈π6,7π6，
根据函数y=sinx的图像与性质知，sin2x+π6∈−12,1，
所以fx的最大值为2，最小值为−1．
【解析】(1)将简函数为f(x)=2sin(2x+π6)，再利用三角函数y=sinx的图像与性质即可求出结果；
(2)通过x的范围，求出2x+π6的范围，再利用三角函数y=sinx的图像与性质即可求出结果；
17.解：(1)因为sinα+csαsinα−csα=3，
所以tanα+1tanα−1=3，解得tanα=2；
(2)因为tanα=2，α∈0,π2，
则sinα=2csαsin2α+cs2α=1,
解得sinα=2 55,csα= 55，
又β∈0,π2，所以α−β∈−π2,π2，
又因sinα−β= 1010，所以csα−β= 1−sin2α−β=3 1010，
则sinβ=sinα−α−β=2 55×3 1010− 55× 1010= 22，
所以β=π4．
【解析】(1)根据已知化弦为切即可得解；
(2)分别求出sinα,csα，csα−β，再根据sinβ=sinα−α−β结合两角差的正弦公式即可得解．
18.解：(1)
若选①：由已知得：sin2B+sin2C=1−cs2A+sinBsinC
sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC由正弦定理可得
b2+c2=a2+bc，可得b2+c2−a2=bc，
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=12，因为0若选②：因为2ccsA=acsB+bcsA
由正弦定理可得2sinCcsA=sinAcsB+sinBcsA，
所以2sinCcsA=sinA+B=sinC
因为00，所以csA=12，
因为0若选③：因为asinC=ccsA−π6，由正弦定理得sinAsinC=sinCcsA−π6
因为00，故可得sinA=csA−π6= 32csA+12sinA，
即12sinA= 32csA，所以tanA= 3，因为0(2)
由(1)可得A=π3，S▵ABC=12bcsinA= 34bc=3 3，所以bc=12，
由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccsA=b+c2−3bc=28，
所以b+c=8，又因为b【解析】(1)若选①，首先转化1−cs2A=sin2A，再利用正弦定理边角互化，结合余弦定理求角A；
若选②，首先将边化为角，再结合三角函数恒等变形，化简后求角A；
若选③，首先将边化为角，再利用两角差的余弦公式展开，结合辅助角公式，化简求角A；
(2)首先根据面积公式求bc，再结合余弦定理求b+c，即可求解b,c的值．
19.解：(1)设MN交AD交于Q点，
∵∠MOD=30°，
∴MQ=12，OQ= 32，
S△PMN=12MN⋅AQ=12×32×(1+ 32)=6+3 38；
(2)设∠MOQ=θ，θ∈(0,π2)，MQ=sinθ，OQ=csθ，
∴S△PMN=12MN⋅AQ=12(1+sinθ)(1+csθ)
=12(1+sinθcsθ+sinθ+csθ)，
令t=sinθ+csθ= 2sin(θ+π4)，
由于0<θ<π2，所以π4<θ+π4<3π4，
则有 22且t2=sinθ+csθ2=1+2sinθcsθ，
所以sinθcsθ=t2−12，
∴S△PMN=12(t+1+t2−12)=14(t2+2t+1)=14(t+1)2，
而函数y=14(t+1)2在区间(1, 2]上单调递增，
故当t= 2，θ=π4时，y取最大值，
即ymax=14( 2+1)2=3+2 24，
当∠MOQ=π2时，易知S△PMN=1，而1<3+2 24
即剪下的三角形铁皮S△PMN的最大值为3+2 24．
【解析】(1)设MN交AD交于Q点由∠MOD=30°，利用锐角三角函数可求MQ，OQ，进而可求MN，AQ，代入S△PMN=12MN⋅AQ可求
(2)设∠MOQ=θ，θ∈(0,π2)，结合锐角三角函数的定义可求MQ=sinθ，OQ=csθ，代入三角形的面积公式S△PMN=12MN⋅AQ=12(1+sinθ)(1+csθ)，展开利用换元法，转化为二次函数的最值求解．