立体几何专题：球的“外切”和“内切”问题-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）（原卷及解析版）

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一、正方体的内切球
正方体的内切球球心位于其对角线中点处，
对于变成为a的正方体，其内切球半径为R=a2.
二、直棱柱的内切球
以直三棱柱为例：直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆，
故直三棱柱内切球半径R等于底面三角形内切圆半径r，
又因为内切球到上下底面距离相等且都为R，
故仅有满足h=2r的直三棱柱有内切球，其中h为直三棱柱的高
三、棱锥的内切球
1、方法：一般采用等体积法
2、结论：
（1）以三棱锥为例说明：若三棱锥A-BCD的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为R=3VS.
（2）若正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为612a.
3、推导过程：如图所示，设内切球的半径为R，
则内切球的球心O到每个面的距离相等且等于R，
设∆ABC，∆ABD，∆ACD，∆BCD的面积分别为S1，S2，S3，S4
则VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-AACD+VO-BCD，
即V=13S1R+13S2R+13S3R+13S4R=13(S1+S2+S3+S4)R=13SR，
所以R=3VS
【注意】三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球。
特别的：轴截面法
对于正四、六、八棱锥，通过底面对边中点的轴截面的内切圆为棱锥内切球的大圆，该内切圆的半径为内切球的半径。
以正四棱锥为例推导：
设E、F分别为棱AB、CD的中点，
则∆PEF的内切圆即为该正四棱锥P-ABCD的内切球的大圆，
该内切圆的半径为内切球的半径：R=r=2S∆PEFC∆PEF（等面积法可得）
四、圆柱的内切球
不是所有的圆柱独有内切球，
只有当圆柱的高h与圆柱的底面半径r满足h=2r，
即圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球，
此时内切球的半径为圆柱的底面半径r.
五、圆锥的内切球
圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆，
内切圆的半径即为内切球的半径，
设圆锥底面半径为r，高为h，
则S∆PAB=12×2r×h=rh，C∆PAB=2r+2h2+r2，
所以R=2S∆PABC∆PAB=rhr+h2+r2
题型一 正方体的内切球
【例1】已知一个正方体的体积为8，求此正方体内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为 .
【变式1-2】已知正方体的棱长为1，则该正方体的外接球的体积与其内切球表面积之比为（ ）
A18:1 B.3:1 C.33:1 D. 3:2
题型二 棱柱的内切球
【例2】一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为eq \f(32π,3)，那么这个正三棱柱的体积是( )
A．96eq \r(3) B．16eq \r(3) C．24eq \r(3) D．48eq \r(3)
【变式2-1】(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B.eq \f(9π,2) C．6π D.eq \f(32π,3)
【变式2-2】正三棱柱有一个半径为的内切球，则此棱柱的体积是（ ）.
A． B． C． D．
【变式2-3】在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6BC=8，AA1=3，则V的最大值是（ ）
A.4π B.9π2 C.6π D.32π3
【变式2-4】已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=6，BC=8，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为（ ）
A.2:5 B.4:25 C.2:29 D.4:29
题型三 棱锥的内切球
【例3】四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )
A．6 B．5 C.eq \f(9,2) D.eq \f(9,4)
【变式3-1】我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在封闭的鳖臑P­ABC内有一个体积为V的球，若PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝1，则V的最大值是( )
A.eq \f(5\r(2)＋3,6)π B.eq \f(5π,3) C.eq \f(5\r(2)－7,6)π D.eq \f(32π,3)
【变式3-2】如图，在三棱锥中，，，，平面，则三棱锥的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】已知正三棱锥的高为 1，底面边长为 23，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为 ．
【变式3-4】在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P-ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=3，BC=AB=4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则R= ；内切球的体积V= ．
题型四 圆柱的内切球
【例4】阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为
A． B． C． D．
【变式4-1】圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（玻璃球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为（ ）
A.203cm B.15cm C.103cm D.20cm
【变式4-2】如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若圆柱的侧面积为4π，则球的体积为（ ）
A.323π B.43π C.4π D.16π
【变式4-3】如图，圆柱内有一个内切球（圆柱各面与球面均相切），若内切球的体积为43π，则圆柱的侧面积为（ ）
A.π B.2π C.4π D. 8π
题型五 圆锥的内切球
【例5】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为 ．
【变式5-1】已知一个圆锥的侧面积是底面积的倍，记该圆锥的内切球的表面积为，外接球的表面积为，则（ ）
A. B. C. D.
【变式5-2】一个圆锥的母线长为，圆锥的母线与底面的夹角为，则圆锥的内切球的表面积为( )
A． B． C． D．
【变式5-3】将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】求底面半径为10，母线长为26的圆锥的内切球的表面积及体积．
题型六 球与球的相切问题
【例6】底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切。现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水_____.
【变式6-1】在半径为的球内放入5个球，其中有4个球大小相等，两两相外切且均与大球相内切，另一个小球与这四个球均相外切，则这个小球半径为
A． B． C． D．
【变式6-2】如图，在棱长为10的正方体内放入两个半径不相等的球，，这两个球相外切，且球与正方体共顶点的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切，则球的半径最大时，球的体积是
A． B． C． D．
【变式6-3】有四个半径为1的小球，球，球，球放置在水平桌面上，第四个小球放在这三个小球的上方，且四个小球两两外切．在四个小球之间有一个小球，与这四个小球均外切．则球的半径为 ．
【变式6-4】把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．