专题42 外接球与内切球(讲义)(原卷版)
展开一、外接球
1.长(正)方体外接球
①长(正)方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为_____长的一半.
②补成长方体
2.线面垂直模型
找球心策略:先找到底面_____的圆心,可计算出外接圆的半径,然后垂直圆心取高的_____,即球心的位置
3.侧棱相等模型
顶点的射影刚好是底面的_____,故球心在顶点与外心的连接线上
4.面面垂直模型
若两个平面垂直,则分别找出两垂直多边形的_____,然后分别作过圆心的_____,交点即球心
5.二面角模型
二面角型,多是可以借助外心垂线相交法来计算解决。
1.等边或者直角:(1)等边三角形中心(外心)做面垂线,必过球心;
2.直角三角形斜边中点(外心)做面垂线,必过球心;
3.许多情况下,外心垂线夹角与二面角相等或者互补。
二、内切球
内切球球心到多面体各面的距离均_____,故可用_____法:(为几何体的体积,为多面体的表面积,为内切球的半径)
考点一长方体的外接球
例1.(2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第三十二中学校校考期中)半径为R的球内接一个正方体,则该正方体的体积是( )
A.B.C.D.
例2.(2023春·安徽·高三安徽省宿松中学校联考期中)设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上,且,则此直三棱柱的表面积是( )
A.B.C.D.
例3.(2022秋·四川泸州·高二统考期末)已知底面是正三角形的直三棱柱的高是它底面边长的倍,若其外接球的表面积为,则该棱柱的底面边长为 ( )
A.3B.4C.6D.8
例4.(2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知圆柱外接球的表面积为,则该圆柱表面积的最大值为______.
例5.(2023·全国·高三专题练习)已知直三棱柱的各顶点都在球的球面上,且,.若球的体积为,则这个直三棱柱的体积等于( )
A.B.C.2D.
考点二补形法解决墙角模型
例6.(2023春·高三课时练习)在三棱锥中,,,,,侧棱SB与底面ABC垂直,求三棱锥的外接球半径.
例7.(2023春·高三课时练习)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E、F分别是AB、BC的中点,将、、分别沿DE、EF、DF折起,使得A、B、C三点重合于点P,求四面体外接球的表面积.
例8.(2023春·湖南衡阳·高三湖南省祁东县第二中学校考期中)《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑,平面,,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球的球面上,则球的表面积为( )
A.B.C.D.
例9.(2023春·湖南·高三校联考阶段练习)很多人的童年都少不了折纸的乐趣,如今传统意义上的手工折纸已经与数学联系在一起,并产生了许多需要缜密论证的折纸问题.有一张矩形纸片,,为的中点,将和分别沿、翻折,使点与点重合于点,若,三棱锥的所有顶点都在球的表面上,则球的表面积为( )
A.B.C.D.
例10.(2023春·湖北·高三校联考阶段练习)已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上,,△ABC是边长为2的正三角形,E、F分别是PA、AB的中点,EF⊥平面PAC,则球O的体积为( )
A.B.C.D.
考点三柱体的外接球
例11.(2023春·四川成都·高二树德中学校考阶段练习)在三棱锥中,,则此三棱锥的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
例12.(2023·广西玉林·统考模拟预测)已知三棱锥 中,平面,,,则三棱锥外接球的体积为______.
例13.(2022秋·内蒙古赤峰·高二校考期末)已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上,平面BCD,,,,则球O的体积为______.
例14.(2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)三棱锥中,D是PA的中点,,,,,则三棱锥的外接球的体积为( )
A.B.C.D.
例15.(2023春·湖北·高三赤壁一中校联考阶段练习)在中,,,D为BC的中点,将绕AD旋转至,使得,则三棱锥的外接球表面积为( )
A.B.C.D.
考点四线面垂直模型
例16.(2023春·吉林·高三校联考期中)在正四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面是腰长为的等腰三角形,则正四棱锥的外接球的体积为( )
A.B.
C.D.
例17.(2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)已知正四棱锥的所有棱长均为2,且该四棱锥的五个顶点在一个球面上,则这个球的表面积______.
例18.(2023·全国·高三专题练习)盲盒是一种深受大众喜爱的玩具,某盲盒生产厂商要为棱长为的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒,需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动,则包装盒的棱长最短为( )
A.B.C.D.
例19.(2023·全国·高三专题练习)在三棱锥中,,,则三棱锥的外接球的表面积是( )
A.B.C.D.
例20.(2023春·四川成都·高一校联考期末)已知正四棱锥的侧棱,底面边长为2,则该正四棱锥外接球的表面积为__________.
考点五侧棱相等模型
例21.(2023·全国·高三专题练习)(多选)已知圆台的上底半径为1,下底半径为3,球O与圆台的两个底面和侧面都相切,则( )
A.圆台的母线长为4B.圆台的高为4
C.圆台的表面积为D.球O的表面积为
例22.(2023春·全国·高三专题练习)已知正四棱台的高为,下底面边长为,侧棱与底面所成的角为,其顶点都在同一球面上,则该球的体积为( )
A.B.
C.D.
例23.(2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习)已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切,且圆台上底面的半径为,下底面的半径为,则该球的体积为_________.
例24.(2023春·广西·高三校联考阶段练习)在四棱台中,底面是边长为4的正方形,其余各棱长均为2,设直线与直线的交点为,则四棱锥的外接球的体积为______.
例25.(2023春·山东聊城·高三山东省聊城第四中学校考阶段练习)米斗是我国古代称量粮食的量器,是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具,其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意,是丰饶富足的象征,带有浓郁的民间文化的味,如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为4和2.侧棱长为.则其外接球的表面积为____.
考点六面面垂直模型
例26.(2023春·广东茂名·高三统考阶段练习)已知在边长为2的菱形ABCD中,,沿对角线BD将折起,使平面平面BCD,则四面体ABCD外接球的表面积为________;若P为AB的中点,过点P的平面截该四面体ABCD的外接球所得截面面积为S,则S的最小值为________.
例27.(2023·全国·高三对口高考)如图,在平行四边形中,.若将其沿折成直二面角,则三棱锥的外接球的体积为_________.
例28.(2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测)无人侦察机在现代战争中扮演着非常重要的角色,它能在万米高空观察敌方的地面设施和军事力量部署.我国无侦—8(如图1)是一款以侦察为主的无人机,它动力强劲,比大多数防空导弹都要快.已知空间中同时出现了A,B,C,D四个目标(目标与无人机的大小忽略不计),如图2,其中,,,且目标A,B,D所在平面与目标B,C,D所在平面恰好垂直,若无人机可以同时观察到这四个目标,则其最小侦测半径为______.
例29.(2023春·安徽·高三安徽省太和中学校联考阶段练习)在边长为6的菱形中,,现将菱形沿对角线BD折起,当时,三棱锥外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
例30.(2023春·四川成都·高二树德中学校考阶段练习)在三棱锥中,平面平面,,,则此三棱锥的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
考点七二面角模型
例31.(2023·高一单元测试)在三棱锥中,底面是边长为2的等边三角形,是以为斜边的等腰直角三角形,若二面角的大小为,则三棱锥外接球的表面积为______.
例32.(2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测)如图,在三棱锥中,,若该三棱锥的外接球表面积为,则锐二面角的平面角的正切值为__________.
例33.(2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模)在三棱锥中,和为等边三角形,二面角的余弦值为,三棱锥的体积为,则三棱锥的外接球的体积为( )
A.B.C.D.
例34.(2023·全国·高三专题练习)在三棱锥中,,二面角为,则三棱锥外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
例35.(2023·全国·高三专题练习)已知等边的边长为2,将其沿边旋转到如图所示的位置,且二面角为,则三棱锥外接球的半径为____________
考点八内切球
例36.(2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测)已知侧面积为的圆柱存在内切球,则此圆柱的体积为( )
A.B.C.D.
例37.(2023春·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习)已知矩形中,,沿着对角线将折起,使得点不在平面内,当时,求该四面体的内切球和外接球的表面积比值为( )
A.B.C.D.
例38.(2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末)将菱形沿对角线折起,当四面体体积最大时,它的内切球和外接球表面积之比为( )
A.B.C.D.
例39.(2023春·广西·高二校联考期中)已知四棱锥的各棱长均为2,则其内切球表面积为( )
A.B.
C.D.
例40.(2023·全国·高三专题练习)若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球体积之比为( )
A.B.C.D.
考点一
长方体及柱体的外接球
考点二
补形法解决墙角模型
考点三
线面垂直模型
考点四
侧棱相等模型
考点五
台体的外接球
考点六
面面垂直模型
考点七
二面角模型
考点八
内切球
图形特征
三棱锥的三条侧棱两两互相垂直
三棱锥的四个面均是直角三角形
三棱锥的对棱两两相等
图示
图形
正(长)方形
等边三角形
直角三角形
一般的三角形
(通用方法)
外接圆半径
半径等于_____的一半
半径等于_____高
半径等于_____的一半
正弦定理
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一网打尽外接球、内切球与棱切球问题: 这是一份一网打尽外接球、内切球与棱切球问题,文件包含一网打尽外接球内切球与棱切球问题解析版pdf、一网打尽外接球内切球与棱切球问题学生版pdf等2份试卷配套教学资源,其中试卷共48页, 欢迎下载使用。
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