湖北省荆州市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份湖北省荆州市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答，考生必须保持答题卡的整洁，现有下列信息等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效．
3．填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 在实数，，，，中，有理数的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
解析：解：∵是有限小数，是负分数，是整数，
∴有理数的个数是3．
故选：C
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解析：解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项错误，不符合题意；
D、，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
3. 函数中自变量的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：解：由题意可得，，
解得，
∴自变量的取值范围在数轴上可表示为，
故选：．
4. 如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，下列关于该几何体三视图的描述：①主视图是中心对称图形；②左视图是轴对称图形；③俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ②③
【答案】B
解析：解：如图所示：
主视图不是中心对称图形，故①说法错误；
左视图是轴对称图形，故②说法正确；
俯视图是中心对称图形，但不是轴对称图形，故③说法错误；
故选：B．
5. 校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率．下表是小亮一次训练时的进球情况：
则下列说法正确的是（ ）
A. 小亮每投个球，一定有个球进B. 小亮投球前个进，第，个一定不进
C. 小亮比赛中的投球命中率一定为D. 小亮比赛中投球命中率可能超过
【答案】D
解析：解：A、小亮每投个球，不一定有个球进，故错误；
B、小亮投球前个进，第、个不一定不进，故错误；
C、小亮比赛中的投球命中率可能为，故错误；
D、小亮比赛中投球命中率可能为超过，故正确；
故选：D．
6. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的一边于点，且经过点，另一边经过点E，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：由正五边形的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
解析：解：关于的方程有两个不相等的实数根，，
，
解得：，
，
函数过第一、二、四象限，
故选：C．
8. 在平面直角坐标系中，，，将线段平移得到线段，点，点的对应点分别是点，点．若分别连接，得到四边形为菱形，且与轴夹角为，则点的坐标是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
解析：解：
∵是菱形，
∴，互相垂直平分，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
如图，当点C在第一象限时，
连接，
则是等边三角形，
∴
∴，
∴点D的坐标为；
当点C落在y轴上时，点D落在x轴上，如图，
则点D与点B关于y轴对称，
∴点D的坐标为；
故选B．
9. 古希腊数学家曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图，点和点分别表示埃及的西恩纳和亚历山大两地，地在地的北方，两地的经度大致相同，且实际距离（的长）为．当太阳光线在地直射时，同一时刻在地测量太阳光线偏离直射方向的角为，实际测得是．由此估算地球周长用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：设地球的半径是r，
∵太阳的光线是平行的，
∴，
∴的长，
∴，
∴，
∴地球周长约是，
用科学记数法表示为：
故选：A．
10. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④；．其中正确的有（ ）

A. ①②B. ②③C. ①③④D. ①④
【答案】C
解析：解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴，
∴，
∴；故①正确；
∵，
∴；故②错误；
∵，，
∴，
∴，
∴；故③正确；
∵的图象与轴交于两点，，，
∴，
∴；；故④正确；
正确的是：①③④，
故选C．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 将二次三项式化为的形式是______．
【答案】
解析：解：，
故答案为：．
12. ，，，四名选手参加赛跑，赛场共设四条跑道，选手以随机抽签方式决定各自的跑道，则，两位选手抽中相邻跑道的概率为______．
【答案】##
解析：解：画树状图表示两位选手抽中赛道的情况如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中，两位选手抽中相邻跑道的结果有种，
∴，两位选手抽中相邻跑道的概率为，
故答案为：．
13. 已知：．求作：的平分线．
作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；（3）画射线，射线即为所求（如图）．
从上述作法中可以判断，其依据是______（在“”“”“”“”中选填）
【答案】
解析：解：根据角平分线的作法可知，，．
又∵，
∴．
故答案为∶ ．
14. 已知是二元一次方程组的解，则的立方根为______．
【答案】
解析：解：是二元一次方程组的解，
，
解得：，
，
的立方根为，
故答案为：．
15. 在中；．将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，点在内，当时，过点作于点．若，，则的长为______．
【答案】
解析：解：由旋转可得，，，，，
，，
，
，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，即，
解得：，即，
，
，，
，
，即，
解得：，
故答案为：．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
解析：原式

∵
∴原式．
17. 如图，在中，点，点分别为，边的中点，过点作交的延长线于，连接．若，求证：．
【答案】见解析
解析：证明：∵点，点分别为，边的中点
∴为的中位线
∴
又
∴四边形为平行四边形
∴
由得：
而，
∴
∴
∴．
18. 如图是成都市某街道的一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡面点A处10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：，）
【答案】离原坡角10米的建筑物需要拆除
解析：解：根据题意得：米．
∴米．
∵，
即：，
∴米，
∴（米），
∵．
答：离原坡角10米的建筑物需要拆除．
19. 某中学举办七、八年级全体学生的安全知识比赛活动后，从这两个年级分别随机抽取名学生的比赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．)．现有下列信息：七年级名学生的比赛成绩是：，，，，，，，，，；八年级名学生的比赛成绩在组中的数据是：，，．
八年级抽取的学生比赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ； ； ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生体育技能水平更好？请说明一条理由；
（3）该校七年级有人，八年级有人参加了此次比赛，请估计参加此次比赛获得成绩优秀()的学生人数是多少？
【答案】（1）；；
（2）八年级学生体育技能水平更好，因为八年级中位数较高
（3）估计此次比赛获得成绩优秀的学生人数为人
【小问1解析】
解：八年级名学生的比赛成绩在组中的数据是：，，，
组所占的百分比为，
，即，
八年级的满分率为，
组中的得分的有人，即众数，
八年级10名学生的比赛成绩按从小到大顺序排列后的中间两个数是是C组比赛成绩按从小到大顺序排列后的第2和第3个数据：即和，
中位数为：，
故答案为：；；；
【小问2解析】
八年级学生体育技能水平更好，因八年级中位数较高；
【小问3解析】
解：样本中七年级成绩优秀()占比：，
样本中八年级成绩优秀()占比：，
此次比赛获得成绩优秀()的学生人数：(人)，
此次比赛获得成绩优秀()的学生人数为人．
20. 【实验操作】
在如图所示的串联电路中，用一固定电压为的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡 （灯丝的阻值）亮度．已知电流与电阻，之间关系为，通过实验得出如下数据：

（1）填写： ， ；
【探究观察】
（2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，①在平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象；②观察图象，写出该函数的一条性质；

拓展应用】
（3）结合函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）3，5；（2）①见解析，；②函数值随的增大而减小或函数有最大值，没有最小值等；（3）
解析：解：（1）根据题意，
，解得，
故答案为：3， 5；
（2）①根据表格数据描点：，在平面直角坐标系中画出对应函数，的图象如下：
②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，或函数有最大值，没有最小值等；
（3）如图：
由函数图象知，当时，函数的图象在函数在上方，
所以，的解集为
21. 如图，是半圆的直径，过的延长线上的一点作半圆的切线，切点为点，连接，过弦上的点（不与点重合）作于，交直线于.
（1）请判断形状，并说明理由；
（2）若，，求弦长．
【答案】（1）是等腰三角形．理由见解析
（2）
【小问1解析】
证明：是等腰三角形．
理由是：连接．
∵是切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∴是等腰三角形．
【小问2解析】
连接，∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
又∵，即
∴解得：．
22. 今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进两种跑鞋共双进行销售．已知元全部购进种跑鞋数量是全部购进种跑鞋数量的倍，种跑鞋的进价比B种跑鞋的进价每双多元，两种跑鞋的售价分别是每双元，元．
（1）求两种跑鞋的进价分别是多少元？
（2）该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进种跑鞋的数量不多于种跑鞋的，销售时对种跑鞋每双降价出售．若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）种跑鞋进价为元双，种跑鞋的进价为元双；
（2）购进种鞋双，种鞋双，可获利润最大，最大利润为元．
【小问1解析】
解：设种跑鞋的进价为元双，则种跑鞋进价为元双，
由题意得， ，
解得 ，
经检验是原方程的解，
∴种跑鞋进价为元双，种跑鞋的进价为元双；
【小问2解析】
解：设种鞋购进双，则种鞋购进双，
则 ，
解得，
设获利元，
则，
∵，随的增大而增大，
∴当时，取得最大，元，
即购进种鞋双，种鞋双，可获利润最大，最大利润为元．
23. 如图1，将矩形纸片折叠，使点落在对角线上，点，的对应点分别记为，，折痕与边，分别交于点，．
（1）如图1，当点与点重合时，请判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图2，当，，时，求的值；
（3）如图3，当时，试探究与之间的数量关系．
【答案】（1）四边形是菱形．理由见解析
（2）
（3）
【小问1解析】
解：当点与点重合时，四边形是菱形．理由如下：
设与交于点，如图1，由折叠得：，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2解析】
解：∵四边形是矩形，，，，
∴，，，
∴，
，
如图，设与交于点，过点作于，

由折叠得：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
∴在中，．
【小问3解析】
解：∵，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴在中，，
∴与间满足的数量关系是．
24. 如图，已知经过点和的抛物线与轴交于点，过点作轴交抛物线于点．
（1）请用含的代数式表示和点的坐标；
（2）设直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点，连接，，，求的值；
（3）若在（2）的条件下，若点是抛物线上在轴右侧的一个动点，其横坐标为，点到抛物线对称轴和直线的距离分别是，，且，①求关于的函数解析式；②当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1），点的坐标为；
（2）值为；
（3）①与之间的函数关系式为；②当时，的取值范围为或或．
【小问1解析】
解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∵，
∴对称轴为直线，
∴点的坐标为．
【小问2解析】
解：设与对称轴交于点，则，，
∵点与点关于抛物线对称轴对称，，轴
∴是等腰直角三角形，，
∴，
解得：，
∴的值为；
【小问3解析】
解：①∵，，
∴抛物线的解析式为，
∴，，抛物线对称轴方程为，直线的方程为，
∴，
∵点在轴右侧的抛物线上运动，，
∴当时，；
当时，；
当时，，
∴与之间的函数关系式为；
②如图：
当时，，解得：或（舍去），
当时，，解得：或（舍去），
当时，，解得：或（舍去），
当时，，解得：或（舍去），
当时，，解得：或（舍去），
∴当时，的取值范围为或或．
投篮数（次）
…·
进球数（次）
…
平均数
中位数
众数
满分率
七年级
八年级
R/Ω
…
1
2
3
4
n
6
…
I/A
…
5
m
…