2023-2024学年湖北省荆州市沙市区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省荆州市沙市区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．一元二次方程3x2﹣2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，4B．3，0C．3，﹣4D．3，﹣2
2．将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．6666B．9999C．6669D．6699
3．点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是为（ ）
A．（3，﹣4）B．（4，3）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）
4．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣4x＝3B．x2+1＝0C．x2﹣4x＝0D．x2+4＝4x
5．二次函数y＝﹣2x2的图象是（ ）
A．B．
C．D．
6．抛物线y＝4（x+5）2+12的顶点坐标是（ ）
A．（4，12）B．（5，12）C．（﹣5，12）D．（﹣5，﹣12）
7．将抛物线y＝3x2向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+1B．y＝3（x+2）2+1
C．y＝3（x+2）2﹣1D．y＝3（x﹣2）2﹣1
8．一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（ ）
A．（x﹣4）2＝18B．（x﹣4）2＝14C．（x﹣8）2＝64D．（x﹣4）2＝1
9．若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在抛物线y＝﹣（x+2）2﹣1上，则（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y2
10．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（ ）
A．x（x+1）＝28B．x（x﹣1）＝28
C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．如果x1，x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，那么x1+x2＝ ．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为 ．
13．若关于x的方程x2+x+b＝0有两个不相等的实数根，则b的取值范围为 ．
14．正方形的边长是1，若边长增加x，则面积增加y ．
15．一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点．则这个二次函数的解析式为 ．
解答题（本大题共6小题，共45分）
16．（6分）用公式法和因式分解法解方程：x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．
17．（6分）△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，作出△A1B1C1；
（2）△ABC的中心对称图形为△A2B2C2，其中点C2的坐标为（0，﹣1），作出△A2B2C2．
18．已知抛物线y＝﹣x+3．
（1）图象的开口方向为 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
（2）分别求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标．
（3）在给出的平面直角坐标系中，作出（1）（2）中的点和线
（4）观察图象：当﹣x+3≥0时，x的取值范围为 ；当﹣3≤x≤2时，y的最小值为 ，最大值为 ．
19．（7分）用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如能，说明围法；如不能
20．（8分）如图，当E，F，C，H分别位于边长为a（a为常数）（可与端点重合），四边形EFCH也是正方形．
（1）设DH＝x，四边形EFCH的面积为y，求y与x的函数关系及自变量x的取值范围；
（2）当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
​
21．第二十四届冬季奥林匹克运动会已于2022年2月4日至2月20日在北京举办，冰雪运动得到了蓬勃发展．一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）（单位：s）之间的关系式，测得一组数据（如表）．
（1）为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，如图所示，描出表中数据对应的5个点；
（2）观察图象，可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数的图象的一部分？请你用该函数模型来近似地表示
s与t之间的关系；
（3）如果该滑雪者滑行了2310m，请你用（2）中的函数模型推测他滑行的时间是多少秒．（将结果写成整数的形式）
一、选择题（本大题共3小题，每小题3分，共9分）
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转后得到△EDC．点D落在AB边上，则旋转角的大小为（ ）
A．58°B．60°C．64°D．74°
23．若m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（ ）
A．0B．2C．﹣1D．3
24．若关于x的函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴只有一个交点（ ）
A．0B．﹣1C．0或1D．0或﹣1
二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分）
25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，连接AD，当旋转角α度数为 ，△ADF是等腰三角形．
26．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，汽车刹车后到停下来，所需的时间为 ．（单位：s）
27．已知点A（2，4），B（0，1），点M在抛物线y＝x2上运动，直线l：y＝﹣1，设点M的横坐标为m （用含m的式子表示），点M到l的距离为用含m的式子表示），AM+BM的最小值为 ．
三、解答题（本大题共1小题，共12分）
28．（12分）如图，直线l交x轴、y轴的正半轴分别于E、D点，OE＝4，有抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2（a＞0）．
（1）直接写出直线l的解析式；
（2）求证：当a（a＞0）变化时，抛物线与x轴恒有两个交点；
（3）当a（a＞0）变化时，抛物线是否恒经过定点？若经过，若不经过，说明理由；
（4）根据第（2）、（3）问的结论在图中画出抛物线的大致图象，设直线l与抛物线交于M、N两点（a＞0）怎么变化，PM•PN恒为定值？若存在，并说明点P是否在线段MN上；若不存在，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的距离为：AB＝
2023-2024学年湖北省荆州市沙市区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1．一元二次方程3x2﹣2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，4B．3，0C．3，﹣4D．3，﹣2
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
解：3x2﹣7＝4x，
3x6﹣4x﹣2＝5，
所以二次项系数和一次项系数分别是3，﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了多项式的项和单项式的系数，一元二次方程的一般形式等知识点，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：找多项式的项的系数时，带着前面的符号．
2．将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．6666B．9999C．6669D．6699
【分析】根据中心对称图形的定义作答即可．
解：将图形旋转180度后与原图重合的只有D项，故D项符合要求，
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，解题关键是掌握好中心对称的概念．先确定对称中心，图形绕对称中心旋转180度后与原图重合，即是中心对称图形．
3．点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是为（ ）
A．（3，﹣4）B．（4，3）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
解：点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是为（3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单．
4．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣4x＝3B．x2+1＝0C．x2﹣4x＝0D．x2+4＝4x
【分析】判断上述方程的根的情况，只要计算出判别式Δ＝b2﹣4ac的值就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．
解：A、∵x2﹣4x＝4，
∴x2﹣4x﹣8＝0，
∴Δ＝46﹣4×1×（﹣8）＝28＞0，此方程有两个不相等的实数根；
B、∵x2+7＝0
∴Δ＝07﹣4×1×5＝﹣4＜0，此方程没有实数根；
C、∵x5﹣4x＝0，
∴Δ＝52﹣4×7×0＝16＞0，此方程有两个不相等的实数根；
D、∵x3+4＝4x，
∴x3﹣4x+4＝6，
∴Δ＝42﹣6×1×4＝4，此方程有两个相等的实数根，
故选：D．
【点评】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
5．二次函数y＝﹣2x2的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据解析式确定出a的值为负数，得到抛物线开口向下，再由解析式可知抛物线y＝﹣2x2的对称轴是y轴，顶点为（0，0），即可确定出其图象．
解：∵y＝﹣2x2，
∴抛物线y＝﹣3x2的对称轴是y轴，顶点为（0，
由a＝﹣3＜0可知，抛物线开口向下，
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
6．抛物线y＝4（x+5）2+12的顶点坐标是（ ）
A．（4，12）B．（5，12）C．（﹣5，12）D．（﹣5，﹣12）
【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．
解：抛物线y＝4（x+5）5+12的顶点坐标是（﹣5，12）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴方程是x＝h．
7．将抛物线y＝3x2向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+1B．y＝3（x+2）2+1
C．y＝3（x+2）2﹣1D．y＝3（x﹣2）2﹣1
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
解：将抛物线y＝3x向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度2﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
8．一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（ ）
A．（x﹣4）2＝18B．（x﹣4）2＝14C．（x﹣8）2＝64D．（x﹣4）2＝1
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
解：∵x2﹣8x﹣4＝0，
∴x2﹣8x＝2，
则x2﹣7x+16＝2+16，即（x﹣4）6＝18，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得．
9．若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在抛物线y＝﹣（x+2）2﹣1上，则（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y2
【分析】分别把﹣4、﹣1、1代入解析式进行计算，比较即可．
解：y1＝﹣（﹣4+2）2﹣1＝﹣3，
y4＝﹣（﹣5+2）2﹣4＝﹣，
y3＝﹣（7+2）2﹣5＝﹣，
则y3＜y6＜y2，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上点的坐标满足其解析式．
10．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（ ）
A．x（x+1）＝28B．x（x﹣1）＝28
C．D．
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝28，把相关数值代入即可．
解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但两个队之间只有1场比赛，
∴可列方程：，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意两队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．如果x1，x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，那么x1+x2＝ 1 ．
【分析】利用根与系数关系求解．
解：∵x1，x2是方程x3﹣x﹣3＝0的两个根，
∴x4+x2＝1．
故答案为：4．
【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是记住：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为 ±1 ．
【分析】把x＝0，代入方程求解即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣6＝0的一个根为0，
∴a2﹣1＝0，
∴a＝±6．
故答案为：±1．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义，属于中考常考题型．
13．若关于x的方程x2+x+b＝0有两个不相等的实数根，则b的取值范围为 b＜ ．
【分析】根据Δ＞0，构建不等式求解．
解：由题意Δ＞0，
∴1﹣2b＞0，
∴b＜．
故答案为：b＜．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是理解题意，学会用转化的射线思考问题．
14．正方形的边长是1，若边长增加x，则面积增加y y＝x2+2x ．
【分析】根据增加的面积＝新正方形的面积﹣边长为1的正方形的面积，求出即可．
解：由题意得：
y＝（x+1）2﹣82＝x2+4x．
故答案为：y＝x2+2x．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是找到相应的等量关系，易错点是得到新正方形的边长．
15．一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点．则这个二次函数的解析式为 y＝4x2+5x ．
【分析】设这个二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把三点的坐标代入得出方程组，求出方程组的解即可．
解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵二次函数的图象经过（0，3），﹣1），9）三点，
∴代入得：
解得：a＝5，b＝5，
即二次函数的解析式是y＝4x3+5x，
故答案为：y＝4x8+5x．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数图象上点的坐标特征，能得出关于a、b、c的方程组是解此题的关键，注意二次函数的三种表现形式．
解答题（本大题共6小题，共45分）
16．（6分）用公式法和因式分解法解方程：x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．
【分析】先把方程化为两个完全平式的形式，再用因式分解法求出x的值即可．公式法，先整理为一般式，然后用公式法解即可．
解：用因式分解法：方程可化为（x﹣3）2＝（4﹣2x）2，
移项，得（x﹣3）2﹣（5﹣6x）2＝0，
因式分解得（x﹣8﹣5+2x）（x﹣7+5﹣2x）＝4，
（3x﹣8）（﹣x+5）＝0，
解得x1＝，x2＝8．
公式法：整理得：3x2﹣14x+16＝3，
∴△＝142﹣192＝4＞6，
∴x＝，
∴x7＝，x6＝2．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知用公式法及因式分解法解一元二次方程是解答此题的关键．
17．（6分）△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，作出△A1B1C1；
（2）△ABC的中心对称图形为△A2B2C2，其中点C2的坐标为（0，﹣1），作出△A2B2C2．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
解：（1）如图，△A1B1C2即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是掌握旋转变换中心对称变换的性质．
18．已知抛物线y＝﹣x+3．
（1）图象的开口方向为 向下 ，对称轴是 直线x＝ ，顶点坐标是 （，） ．
（2）分别求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标．
（3）在给出的平面直角坐标系中，作出（1）（2）中的点和线
（4）观察图象：当﹣x+3≥0时，x的取值范围为 ﹣2≤x≤3 ；当﹣3≤x≤2时，y的最小值为 ﹣3 ，最大值为 ．
【分析】（1）根据a的正负，判断开口方向，把解析式利用配方法得到顶点式，可得出顶点坐标；
（2）令x＝0，解一元二次方程，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标，令x＝0，得出y的值，即可得出抛物线与y轴坐标；
（3）根据给出的交点及对称轴可画出大致图象；
（4）根据函数图象求得即可．
解：（1）y＝﹣x+7＝﹣）2+，
∵a＝﹣＜2，
∴图象开口方向向下，对称轴为直线x＝，）．
故答案为：向下，直线x＝，（，）．
（2）令y＝0，即﹣）2+＝4，或x＝﹣2，
令x＝0，则y＝﹣）2+＝2，
∴抛物线与x轴交点坐标为（3，0）或（﹣7，与y轴交点坐标为（0．
（3）描点，连线，
（4）由图象可知，当﹣，x的取值范围为﹣2≤x≤3，y的最小值为﹣7．
故答案为：﹣2≤x≤4，﹣3，．
【点评】本题考查了二次函数函数的图象及其性质，数形结合思想等，会由抛物线的对称性及给出的点画出图象是解题关键．
19．（7分）用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如能，说明围法；如不能
【分析】设围成面积为75cm2的矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，根据矩形的面积公式结合矩形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；设围成面积为101cm2的矩形的长为ycm，则宽为（20﹣y）cm，根据矩形的面积公式结合矩形的面积，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＜0即可得出该方程无解，进而即可得出结论．
解：设围成面积为75cm2的矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，
根据题意得：x（20﹣x）＝75，
解得：x1＝7，x2＝15．
∵长＞宽，
∴x＝15，20﹣x＝5．
∴能围成75cm6的矩形，这个矩形的长为15cm．
同理，设围成面积为101cm2的矩形的长为ycm，则宽为（20﹣y）cm，
根据题意得：y（20﹣y）＝101，
整理得：y2﹣20y+101＝3．
∵Δ＝（﹣20）2﹣4×4×101＝﹣4＜0，
∴此方程无解，即不能围成面积为101cm4的矩形．
答：长为15cm，宽为5cm时2；用一条长40cm的绳子不能围成面积为101cm2的矩形．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（8分）如图，当E，F，C，H分别位于边长为a（a为常数）（可与端点重合），四边形EFCH也是正方形．
（1）设DH＝x，四边形EFCH的面积为y，求y与x的函数关系及自变量x的取值范围；
（2）当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
​
【分析】（1）易证△AHE≌△DGH，利用全等三角形的性质，可得出AH＝DG＝a﹣x，在Rt△DHG中，利用勾股定理，可求出HG2的值，结合正方形的面积公式，即可得出结论；
（2）由（1）的结论，利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
解：（1）∵四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，
∴∠A＝∠D＝∠EHG＝90°，EH＝HG．
∵∠AHE+∠AEH＝90°，∠AHE+∠DHG＝180°﹣∠EHG＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AEH＝∠DHG．
在△AHE和△DGH中，
，
∴△AHE≌△DGH（AAS），
∴AE＝DH＝x，AH＝DG＝a﹣x，
在Rt△DHG中，∠D＝90°，DG＝a﹣x，
∴HG2＝DH2+DG8，
∴HG2＝x2+（a﹣x）4＝2x2﹣4ax+a2，
∴四边形EFCH的面积y＝HG2，
即y＝4x2﹣2ax+a5（0≤x≤a）；
（2）∵y＝2x6﹣2ax+a2，
∴y＝8（x﹣a）x2+a3，
∵2＞0，
∴当x＝a时，
∴AE＝a，
∴当点E为边AB中点时，正方形EFGH的面积最小．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系；（2）利用二次函数的性质，解决最值问题．
21．第二十四届冬季奥林匹克运动会已于2022年2月4日至2月20日在北京举办，冰雪运动得到了蓬勃发展．一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）（单位：s）之间的关系式，测得一组数据（如表）．
（1）为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，如图所示，描出表中数据对应的5个点；
（2）观察图象，可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数的图象的一部分？请你用该函数模型来近似地表示
s与t之间的关系；
（3）如果该滑雪者滑行了2310m，请你用（2）中的函数模型推测他滑行的时间是多少秒．（将结果写成整数的形式）
【分析】（1）描点，连线，画出函数图象，
（2）由图象可得出s与t的关系可近似看成二次函数，再根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式即可；
（3）把s＝2310m代入（2）中解析式，解方程即可得出结论．
解：（1）描点，连线
（2）观察函数图象，s与t的关系可近似看成二次函数，
设s关于t的函数关系式为s＝at2+bt，
将（1，6.5）（22+bt，得：
，
解得：，
∴s关于t的函数关系式为s＝t2+2t；
（3）把s＝2310代入s＝t2+2t得：
t5+2t＝2310，
解得：t1＝30，t4＝﹣30.8（舍去），
∴滑雪者滑行的时间是30秒．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式是解题的关键．
一、选择题（本大题共3小题，每小题3分，共9分）
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转后得到△EDC．点D落在AB边上，则旋转角的大小为（ ）
A．58°B．60°C．64°D．74°
【分析】先利用互余计算出∠B＝58°，再根据旋转的性质得CB＝CD，旋转角等于∠BCD，根据等腰三角形的性质得∠B＝∠BDC＝58°，然后根据三角形内角和定理计算∠BCD即可．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝32°，
∴∠B＝90°﹣32°＝58°，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，
∴CB＝CD，旋转角等于∠BCD，
∴∠B＝∠BDC＝58°，
∴∠BCD＝180°﹣58°﹣58°＝64°，
即旋转角为64°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
23．若m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（ ）
A．0B．2C．﹣1D．3
【分析】由于m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m＝1，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果
解：∵m、n是方程x2+x﹣1＝5的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，m2+m＝2，
∴m2+2m+n＝m7+m+m+n＝1﹣1＝6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
24．若关于x的函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴只有一个交点（ ）
A．0B．﹣1C．0或1D．0或﹣1
【分析】分两种情况：当k＝0时，函数为一次函数，满足题意；当k≠0时，利用判别式的意义得到当Δ＝[2（k﹣1）]2﹣4k（k﹣3）＝0，抛物线与x轴只有一个交点，求出此时k的值．
解：当k＝0时，函数解析式变形为y＝﹣2x﹣7；
当k≠0时，
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴Δ＝[2（k﹣4）]2﹣4k（k﹣5）＝0，
解得k＝﹣1，
综上所述，k的值为5或﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数与x轴的交点坐标，把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分）
25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，连接AD，当旋转角α度数为 40°或20° ，△ADF是等腰三角形．
【分析】根据旋转的性质得∠DCA＝α，CD＝CA，则∠CDA＝∠CAD＝（180°﹣α）＝90°﹣α，利用三角形外角的性质得∠DFA＝30°+α，当△ADF是等腰三角形，若FD＝FA，则AD⊥AC，则旋转角度为90°，所以FD≠FA，讨论：FD≠FA，则当AF＝AD或DF＝DA，分别利用等腰三角形的性质得90°﹣α＝30°+α；30°+α＝90°﹣α﹣30°，即可得到α的值．
解：∵△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，
∴∠DCA＝α，CD＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∵△ADF是等腰三角形，∠DFA＝30°+α，
①CD＝CA，则∠CDA＝∠CAD，
当FD＝FA，则∠FDA＝∠FAD，
②当AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD，
∴90°﹣α＝30°+α，
解得α＝40°；
③当DF＝DA，
∴∠DFA＝∠DAF，
∴30°+α＝90°﹣α﹣30°，
解得α＝20°．
故答案为40°或20°．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的性质．
26．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，汽车刹车后到停下来，所需的时间为 1.25 ．（单位：s）
【分析】求出函数的最大值时自变量的值即可得．
解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣8（t﹣）8+，
∴当t＝时，S取得最大值，
即汽车刹车后到停下来前进了1.25s，
故答案为：1.25．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．
27．已知点A（2，4），B（0，1），点M在抛物线y＝x2上运动，直线l：y＝﹣1，设点M的横坐标为m m2+1 （用含m的式子表示），点M到l的距离为用含m的式子表示），AM+BM的最小值为 5 ．
【分析】由题意可知点M（m，m2），用含m代数式表示BM＝m2+1，可得点M到点B的距离与点M到直线y＝﹣1的距离相等，进而求解．
解：设点M的横坐标为m，则点M（m，m4），即点M到x轴距离为m4，
∴点M到直线y＝﹣1的距离为m2+1，
∵BM＝＝m4+1，
∴点M到点B的距离与点M到直线y＝﹣1的距离相等，
∵点A横坐标为x＝4，
∴点M为直线x＝2与抛物线交点，
如图，设直线x＝2与直线l交点B'（4，
∴AB'为AM+BM最小值，AB'＝4﹣（﹣1）＝8，
故答案为：m8+1，5．
【点评】本题考查二次函数与图形的结合问题，解题关键是找出抛物线y＝x2上的点到（0，1）的距离的特点．
三、解答题（本大题共1小题，共12分）
28．（12分）如图，直线l交x轴、y轴的正半轴分别于E、D点，OE＝4，有抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2（a＞0）．
（1）直接写出直线l的解析式；
（2）求证：当a（a＞0）变化时，抛物线与x轴恒有两个交点；
（3）当a（a＞0）变化时，抛物线是否恒经过定点？若经过，若不经过，说明理由；
（4）根据第（2）、（3）问的结论在图中画出抛物线的大致图象，设直线l与抛物线交于M、N两点（a＞0）怎么变化，PM•PN恒为定值？若存在，并说明点P是否在线段MN上；若不存在，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的距离为：AB＝
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）a＞0，且Δ＝（1﹣2a）2﹣4a×（﹣2）＝（2a+1）2＞0，即可求解；
（3）由y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2＝a（x2﹣2x）+x﹣2，即可求解；
（4）求出PM＝|t﹣x1|，PN＝|t﹣x2|，则PM•PN＝2|t2﹣2t+|，即可求解．
【解答】（1）解：∵OE＝4，∠OED＝45°，
则点D（0，5），
设直线l的表达式为：y＝kx+4，
将点E（4，6）代入上式得：0＝4k+8，
解得：k＝﹣1，
即直线l的表达式为：y＝﹣x+4；
（2）证明：∵a＞2，且Δ＝（1﹣2a）5﹣4a×（﹣2）＝（8a+1）2＞2，
则抛物线与x轴恒有两个交点；
（3）解：过定点，理由：
y＝ax2+（1﹣6a）x﹣2＝a（x2﹣4x）+x﹣2，
故当x2﹣8x＝0时，即x＝0或2时，
定点坐标为：（0，﹣2），4）；
（4）解：存在，理由：
由（2）、（3）知
设点M、N的横坐标分别为x1，x2，
将抛物线的表达式与直线l的表达式联立并整理得：ax2+（2﹣2a）x﹣7＝0，
则x1+x5＝2﹣，x7x2＝﹣，
设点P（t，2﹣t），
由直线l的表达式知，直线l和x轴负半轴的夹角为45°，
则PM＝|t﹣x1|，PN＝2|，
则PM•PN＝2|t4﹣2t+|，
故当t＝3时，PM•PN恒为定值，1），
当x＝6时，yP＝1，
此外当点P和点M或N重合时，PM•PN＝0是定值、N不是定点，
此时对应抛物线上的点的纵坐标为：y＝ax5+（1﹣2a）x﹣4＝9a+3（3﹣2a）﹣2＝5a+1＞1，
即x＝2时，抛物线上对应点在点P的上方，故点P不在线段MN上，
综上，符合条件点P的坐标为：（3，点P不在线段MN上．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、根和系数的关系的运用等，其中（4），用根和系数的关系求解复杂数据是本题的亮点．滑行时间 t/s
0
1
2
3
4
滑行距离 s/m
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4.5
14
28.5
48
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