2025年高考数学一轮复习课时作业-平面向量的数量积【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习课时作业-平面向量的数量积【含解析】，共13页。
【基础落实练】
1.(5分)如果向量a,b满足a=1,b=2,且a⊥(a-b),则a和b的夹角大小为( )
A.30° B.135° C.75° D.45°
2.(5分)已知向量a,b满足a+b=5,a-b=4,则a·b=( )
A.9 B.3 C.6 D.94
3.(5分)(2023·佛山模拟)向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量是( )
A.(-3,3) B.(3,3)
C.(3,-3) D.(-3,-3)
4.(5分)(2023·临沧模拟)已知向量a=(2,1),a·b=10,a+b=52,则b=( )
A.5 B.10 C.5 D.10
5.(5分)(多选题)(2023·淮安模拟)已知a,b,c是平面内三个非零向量,则下列结论正确的是( )
A.若a·c=b·c,则a=b
B.若a+b=a-b,则a⊥b
C.若a∥c,b∥c,则a∥b
D.若a∥b,则a·b=a·b
6.(5分)(多选题)(2023·苏州模拟)如图,已知正六边形ABCDEF的边长为1,记BC=e,则( )
A.AD=2(AE+AC)
B.AB·(EA+2FA)=|AB|2
C.BC(CD·FE)=(BC·CD)FE
D.AE在CB方向上的投影向量为32e
7.(5分)(2023·浦东模拟)已知A,B是圆心为C,半径为5的圆上的两点,且AB=5,则AC·CB= .
8.(5分)(2023·保山模拟)已知平面向量a,b的夹角为π3,且a=1,b=2,则2a-b与b的夹角是 .
9.(5分)已知向量a,b满足a+b=a-2b,其中b是单位向量,则a在b方向上的投影向量是 .
10.(10分)平面内三个向量a=(1,2),b=(-1,1),c=(3,3).
(1)若d=25,且d与a方向相反,求d的坐标;
【加练备选】
1.(2023·大庆模拟)已知向量a,b满足a=2,b=(1,1),a·b=-2,则sin=( )
A.12 B.22 C.32 D.1
2.(多选题)已知a=b=a+b=1,下述结论正确的是( )
A.a-b=3 B.(a+b)·b=12
C.=π6 D.(a-2b)·a=0
11.(10分)(2023·滁州模拟)已知平面向量a,b是单位向量,且a⊥(a-2b).
(1)求向量a,b的夹角;
(2)若a-b=(12,-32),向量c与向量a-b共线,且|c|=|a+b|,求向量c.
【能力提升练】
12.(5分)(多选题)(2023·郑州模拟)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体,它的一端是平整的六角形开口,另一端是封闭的六角菱形的底,由三个相同的菱形组成,巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形ABCDEF,下列说法正确的是( )
A.AC-AE=BF
B.AC+AE=23AD
C.AD·AB=|AB|2
D.EC在AB上的投影向量为32AB
13.(5分)(2023·宁德模拟)在平行四边形ABCD中,已知DE=12EC,BF=12FC,AE=2,AF=6,则AC·BD= .
【加练备选】
已知△OAB中,OA=1,OB=2,OA·OB=-1,过点O作OD垂直AB于点D,点E满足OE=12ED,则EO·EA的值为 .
14.(10分)(2023·苏州模拟)已知△ABC中,AB=2,AC=3,BP=13BC,Q是边AB(含端点)上的动点.
(1)若AQ=25AB,O点为AP与CQ的交点,请用AB,AC表示AO;
(2)若点Q使得AP⊥CO,求cs∠BAC的取值范围.
2025年高考数学一轮复习课时作业-平面向量的数量积（解析版）
(时间:45分钟 分值:85分)
【基础落实练】
1.(5分)如果向量a,b满足a=1,b=2,且a⊥(a-b),则a和b的夹角大小为( )
A.30° B.135° C.75° D.45°
【解析】选D.由a⊥(a-b),则a·(a-b)=a2-a·b=a2-abcs=0,
则1-1×2cs=0,得cs=22,0°≤≤180°,所以=45°.
2.(5分)已知向量a,b满足a+b=5,a-b=4,则a·b=( )
A.9 B.3 C.6 D.94
【解析】选D.因为a+b=5,所以a+b2=25,
即得a2+b2+2a·b=25,
又a-b=4,同理可得a2+b2-2a·b=16,两式相减得4a·b=9,即a·b=94.
3.(5分)(2023·佛山模拟)向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量是( )
A.(-3,3) B.(3,3)
C.(3,-3) D.(-3,-3)
【解析】选B.因为a=(2,23),b=(3,1),
所以a·b=2×3+23×1=43,b=(3)2+12=2,
所以向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量为a·bb·bb=434(3,1)=(3,3).
4.(5分)(2023·临沧模拟)已知向量a=(2,1),a·b=10,a+b=52,则b=( )
A.5 B.10 C.5 D.10
【解析】选A.因为a=(2,1),所以|a|=5,
又因为a·b=10,a+b=52,所以a+b2=50,即|a|2+2a·b+|b|2=50,解得|b|=5.
5.(5分)(多选题)(2023·淮安模拟)已知a,b,c是平面内三个非零向量,则下列结论正确的是( )
A.若a·c=b·c,则a=b
B.若a+b=a-b,则a⊥b
C.若a∥c,b∥c,则a∥b
D.若a∥b,则a·b=a·b
【解析】选BC.对于A,若a·c=b·c,
则accs=bccs,
则acs=bcs,
但cs与cs不一定相同,
所以得不到a=b,无法得到a=b,故A错误;
对于B,若a+b=a-b,
平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,
即a·b=0,所以a⊥b,故B正确;
对于C,若a∥c,b∥c,则a∥b显然成立,故C正确;对于D,a·b=abcs,
a·b=abcs,
若a∥b,则cs=±1,若cs=-1,原式不成立,故D错误.
6.(5分)(多选题)(2023·苏州模拟)如图,已知正六边形ABCDEF的边长为1,记BC=e,则( )
A.AD=2(AE+AC)
B.AB·(EA+2FA)=|AB|2
C.BC(CD·FE)=(BC·CD)FE
D.AE在CB方向上的投影向量为32e
【解析】选BCD.正六边形ABCDEF的边长为1,
对于A,连接CE交AD于O,则△ACE为正三角形,且O为CE的中点,AE+AC=2AO,
而AD=2,OD=EDsin 30°=12,则AO=32,
|AE+AC|=2|AO|=3>|AD|,
所以AD≠2(AE+AC),A不正确;
对于B,AB⊥AE,∠BAF=120°,AB·(EA+2FA)=2AB·FA=2×1×1×cs 60°=1=|AB|2,B正确;
对于C,FE=BC,则有CD·FE=BC·CD,因此BC(CD·FE)=(BC·CD)FE,C正确;
对于D,EF=CB=-e,=150°,
|AE|=2|AF|cs 30°=3,
向量AE在CB方向上的投影向量为
|AE|cs·CBCB=3cs 150°(-e)=32e,D正确.
7.(5分)(2023·浦东模拟)已知A,B是圆心为C,半径为5的圆上的两点,且AB=5,则AC·CB= .
【解析】由题意,得圆C的半径为5,且AB=5,
由余弦定理知,cs∠ACB=52+52-(5)22×5×5=910,
所以AC·CB=-CA·CB=-|CA||CB|cs∠ACB=-5×5×910=-452.
答案:-452
8.(5分)(2023·保山模拟)已知平面向量a,b的夹角为π3,且a=1,b=2,则2a-b与b的夹角是 .
【解析】由平面向量a,b的夹角为π3,且a=1,b=2,可得(2a-b)·b=2a·b-b2=
2×1×2csπ3-4=-2,
且2a-b=4a2+b2-4a·b=4+4-4×1×2csπ3=2,
设向量2a-b与b的夹角为θ,
所以cs θ=(2a-b)·b2a-bb=-22×2=-12,
因为θ∈[0,π],可得θ=2π3,即2a-b与b的夹角为2π3.
答案:2π3
9.(5分)已知向量a,b满足a+b=a-2b,其中b是单位向量,则a在b方向上的投影向量是 .
【解析】因为b是单位向量,所以b=1.
因为a+b=a-2b,所以(a+b)2=(a-2b)2,
化简得2a·b=b2=1,即a·b=12,
所以a在b方向上的投影向量是a·bb2·b=12b.
答案:12b
10.(10分)平面内三个向量a=(1,2),b=(-1,1),c=(3,3).
(1)若d=25,且d与a方向相反,求d的坐标;
【解析】(1)设d=λa(λ