2025年高考数学一轮复习-第五章-第三节 平面向量的数量积-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第五章-第三节 平面向量的数量积-课时作业【含解析】，共12页。
1.（2024·河北廊坊）已知单位向量a，b满足a+2b·a－b＝－45，则a·b＝（ ）
A.12 B.13
C.15 D.14
2.（2023·全国乙卷）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED＝（ ）
A.5 B.3
C.25 D.5
3.（2024·广东广州质检）a，b为平面向量，已知a＝（2，4），a－2b＝（0，8），则a，b夹角的余弦值为（ ）
A.－45 B.－35
C.35 D.45
4.（2024·吉林长春）已知单位向量a，b的夹角为60°，则2a－b＝（ ）
A.1 B.3
C.5 D.3
5.（2024·安徽亳州）已知非零向量a，b，c满足a＝1，（a－b）·（a＋b）＝－1，a·b＝1，c＝－2b，则向量a与c的夹角为（ ）
A.π4 B.π3
C.3π4 D.5π6
6.（多选）（2024·辽宁营口）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是（ ）
A.b＝1 B.（4a＋b）⊥BC
C.a·b＝－1 D.a⊥b
7.（多选）已知向量a＝（－3，2），b＝（2，1），c＝（λ，－1），λ∈R，则下列结论正确的是（ ）
A.若（a＋2b）⊥c，则λ＝4
B.若a＝tb＋c，则λ＋t＝－6
C.｜a＋μb｜的最小值为755
D.若向量a＋b与向量2b＋c的夹角为锐角，则λ的取值范围是（－∞，－1）
8.（多选）（2024·广东梅州）已知平面向量a＝（1，1），b＝（－3，4），则下列说法正确的是（ ）
A.cs＜a，b＞＝210
B.b在a方向上的投影向量为22a
C.与b垂直的单位向量的坐标为45，35
D.若向量a＋λb与非零向量a－λb共线，则λ＝0
9.已知平面向量a＝（1，1），且a·b＝2.若3a－b＝a－2b，则｜b｜＝ .
10.（2024·江西赣州）已知a＝（1，2），b＝（－1，3），若（ka＋b）⊥（2a－b）恒成立，则k的值为 .
11.（2024·贵州黔西）已知单位向量a，b满足a·b＝－14，若向量c＝a＋2b，则cs ＜a，c＞＝ .
12.已知向量m＝（sin α－2，－cs α），n＝（－sin α，cs α），其中α∈R.若m⊥n，则角α＝ ；若｜m－n｜＝2，则cs 2α的值为 .
[B组 能力提升练]
13.（2024·辽宁沈阳）已知正方形ABCD的边长为2，P在边AD上，则AP·AC＋PC的最大值为（ ）
A.1 B.2
C.2 D.22
14.已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则｜a－b｜的最小值是（ ）
A.3－1 B.3＋1
C.2 D.2－3
15.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士的喜爱.如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为22，M是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则MA·MB的最大值为（ ）
A.30＋42 B.28＋82
C.26＋162 D.24＋162
16.（多选）（2024·广东汕头）在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（ ）
A.AM＝392
B.BN＝212
C.∠MPN的余弦值为2121
D.PA＋PB＋PC＝0
17.（多选）在△ABC中，AB＝（2，3），AC＝（1，k）.若△ABC是直角三角形，则k的值可以是（ ）
A.－1 B.113
C.3+132 D.3－132
18.（2024·广东汕头）已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD＝3，AD＝BC＝2，点E是CD的中点，则AE·BD＝ .
19.（2024·山东泰安）如图，AB是半圆O的直径，P是AB上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则PM·PN＝ .
20.（2024·河南开封）在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.
（1）设DE＝xAB＋yAC，求x＋y的值；
（2）若AB·AC＝6AO·EC，求ABAC的值.
2025年高考数学一轮复习-第五章-第三节 平面向量的数量积-课时作业(解析版）
[A组 基础保分练]
1.（2024·河北廊坊）已知单位向量a，b满足a+2b·a－b＝－45，则a·b＝（ ）
A.12 B.13
C.15 D.14
答案：C
解析：因为a+2b·a－b＝a2－2b2＋a·b＝1－2＋a·b＝－45，所以a·b＝15.
2.（2023·全国乙卷）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED＝（ ）
A.5 B.3
C.25 D.5
答案：B
解析：法一：由题意知，EC＝EB＋BC＝12AB＋BC，
ED＝EA＋AD＝－12AB＋BC，
∴EC·ED＝12AB＋BC·－12AB＋BC＝BC2－14AB2＝22－14×22＝3.
法二：以D为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则E（1，2），C（2，0），D（0，0），
∴EC＝（1，－2），ED＝（－1，－2），
∴EC·ED＝1×（－1）＋（－2）×（－2）＝3.
3.（2024·广东广州质检）a，b为平面向量，已知a＝（2，4），a－2b＝（0，8），则a，b夹角的余弦值为（ ）
A.－45 B.－35
C.35 D.45
答案：B
解析：设b＝（x，y），则有a－2b＝（2，4）－（2x，2y）＝（2－2x，4－2y）＝（0，8），所以2－2x=0，4－2y=8，解得x=1，y＝－2，故b＝（1，－2），｜b｜＝5，｜a｜＝25，cs＜a，b＞＝a·b｜a||b｜＝2－825×5＝－35.
4.（2024·吉林长春）已知单位向量a，b的夹角为60°，则2a－b＝（ ）
A.1 B.3
C.5 D.3
答案：B
解析：因为单位向量a，b的夹角为60°，
所以a·b＝a·bcs 60°＝12，
所以2a－b2＝4a2－4a·b＋b2＝4－2＋1＝3，
所以2a－b＝3.
5.（2024·安徽亳州）已知非零向量a，b，c满足a＝1，（a－b）·（a＋b）＝－1，a·b＝1，c＝－2b，则向量a与c的夹角为（ ）
A.π4 B.π3
C.3π4 D.5π6
答案：C
解析：∵（a－b）·（a＋b）＝－1，a2－b2＝－1，
∴b＝2.∵a·b＝1，
∴cs＜a，b＞＝a·ba·b＝12＝22，＜a，b＞∈0，π，则＜a，b＞＝π4，
设向量a与c的夹角为θ，c＝－2b，c与b反向，则θ＝π－π4＝3π4.
6.（多选）（2024·辽宁营口）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是（ ）
A.b＝1 B.（4a＋b）⊥BC
C.a·b＝－1 D.a⊥b
答案：BC
解析：因为AB＝2a，所以AB＝2a＝2，所以a＝1，
又因为AC＝2a＋b，所以AC＝AB＋b，
所以b＝AC－AB＝BC，所以b＝BC＝2，A错误；
因为△ABC是边长为2的等边三角形，
所以AB，BC的夹角为2π3，即a，b的夹角为2π3，
所以（4a＋b）·BC＝（4a＋b）·b＝4a·b＋b2＝4a·bcs2π3＋b2＝0，
所以（4a＋b）⊥BC，B正确；
a·b＝a·bcs2π3＝－1≠0，C正确，D错误.
7.（多选）已知向量a＝（－3，2），b＝（2，1），c＝（λ，－1），λ∈R，则下列结论正确的是（ ）
A.若（a＋2b）⊥c，则λ＝4
B.若a＝tb＋c，则λ＋t＝－6
C.｜a＋μb｜的最小值为755
D.若向量a＋b与向量2b＋c的夹角为锐角，则λ的取值范围是（－∞，－1）
答案：ABC
解析：对于A，因为a＋2b＝（1，4），c＝（λ，－1），（a＋2b）⊥c，所以1×λ＋4×（－1）＝0，解得λ＝4，所以A正确；
对于B，由a＝tb＋c，得（－3，2）＝t（2，1）＋（λ，－1）＝（2t＋λ，t－1），则－3=2t＋λ，2=t－1，解得λ＝－9，t=3，故λ＋t＝－6，所以B正确；对于C，因为a＋μb＝（－3，2）＋μ（2，1）＝（2μ－3，μ＋2），所以｜a＋μb｜＝（2μ－3）2＋（μ+2）2＝5μ2－8μ+13＝5μ－452＋495，则当μ＝45时，｜a＋μb｜取得最小值，为755，所以C正确；对于D，因为a＋b＝（－1，3），2b＋c＝（4＋λ，1），向量a＋b与向量2b＋c的夹角为锐角，所以（a＋b）·（2b＋c）＝－1×（4＋λ）＋3×1＞0，解得λ＜－1；当向量a＋b与向量2b＋c共线时，－1×1－3×（4＋λ）＝0，解得λ＝－133，所以λ的取值范围是－∞,−133∪－133,−1，所以D不正确.
8.（多选）（2024·广东梅州）已知平面向量a＝（1，1），b＝（－3，4），则下列说法正确的是（ ）
A.cs＜a，b＞＝210
B.b在a方向上的投影向量为22a
C.与b垂直的单位向量的坐标为45，35
D.若向量a＋λb与非零向量a－λb共线，则λ＝0
答案：AD
解析：由题意知｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－3＋4＝1，
则cs＜a，b＞＝a·b｜a||b｜＝210，因此A正确；
b在a方向上的投影向量为｜b｜cs＜a，b＞·a｜a｜＝a·ba·a｜a｜＝a·b｜a｜2a＝12a，因此B错误；
与b垂直的单位向量的坐标为45，35或－45,−35，因此C错误；
因为a＋λb＝（1－3λ，1＋4λ），a－λb＝（1＋3λ，1－4λ），若向量a＋λb与向量a－λb共线，则（1－3λ）（1－4λ）＝（1＋3λ）（1＋4λ），解得λ＝0，因此D正确.
9.已知平面向量a＝（1，1），且a·b＝2.若3a－b＝a－2b，则｜b｜＝ .
答案：2
解析：因为3a－b＝a－2b，所以3a－b2＝a－2b2，
即9a2－6a·b＋b2＝a2－4a·b＋4b2，
又｜a｜＝2，a·b＝2，所以b2＝4，所以｜b｜＝2.
10.（2024·江西赣州）已知a＝（1，2），b＝（－1，3），若（ka＋b）⊥（2a－b）恒成立，则k的值为 .
答案：0
解析：因为a＝（1，2），b＝（－1，3），
所以ka＋b＝（k－1，2k＋3），2a－b＝（3，1）.
因为（ka＋b）⊥（2a－b），
所以（ka＋b）·（2a－b）＝0，
即3（k－1）＋2k＋3＝0，解得k＝0.
11.（2024·贵州黔西）已知单位向量a，b满足a·b＝－14，若向量c＝a＋2b，则cs ＜a，c＞＝ .
答案：14
解析：由已知得a＝b＝1，
c＝a+2b＝a2+4b2+4a·b＝2，
所以cs ＜a，c＞＝a·cac＝a·a+2bac＝a2+2a·bac＝14.
12.已知向量m＝（sin α－2，－cs α），n＝（－sin α，cs α），其中α∈R.若m⊥n，则角α＝ ；若｜m－n｜＝2，则cs 2α的值为 .
答案：2kπ＋π6或2kπ＋5π6，k∈Z －18
解析：若m⊥n，则m·n＝0，
即为－sin α（sin α－2）－cs2α＝0，
即sin α＝12，
可得α＝2kπ＋π6或α＝2kπ＋5π6，k∈Z.
若｜m－n｜＝2，即有（m－n）2＝2，
即（2sin α－2）2＋（－2cs α）2＝2，
即为4sin2α＋4－8sin α＋4cs2α＝2，
即有8－8sin α＝2，可得sin α＝34，
即有cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×916＝－18.
[B组 能力提升练]
13.（2024·辽宁沈阳）已知正方形ABCD的边长为2，P在边AD上，则AP·AC＋PC的最大值为（ ）
A.1 B.2
C.2 D.22
答案：C
解析：由题意，建立如图所示坐标系，
则A（0，0），B2，0，C（2，2），
设P（0，t）0≤t≤2，
则AP＝（0，t），AC＝（2，2），
PC＝AC－AP＝2，2－t，
所以AC＋PC＝22，22－t，
所以AP·AC＋PC＝－t2＋22t＝－t－22＋2，
故当t＝2时，AP·AC＋PC有最大值2.
14.已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则｜a－b｜的最小值是（ ）
A.3－1 B.3＋1
C.2 D.2－3
答案：A
解析：设O为坐标原点，a＝OA，b＝OB＝（x，y），e＝（1，0），由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即（x－2）2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C（2，0）为圆心，1为半径的圆.因为a与e的夹角为π3，所以不妨令点A在射线y＝3x（x＞0）上，如图，数形结合可知｜a－b｜min＝｜CA｜－｜CB｜＝3－1.
15.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士的喜爱.如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为22，M是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则MA·MB的最大值为（ ）
A.30＋42 B.28＋82
C.26＋162 D.24＋162
答案：D
解析：如图，取AB的中点O，连接MO，连接BE，OE，分别过点C，点D作BE的垂线，垂足分别为I，J，
所以MA·MB＝（MO＋OA）·（MO＋OB）＝（MO＋OA）·（MO－OA）＝MO2－OA2＝MO2－2，
当点M与点F或点E重合时，MO取得最大值，
易得四边形CDJI为矩形，△BCI，△DEJ为等腰直角三角形，则IJ＝22，
BI＝EJ＝2，则BE＝4＋22，BO＝2，
MO2取得最大值为BO2＋BE2＝22＋4+222＝26＋162，
所以MA·MB的最大值为24＋162.
16.（多选）（2024·广东汕头）在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（ ）
A.AM＝392
B.BN＝212
C.∠MPN的余弦值为2121
D.PA＋PB＋PC＝0
答案：ABD
解析：连接CP，并延长交AB于点Q，
在△ABC中，AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，
则AM＝12（AB＋AC），BN＝12AC－AB，
PM＝13AM＝16（AB＋AC），
PA＝－23AM＝－13（AB＋AC），
PN＝13BN＝16AC－13AB，
PB＝－23BN＝－13AC＋23AB，
PC＝23QC＝23AC－13AB，
选项A： AM＝AM＝12（AB＋AC）2＝12 AB2＋AC2+2AB·AC
＝12 22＋52+2×2×5×12＝392，判断正确；
选项B： BN＝BN＝12AC－AB2＝ AB2＋14AC2－AB·AC
＝ 22＋14×52－2×5×12＝212，判断正确；
选项C： cs∠MPN＝cs＜PN，PM＞＝PN·PMPN·PM
＝16AC－13AB·16（AC＋AB）PN·PM
＝136AC2－118AB2－136AC·AB13BN·13AM
＝136×52－118×22－136×5×2×1213×212×13×392＝49191，判断错误；
选项D： PA＋PB＋PC＝－13（AB＋AC）－13AC＋23AB＋23AC－13AB＝0，判断正确.
17.（多选）在△ABC中，AB＝（2，3），AC＝（1，k）.若△ABC是直角三角形，则k的值可以是（ ）
A.－1 B.113
C.3+132 D.3－132
答案：BCD
解析：若A为直角，则AB⊥AC，则AB·AC＝0，∴2＋3k＝0，解得k＝－23.若B为直角，则BC⊥AB，则BC·AB＝0，∵AB＝（2，3），AC＝（1，k），∴BC＝（－1，k－3），∴－2＋3k－9＝0，解得k＝113.若C为直角，则BC⊥AC，则BC·AC＝0，∴－1＋k（k－3）＝0，解得k＝3±132.综上可得，k的值可能为－23，113，3+132，3－132.
18.（2024·广东汕头）已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD＝3，AD＝BC＝2，点E是CD的中点，则AE·BD＝ .
答案：－2
解析：如图，分别过点C，D作CG⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为G，F.
由题意得四边形ABCD为等腰梯形，AF＝BG＝1，
∴DF＝（2）2－1＝1，所以∠DAF＝45°，
AE·BD＝（AD＋DE）·（AD－AB）＝AD＋16AB·（AD－AB）＝AD2－16AB2－56AB·AD＝（2）2－16×32－56×3×2cs 45°＝－2.
19.（2024·山东泰安）如图，AB是半圆O的直径，P是AB上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则PM·PN＝ .
答案：5
解析：连接AP，BP（图略），则PM＝PA＋AM，PN＝PB＋BN＝PB－AM，所以PM·PN＝（PA＋AM）·（PB－AM）＝PA·PB－PA·AM＋AM·PB－｜AM｜2＝－PA·AM＋AM·PB－｜AM｜2＝AM·AB－｜AM｜2＝1×6－1＝5.
20.（2024·河南开封）在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.
（1）设DE＝xAB＋yAC，求x＋y的值；
（2）若AB·AC＝6AO·EC，求ABAC的值.
解：（1）因为DE＝DB＋BE＝12CB＋－23AB＝12AB－AC－23AB＝－16AB－12AC，
所以x＝－16，y＝－12⇒x＋y＝－23.
（2）因为E，O，C三点共线，不妨设EO＝tEC，
所以AO＝AE＋tEC＝AE＋tAC－AE＝tAC＋131－tAB，再设AO＝mAD，所以AO＝m2AB＋AC＝m2AB＋m2AC，
所以t＝m2，1－t3＝m2⇒t＝14，m＝12，
所以AO＝14AB＋AC，EC＝EA＋AC＝－13AB＋AC.因为6AO·EC＝6×14AB＋AC·
－13AB＋AC＝－12AB2＋AB·AC＋32AC2＝AB·AC，所以－12AB2＋32AC2＝0得AB＝3AC，即ABAC＝3.