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青岛版初中八年级数学上册第2章素养提优测试卷课件
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这是一份青岛版初中八年级数学上册第2章素养提优测试卷课件，共45页。
(时间：90分钟 满分：120分)第2章 素养提优测试卷一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题只有一个选项是符合题意的)1. (情境题 社会主义先进文化)(2024河南郑州外国语中学期中,6,★★☆)小莹 和小博士下棋,小莹执圆子,小博士执方子.如图,棋盘正中心方子的位置用(-1,0) 表示,右下角方子的位置用(0,-1)表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后,所有棋子构 成一个轴对称图形.她放的位置是 ( ) A. (-2,1) B. (-1,1) C. (1,-2) D. (-1,-2)B解析 B 如图,小莹把棋子放在坐标是(-1,1)的位置,所有棋子构成一个轴对称 图形. 2. (2024山东聊城莘县期中,8,★★☆)若A(m,2-n)关于x轴对称的点是A1(4,5),则P (m,n)的坐标是 ( )A. (-4,-3) B. (4,7) C. (-4,7) D. (5,-4)B解析 B 因为点A(m,2-n)关于x轴对称的点是A1(4,5),所以m=4,2-n=-5,解得m=4, n=7,所以点P的坐标是(4,7).故选B.3. (学科素养 空间观念)(2024山东聊城阳谷期中,11,★★☆)如图,小军任意剪 了一张钝角三角形纸片(∠A是钝角),他打算用折叠的方法折出∠C的平分线、 AB边上的中线和高线,他能成功折出的是 ( ) A. ∠C的平分线和AB边上的中线B. ∠C的平分线和AB边上的高线C. AB边上的中线和高线D. ∠C的平分线、AB边上的中线和高线A解析 A 当AC与BC重合时,折痕是∠C的平分线;当点A与点B重合时,折痕所 在直线是AB的垂直平分线,由此可确定AB的中点,根据AB的中点和点C可折出 AB边上的中线.因为∠A为钝角,所以AB边上的高不在△ABC内,无法折出.故 选A.4. [分类讨论思想](2023河北中考,5,★★☆)四边形ABCD的边长如图所示,对角 线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时,对角线AC 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5B解析 B 因为△ABC为等腰三角形,所以AC=AB或AC=BC.当AC=AB=3时,3+3> 4,2+2>3,满足三角形三边关系,所以AC=3符合题意;当AC=BC=4时,2+2=4,不满足 三角形三边关系,舍去.综上,AC=3,故选B.5. (★★☆)如图,△ABC中,CB=CA,DE垂直平分AC,交AC于点E,交BC于点D,∠BAD=30°,则∠C的度数为 ( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°B解析 B 设∠C=x°,因为DE垂直平分AC,所以DA=DC,所以∠DAC=∠C=x°,所以∠CAB=∠DAC+∠BAD=(30+x)°,因为CB=CA,所以∠B=∠CAB=(30+x)°.在△ABC中,因为∠CAB+∠B+∠C=180°,所以30+x+30+x+x=180,解得x=40,即∠C=40°,故选B.6. (2024山东菏泽巨野期中,5,★★☆)如图,CE平分∠ACB且CE⊥DB于E,∠DAB =∠DBA,若AC=18,△CDB的周长为28,则DB的长为 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10B解析 B 因为CE平分∠ACB,所以∠DCE=∠BCE.因为CE⊥DB,所以∠DEC= ∠BEC,又因为CE=CE,所以△DCE≌△BCE(ASA),所以CD=BC.因为∠DAB=∠DBA,所以AD=BD.因为AC=CD+AD=18,所以CD+BD=18.因为△BCD的周长=CD +BD+BC=28,所以BC=28-18=10,所以CD=BC=10,所以BD=18-10=8,故选B.7. (2024山东菏泽曹县期中,8,★★☆)如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,D是 AB边上一点,∠BCD=30°,BD=4 cm,则△ACD的周长为 ( ) A. 6 cm B. 8 cm C. 12 cm D. 16 cmC解析 C 在△ABC中,因为∠ACB=90°,∠A=60°,所以∠B=180°-∠ACB-∠A=30°.因为∠BCD=30°,所以∠BCD=∠B,所以DC=BD=4 cm.因为∠ACD=∠ACB-∠BCD=60°,∠ADC=∠BCD+∠B=60°,所以∠ACD=∠A=∠ADC=60°,所以△ACD是等边三角形,所以CD=AD=AC=4 cm,所以△ACD的周长为AC+AD+CD=4×3=12(cm),故选C.8. (2024山东菏泽曹县期末,8,★★☆)如图,△ABD是等边三角形,AC=AD,∠CBD =15°,则∠BDC的度数为 ( ) A. 120° B. 125° C. 130° D. 135°D解析 D 因为△ABD是等边三角形,所以AB=AD,∠ABD=∠BAD=∠ADB=60°. 因为∠CBD=15°,所以∠ABC=∠ABD-∠CBD=45°.因为AC=AD,所以AC=AB,所 以∠ACB=∠ABC=45°,所以∠BAC=180°-45°-45°=90°,所以∠CAD=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30°.因为AD=AC,所以∠ADC=∠ACD= ×(180°-30°)=75°,所以∠BDC=∠ADB+∠ADC=60°+75°=135°,故选D.9. (2024山东菏泽单县期中,10,★★☆)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD, 对角线AC、BD相交于点O,下列结论:①∠ABC=∠ADC;②AC与BD相互平分;③ AC、BD分别平分四边形ABCD的两组对角;④四边形ABCD的面积S= AC·BD.其中正确的是 ( ) A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①④D解析 D 在△ABC和△ADC中, 所以△ABC≌△ADC(SSS),所以∠ABC=∠ADC,①正确;因为△ABC≌△ADC,所以∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA, 所以AC平分∠BAD,CA平分∠BCD.因为AB=AD,所以OB=OD,AC⊥BD,所以AC 垂直平分BD,因为AB与BC不一定相等,所以OA与OC不一定相等,BD不一定平分 ∠ABC,DB不一定平分∠ADC,②③错误;因为AC⊥BD,所以四边形ABCD的面积 S=S△ABD+S△BCD= BD·AO+ BD·CO= BD·(AO+CO)= AC·BD,④正确.故选D.10. [手拉手模型](2024山东潍坊诸城期中,8,★★★)如图,在△ABC中,AB=AC,D 为BC上的一点,∠BAD=25°,在AD的右侧作△ADE,使得AE=AD,∠DAE=∠BAC, 连接CE、DE,DE交AC于点O,若CE∥AB,则∠CED的度数为 ( ) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°C解析 C 因为AB=AC,所以∠ACB=∠B.因为∠DAE=∠BAC,所以∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD,即∠CAE=∠BAD.在△CAE和△BAD中, 所以△CAE≌△BAD(SAS),所以∠ACE=∠B.因为CE∥AB,所以∠B+∠ACB+∠ACE=180°,所以3∠B=180°,所以∠B=60°,所以△ABC是等边三角形,所以∠DAE= ∠BAC=60°,所以△ADE是等边三角形,所以∠AED=60°.因为CE∥AB,所以∠BAE+∠AEC=180°,所以25°+60°+60°+∠CED=180°,所以∠CED=35°,故选C.二、填空题(共6个小题,每小题4分,共24分)11. (2023山东菏泽成武期中,11,★★☆)如图,已知△ABC的周长为20,现将△ABC沿DE折叠,使点A与点B重合,若△BCE的周长为13,则AB的长为 . 7答案 7解析 因为将△ABC沿DE折叠,使点A与点B重合,所以△AED≌△BED,所以AE=BE.因为△ABC的周长为20,所以AB+AC+BC=20,因为△BCE的周长为13,所以BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=13,所以AB=20-13=7.12. (2024山东滨州滨城期中,15,★★☆)如图,△ABC中,AB=3,AC=2,AD是△ABC 的角平分线,则BD∶DC= . 3∶2答案 3∶2解析 如图,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,过点A作AM⊥BC于点M.因 为AD是△ABC的角平分线,所以DE=DF.因为AB=3,AC=2,所以 = = = .因为 = = ,所以 = . 13. (新考向 规律探究试题)(★☆☆)如图,已知∠MON=30°,点A1、A2、A3、A4、…在射线ON上,点B1、B2、B3、…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形,若OA1=2,则△A6B6A7的边长为 . 64答案 64解析 ∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A1A2,∠B1A1A2=60°,∵∠MON=30°,∴∠OB1A1=∠B1A1A2-∠MON=60°-30°=30°,∴∠MON=∠OB1A1=30°,∴A1B1=OA1=2,∴A1A2=A1B1=2,即等边△A1B1A2的边长为2,∴OA2=OA1+A1A2=2+2=4.∵△A2B2A3是等边三角形,∴A2B2=A2A3,∠B2A2A3=60°,∴∠OB2A2=∠B2A2A3-∠MON=60°-30°=30°,∴∠MON=∠OB2A2=30°,∴A2B2=OA2=4,∴A2A3=A2B2=4,即等边△A2B2A3的边长为4,∴OA3=OA2+A2A3=4+4=8.依此类推,等边△A3B3A4的边长为8,等边△A4B4A5的边长为16,等边△A5B5A6的边 长为32,等边△A6B6A7的边长为64.14. [分类讨论思想](2024山东聊城实验中学期中,17,★★☆)如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,∠CAB=36°,以C为原点,AC所在直线为y轴,BC所在直线为x轴建立平 面直角坐标系,在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形,符合条件的M点有 个. 8答案 8解析 如图,(1)当AB是底边时,作AB的垂直平分线与y轴相交于点M1,与x轴负半 轴相交于点M2,两个交点都符合条件;(2)当AB是腰时,①以点A为圆心,AB的长为半径,画圆,分别与y轴正半轴交于点M 3,与y轴负半轴交于点M4,与x轴负半轴交于点M5,三个交点都符合条件;②以点B为 圆心,AB的长为半径画圆,分别与x轴正半轴交于点M7,与x轴负半轴交于点M6,与y 轴负半轴交于点M8,三个交点都符合条件,因此共有8个符合条件的点.15. (2024北京清华附中期中,27,★★★)如图,四边形ABCD中,AB=AD,点B关于 AC的对称点B'恰好落在CD上,若∠BAD=α,则∠ACB的度数为 (用含α的 代数式表示). 答案 90°- α解析 如图,连接AB',BB',过A作AE⊥CD于E.因为点B关于AC的对称点B'恰好 落在CD上,所以AC垂直平分BB',所以AB=AB',所以∠BAC=∠B'AC= ∠BAB'.因为AB=AD,所以AD=AB',又因为AE⊥CD,所以∠DAE=∠B'AE= ∠DAB',所以∠CAE=∠B'AC+∠B'AE= ∠BAD= α.又因为∠AEB'=∠AOB'=90°,所以四边形AOB'E中,∠EB'O=180°- α,所以∠ACB'=∠EB'O-∠COB'=180°- α-90°=90°- α,所以∠ACB=∠ACB'=90°- α. 16. [山东聊城常考](2024北京二中教育集团期中,16,★★★)如图,已知∠AOB=20°,点M,N分别为OA,OB上的点,OM=ON=4,点P,Q分别为OA,OB上的动点,则MQ+ PQ+PN的最小值是 ,当MQ+PQ+PN取得最小值时,∠QPN的度数是 . 420°答案 4;20°解析 如图,作点M关于OB的对称点M',点N关于OA的对称点N',连接M'N'交OA于 点P',交OB于点Q',连接OM'、ON'、PN'、QM'、P'N,则MQ=M'Q,PN=PN',所以MQ+PQ+PN=M'Q+PQ+PN'≥M'N',所以MQ+PQ+PN的最小值为M'N'的长.因为OM=OM',ON=ON',OM=ON=4,所以OM'=ON'=4.因为MM'⊥OB,NN'⊥OA,∠M'OB=∠AOB=20°,∠N'OA=∠AOB=20°,所以∠M'ON'=60°,所以△M'ON'为等边三角形,所以M'N'=OM'=4,即MQ+PQ+PN的最小值为4;当MQ+PQ+PN取得最小值时,∠QPN=∠Q'P'N,由作图知,∠NP'N'=2∠AP'N'=2×(∠AON'+∠ON'P')=2×(20°+60°)=160°,∠Q'P'N=180°-∠NP'N'=180°-160°=20°. 三、解答题(共6个题,共66分)17. (新考向 尺规作图)(2023广西来宾期末,22,★★☆)(10分)如图,在△ABC中, ∠B=40°,∠C=110°.(1)画出下列图形:①BC边上的高AD;②∠BAC的平分线AE.(用尺规作图,不要求写出作法,保留作图痕迹)(2)求∠DAE的度数. 解析 (1)如图,①AD即为所求.②AE即为所求. (2)在△ABC中,因为∠B=40°,∠ACB=110°,所以∠BAC=180°-∠B-∠ACB=30°.因为AE平分∠BAC,所以∠BAE= ∠BAC= ×30°=15°.因为AD是BC边上的高,所以∠ADB=90°,所以∠DAB=90°-∠B=50°,所以∠DAE=∠DAB-∠BAE=35°.18. (2024山东聊城实验中学期中,21,★★☆)(10分)如图,在平面直角坐标系中,A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3).(1)求出△ABC的面积.(2)若△A1B1C1与△ABC关于y轴对称,写出点A1,B1,C1的坐标.(3)在x轴上找一点P,使点P到A、C两点的距离之和最小(保留作图痕迹). 解析 (1)因为A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3),所以AB=5,所以S△ABC= ×5×3= .(2)A1(1,5),B1(1,0),C1(4,3).(3)作A点关于x轴的对称点E,连接CE交x轴于点P,连接AP,点P即为所求. 19. (学科素养 应用意识)(2024山东菏泽定陶期中,23,★★☆)(10分)某中学校 园内有一块直角三角形(Rt△ABC)空地,如图所示,园艺师傅以角平分线AD为界, 在其两侧分别种上了不同的花草,在△ABD区域内种植了月季花,在△ACD区域 内种植了牡丹花,并量得两直角边AB=10 m,AC=6 m,分别求月季花与牡丹花两 种花草的种植面积. 解析 如图,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,E、F是垂足,因为AD是∠BAC的平 分线,所以DE=DF.设DE=DF=x m,因为S△ABC=S△ABD+S△ACD,所以 AB·AC= AB·DE+ AC·DF,所以10×6=10x+6x,解得x= ,所以DE=DF= m,所以S△ABD= ×10× = (m2),S△ACD= ×6× = (m2),所以月季花的种植面积是 m2,牡丹花的种植面积是 m2. 20.[分类讨论思想](★★☆)(10分)在△ABC中,AB的垂直平分线分别交线段AB、 BC于点M、P,AC的垂直平分线分别交线段AC、BC于点N、Q.当∠PAQ=40°时, 求∠BAC的度数.解析 因为直线MP、NQ分别为AB、AC的垂直平分线,所以AP=BP,AQ=CQ,所以∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C,所以∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C.分两种情况讨论:①当点P在点Q右侧时,如图1,因为∠BAP+∠CAQ=∠BAC+∠PAQ,∠PAQ=40°,所以∠B+∠C=∠BAC+40°,因为∠B+∠C+∠BAC=180°,所以∠BAC=70°. ②当点P在点Q左侧时,如图2,因为∠BAP+∠CAQ+∠PAQ=∠BAC,∠PAQ=40°,所以∠B+∠C=∠BAC-40°,因为∠B+∠C+∠BAC=180°,所以∠BAC=110°.综上,∠BAC=70°或110°.21.(★★☆)(12分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠A=60°,点E为AD上 一点,连接BD,CE,BD与CE交于点F,CE∥AB.(1)判断△DEF的形状,并说明理由.(2)若AD=12,CE=8,求CF的长. 解析 (1)△DEF是等边三角形.理由如下:∵AB=AD,∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∴∠ABD=∠ADB=60°,∵CE∥AB,∴∠CED=∠A=60°,∠DFE=∠ABD=60°,∴∠CED=∠ADB=∠DFE=60°,∴△DEF是等边三角形.(2)连接AC交BD于点O,图略.∵AB=AD,CB=CD,∴直线AC是线段BD的垂直平分线,∴AC⊥BD,∵AB=AD,∠BAD=60°,∴∠BAC=∠DAC=30°,∵CE∥AB,∴∠ACE=∠BAC=30°=∠CAD,∴AE=CE=8,∴DE=AD-AE=12-8=4,∵△DEF是等边三角形,∴EF=DE=4,∴CF=CE-EF=8-4=4.22. (学科素养 推理能力)(2024山东潍坊寒亭期中,22,★★☆)(14分)如图,点C为 线段AB上一点,分别以AC,BC为底边,在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE,且 ∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F,使EF=AD,连接BF,DE.(1)判断DE与BF的数量关系,并说明理由.(2)若∠A=α,延长BF交DE于点G,探究∠BGE与∠GBC的关系,并说明理由. 解析 (1)DE=BF.理由如下:因为△ACD、△BCE分别是以AC,BC为底边的等腰三角形,所以∠A=∠DCA,∠ECB=∠CBE,CE=BE,AD=CD,因为EF=AD,所以EF=CD,因为∠A=∠CBE,所以∠A=∠ECB=∠DCA=∠EBC,所以AD∥CE,DC∥BE,所以∠ADC=∠DCE,∠DCE=∠CEB,在△DCE和△FEB中, 所以△DCE≌△FEB(SAS),所以DE=BF.(2)∠BGE=2∠GBC.理由如下:结合(1)可知∠A=∠ECB=∠CBE=α,△DCE≌△FEB,所以∠DEC=∠GBE.因为∠GBE=∠CBE-∠GBC=α-∠GBC,所以∠DEC=α-∠GBC.因为∠BGE+∠DEC+∠EFG=180°,∠ECB+∠GBC+∠CFB=180°,∠EFG=∠CFB,所以∠BGE+∠DEC=∠ECB+∠GBC,所以∠BGE+α-∠GBC=α+∠GBC,所以∠BGE=2∠GBC.
(时间：90分钟 满分：120分)第2章 素养提优测试卷一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题只有一个选项是符合题意的)1. (情境题 社会主义先进文化)(2024河南郑州外国语中学期中,6,★★☆)小莹 和小博士下棋,小莹执圆子,小博士执方子.如图,棋盘正中心方子的位置用(-1,0) 表示,右下角方子的位置用(0,-1)表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后,所有棋子构 成一个轴对称图形.她放的位置是 ( ) A. (-2,1) B. (-1,1) C. (1,-2) D. (-1,-2)B解析 B 如图,小莹把棋子放在坐标是(-1,1)的位置,所有棋子构成一个轴对称 图形. 2. (2024山东聊城莘县期中,8,★★☆)若A(m,2-n)关于x轴对称的点是A1(4,5),则P (m,n)的坐标是 ( )A. (-4,-3) B. (4,7) C. (-4,7) D. (5,-4)B解析 B 因为点A(m,2-n)关于x轴对称的点是A1(4,5),所以m=4,2-n=-5,解得m=4, n=7,所以点P的坐标是(4,7).故选B.3. (学科素养 空间观念)(2024山东聊城阳谷期中,11,★★☆)如图,小军任意剪 了一张钝角三角形纸片(∠A是钝角),他打算用折叠的方法折出∠C的平分线、 AB边上的中线和高线,他能成功折出的是 ( ) A. ∠C的平分线和AB边上的中线B. ∠C的平分线和AB边上的高线C. AB边上的中线和高线D. ∠C的平分线、AB边上的中线和高线A解析 A 当AC与BC重合时,折痕是∠C的平分线;当点A与点B重合时,折痕所 在直线是AB的垂直平分线,由此可确定AB的中点,根据AB的中点和点C可折出 AB边上的中线.因为∠A为钝角,所以AB边上的高不在△ABC内,无法折出.故 选A.4. [分类讨论思想](2023河北中考,5,★★☆)四边形ABCD的边长如图所示,对角 线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时,对角线AC 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5B解析 B 因为△ABC为等腰三角形,所以AC=AB或AC=BC.当AC=AB=3时,3+3> 4,2+2>3,满足三角形三边关系,所以AC=3符合题意;当AC=BC=4时,2+2=4,不满足 三角形三边关系,舍去.综上,AC=3,故选B.5. (★★☆)如图,△ABC中,CB=CA,DE垂直平分AC,交AC于点E,交BC于点D,∠BAD=30°,则∠C的度数为 ( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°B解析 B 设∠C=x°,因为DE垂直平分AC,所以DA=DC,所以∠DAC=∠C=x°,所以∠CAB=∠DAC+∠BAD=(30+x)°,因为CB=CA,所以∠B=∠CAB=(30+x)°.在△ABC中,因为∠CAB+∠B+∠C=180°,所以30+x+30+x+x=180,解得x=40,即∠C=40°,故选B.6. (2024山东菏泽巨野期中,5,★★☆)如图,CE平分∠ACB且CE⊥DB于E,∠DAB =∠DBA,若AC=18,△CDB的周长为28,则DB的长为 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10B解析 B 因为CE平分∠ACB,所以∠DCE=∠BCE.因为CE⊥DB,所以∠DEC= ∠BEC,又因为CE=CE,所以△DCE≌△BCE(ASA),所以CD=BC.因为∠DAB=∠DBA,所以AD=BD.因为AC=CD+AD=18,所以CD+BD=18.因为△BCD的周长=CD +BD+BC=28,所以BC=28-18=10,所以CD=BC=10,所以BD=18-10=8,故选B.7. (2024山东菏泽曹县期中,8,★★☆)如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,D是 AB边上一点,∠BCD=30°,BD=4 cm,则△ACD的周长为 ( ) A. 6 cm B. 8 cm C. 12 cm D. 16 cmC解析 C 在△ABC中,因为∠ACB=90°,∠A=60°,所以∠B=180°-∠ACB-∠A=30°.因为∠BCD=30°,所以∠BCD=∠B,所以DC=BD=4 cm.因为∠ACD=∠ACB-∠BCD=60°,∠ADC=∠BCD+∠B=60°,所以∠ACD=∠A=∠ADC=60°,所以△ACD是等边三角形,所以CD=AD=AC=4 cm,所以△ACD的周长为AC+AD+CD=4×3=12(cm),故选C.8. (2024山东菏泽曹县期末,8,★★☆)如图,△ABD是等边三角形,AC=AD,∠CBD =15°,则∠BDC的度数为 ( ) A. 120° B. 125° C. 130° D. 135°D解析 D 因为△ABD是等边三角形,所以AB=AD,∠ABD=∠BAD=∠ADB=60°. 因为∠CBD=15°,所以∠ABC=∠ABD-∠CBD=45°.因为AC=AD,所以AC=AB,所 以∠ACB=∠ABC=45°,所以∠BAC=180°-45°-45°=90°,所以∠CAD=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30°.因为AD=AC,所以∠ADC=∠ACD= ×(180°-30°)=75°,所以∠BDC=∠ADB+∠ADC=60°+75°=135°,故选D.9. (2024山东菏泽单县期中,10,★★☆)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD, 对角线AC、BD相交于点O,下列结论:①∠ABC=∠ADC;②AC与BD相互平分;③ AC、BD分别平分四边形ABCD的两组对角;④四边形ABCD的面积S= AC·BD.其中正确的是 ( ) A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①④D解析 D 在△ABC和△ADC中, 所以△ABC≌△ADC(SSS),所以∠ABC=∠ADC,①正确;因为△ABC≌△ADC,所以∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA, 所以AC平分∠BAD,CA平分∠BCD.因为AB=AD,所以OB=OD,AC⊥BD,所以AC 垂直平分BD,因为AB与BC不一定相等,所以OA与OC不一定相等,BD不一定平分 ∠ABC,DB不一定平分∠ADC,②③错误;因为AC⊥BD,所以四边形ABCD的面积 S=S△ABD+S△BCD= BD·AO+ BD·CO= BD·(AO+CO)= AC·BD,④正确.故选D.10. [手拉手模型](2024山东潍坊诸城期中,8,★★★)如图,在△ABC中,AB=AC,D 为BC上的一点,∠BAD=25°,在AD的右侧作△ADE,使得AE=AD,∠DAE=∠BAC, 连接CE、DE,DE交AC于点O,若CE∥AB,则∠CED的度数为 ( ) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°C解析 C 因为AB=AC,所以∠ACB=∠B.因为∠DAE=∠BAC,所以∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD,即∠CAE=∠BAD.在△CAE和△BAD中, 所以△CAE≌△BAD(SAS),所以∠ACE=∠B.因为CE∥AB,所以∠B+∠ACB+∠ACE=180°,所以3∠B=180°,所以∠B=60°,所以△ABC是等边三角形,所以∠DAE= ∠BAC=60°,所以△ADE是等边三角形,所以∠AED=60°.因为CE∥AB,所以∠BAE+∠AEC=180°,所以25°+60°+60°+∠CED=180°,所以∠CED=35°,故选C.二、填空题(共6个小题,每小题4分,共24分)11. (2023山东菏泽成武期中,11,★★☆)如图,已知△ABC的周长为20,现将△ABC沿DE折叠,使点A与点B重合,若△BCE的周长为13,则AB的长为 . 7答案 7解析 因为将△ABC沿DE折叠,使点A与点B重合,所以△AED≌△BED,所以AE=BE.因为△ABC的周长为20,所以AB+AC+BC=20,因为△BCE的周长为13,所以BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=13,所以AB=20-13=7.12. (2024山东滨州滨城期中,15,★★☆)如图,△ABC中,AB=3,AC=2,AD是△ABC 的角平分线,则BD∶DC= . 3∶2答案 3∶2解析 如图,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,过点A作AM⊥BC于点M.因 为AD是△ABC的角平分线,所以DE=DF.因为AB=3,AC=2,所以 = = = .因为 = = ,所以 = . 13. (新考向 规律探究试题)(★☆☆)如图,已知∠MON=30°,点A1、A2、A3、A4、…在射线ON上,点B1、B2、B3、…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形,若OA1=2,则△A6B6A7的边长为 . 64答案 64解析 ∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A1A2,∠B1A1A2=60°,∵∠MON=30°,∴∠OB1A1=∠B1A1A2-∠MON=60°-30°=30°,∴∠MON=∠OB1A1=30°,∴A1B1=OA1=2,∴A1A2=A1B1=2,即等边△A1B1A2的边长为2,∴OA2=OA1+A1A2=2+2=4.∵△A2B2A3是等边三角形,∴A2B2=A2A3,∠B2A2A3=60°,∴∠OB2A2=∠B2A2A3-∠MON=60°-30°=30°,∴∠MON=∠OB2A2=30°,∴A2B2=OA2=4,∴A2A3=A2B2=4,即等边△A2B2A3的边长为4,∴OA3=OA2+A2A3=4+4=8.依此类推,等边△A3B3A4的边长为8,等边△A4B4A5的边长为16,等边△A5B5A6的边 长为32,等边△A6B6A7的边长为64.14. [分类讨论思想](2024山东聊城实验中学期中,17,★★☆)如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,∠CAB=36°,以C为原点,AC所在直线为y轴,BC所在直线为x轴建立平 面直角坐标系,在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形,符合条件的M点有 个. 8答案 8解析 如图,(1)当AB是底边时,作AB的垂直平分线与y轴相交于点M1,与x轴负半 轴相交于点M2,两个交点都符合条件;(2)当AB是腰时,①以点A为圆心,AB的长为半径,画圆,分别与y轴正半轴交于点M 3,与y轴负半轴交于点M4,与x轴负半轴交于点M5,三个交点都符合条件;②以点B为 圆心,AB的长为半径画圆,分别与x轴正半轴交于点M7,与x轴负半轴交于点M6,与y 轴负半轴交于点M8,三个交点都符合条件,因此共有8个符合条件的点.15. (2024北京清华附中期中,27,★★★)如图,四边形ABCD中,AB=AD,点B关于 AC的对称点B'恰好落在CD上,若∠BAD=α,则∠ACB的度数为 (用含α的 代数式表示). 答案 90°- α解析 如图,连接AB',BB',过A作AE⊥CD于E.因为点B关于AC的对称点B'恰好 落在CD上,所以AC垂直平分BB',所以AB=AB',所以∠BAC=∠B'AC= ∠BAB'.因为AB=AD,所以AD=AB',又因为AE⊥CD,所以∠DAE=∠B'AE= ∠DAB',所以∠CAE=∠B'AC+∠B'AE= ∠BAD= α.又因为∠AEB'=∠AOB'=90°,所以四边形AOB'E中,∠EB'O=180°- α,所以∠ACB'=∠EB'O-∠COB'=180°- α-90°=90°- α,所以∠ACB=∠ACB'=90°- α. 16. [山东聊城常考](2024北京二中教育集团期中,16,★★★)如图,已知∠AOB=20°,点M,N分别为OA,OB上的点,OM=ON=4,点P,Q分别为OA,OB上的动点,则MQ+ PQ+PN的最小值是 ,当MQ+PQ+PN取得最小值时,∠QPN的度数是 . 420°答案 4;20°解析 如图,作点M关于OB的对称点M',点N关于OA的对称点N',连接M'N'交OA于 点P',交OB于点Q',连接OM'、ON'、PN'、QM'、P'N,则MQ=M'Q,PN=PN',所以MQ+PQ+PN=M'Q+PQ+PN'≥M'N',所以MQ+PQ+PN的最小值为M'N'的长.因为OM=OM',ON=ON',OM=ON=4,所以OM'=ON'=4.因为MM'⊥OB,NN'⊥OA,∠M'OB=∠AOB=20°,∠N'OA=∠AOB=20°,所以∠M'ON'=60°,所以△M'ON'为等边三角形,所以M'N'=OM'=4,即MQ+PQ+PN的最小值为4;当MQ+PQ+PN取得最小值时,∠QPN=∠Q'P'N,由作图知,∠NP'N'=2∠AP'N'=2×(∠AON'+∠ON'P')=2×(20°+60°)=160°,∠Q'P'N=180°-∠NP'N'=180°-160°=20°. 三、解答题(共6个题,共66分)17. (新考向 尺规作图)(2023广西来宾期末,22,★★☆)(10分)如图,在△ABC中, ∠B=40°,∠C=110°.(1)画出下列图形:①BC边上的高AD;②∠BAC的平分线AE.(用尺规作图,不要求写出作法,保留作图痕迹)(2)求∠DAE的度数. 解析 (1)如图,①AD即为所求.②AE即为所求. (2)在△ABC中,因为∠B=40°,∠ACB=110°,所以∠BAC=180°-∠B-∠ACB=30°.因为AE平分∠BAC,所以∠BAE= ∠BAC= ×30°=15°.因为AD是BC边上的高,所以∠ADB=90°,所以∠DAB=90°-∠B=50°,所以∠DAE=∠DAB-∠BAE=35°.18. (2024山东聊城实验中学期中,21,★★☆)(10分)如图,在平面直角坐标系中,A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3).(1)求出△ABC的面积.(2)若△A1B1C1与△ABC关于y轴对称,写出点A1,B1,C1的坐标.(3)在x轴上找一点P,使点P到A、C两点的距离之和最小(保留作图痕迹). 解析 (1)因为A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3),所以AB=5,所以S△ABC= ×5×3= .(2)A1(1,5),B1(1,0),C1(4,3).(3)作A点关于x轴的对称点E,连接CE交x轴于点P,连接AP,点P即为所求. 19. (学科素养 应用意识)(2024山东菏泽定陶期中,23,★★☆)(10分)某中学校 园内有一块直角三角形(Rt△ABC)空地,如图所示,园艺师傅以角平分线AD为界, 在其两侧分别种上了不同的花草,在△ABD区域内种植了月季花,在△ACD区域 内种植了牡丹花,并量得两直角边AB=10 m,AC=6 m,分别求月季花与牡丹花两 种花草的种植面积. 解析 如图,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,E、F是垂足,因为AD是∠BAC的平 分线,所以DE=DF.设DE=DF=x m,因为S△ABC=S△ABD+S△ACD,所以 AB·AC= AB·DE+ AC·DF,所以10×6=10x+6x,解得x= ,所以DE=DF= m,所以S△ABD= ×10× = (m2),S△ACD= ×6× = (m2),所以月季花的种植面积是 m2,牡丹花的种植面积是 m2. 20.[分类讨论思想](★★☆)(10分)在△ABC中,AB的垂直平分线分别交线段AB、 BC于点M、P,AC的垂直平分线分别交线段AC、BC于点N、Q.当∠PAQ=40°时, 求∠BAC的度数.解析 因为直线MP、NQ分别为AB、AC的垂直平分线,所以AP=BP,AQ=CQ,所以∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C,所以∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C.分两种情况讨论:①当点P在点Q右侧时,如图1,因为∠BAP+∠CAQ=∠BAC+∠PAQ,∠PAQ=40°,所以∠B+∠C=∠BAC+40°,因为∠B+∠C+∠BAC=180°,所以∠BAC=70°. ②当点P在点Q左侧时,如图2,因为∠BAP+∠CAQ+∠PAQ=∠BAC,∠PAQ=40°,所以∠B+∠C=∠BAC-40°,因为∠B+∠C+∠BAC=180°,所以∠BAC=110°.综上,∠BAC=70°或110°.21.(★★☆)(12分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠A=60°,点E为AD上 一点,连接BD,CE,BD与CE交于点F,CE∥AB.(1)判断△DEF的形状,并说明理由.(2)若AD=12,CE=8,求CF的长. 解析 (1)△DEF是等边三角形.理由如下:∵AB=AD,∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∴∠ABD=∠ADB=60°,∵CE∥AB,∴∠CED=∠A=60°,∠DFE=∠ABD=60°,∴∠CED=∠ADB=∠DFE=60°,∴△DEF是等边三角形.(2)连接AC交BD于点O,图略.∵AB=AD,CB=CD,∴直线AC是线段BD的垂直平分线,∴AC⊥BD,∵AB=AD,∠BAD=60°,∴∠BAC=∠DAC=30°,∵CE∥AB,∴∠ACE=∠BAC=30°=∠CAD,∴AE=CE=8,∴DE=AD-AE=12-8=4,∵△DEF是等边三角形,∴EF=DE=4,∴CF=CE-EF=8-4=4.22. (学科素养 推理能力)(2024山东潍坊寒亭期中,22,★★☆)(14分)如图,点C为 线段AB上一点,分别以AC,BC为底边,在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE,且 ∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F,使EF=AD,连接BF,DE.(1)判断DE与BF的数量关系,并说明理由.(2)若∠A=α,延长BF交DE于点G,探究∠BGE与∠GBC的关系,并说明理由. 解析 (1)DE=BF.理由如下:因为△ACD、△BCE分别是以AC,BC为底边的等腰三角形,所以∠A=∠DCA,∠ECB=∠CBE,CE=BE,AD=CD,因为EF=AD,所以EF=CD,因为∠A=∠CBE,所以∠A=∠ECB=∠DCA=∠EBC,所以AD∥CE,DC∥BE,所以∠ADC=∠DCE,∠DCE=∠CEB,在△DCE和△FEB中, 所以△DCE≌△FEB(SAS),所以DE=BF.(2)∠BGE=2∠GBC.理由如下:结合(1)可知∠A=∠ECB=∠CBE=α,△DCE≌△FEB,所以∠DEC=∠GBE.因为∠GBE=∠CBE-∠GBC=α-∠GBC,所以∠DEC=α-∠GBC.因为∠BGE+∠DEC+∠EFG=180°,∠ECB+∠GBC+∠CFB=180°,∠EFG=∠CFB,所以∠BGE+∠DEC=∠ECB+∠GBC,所以∠BGE+α-∠GBC=α+∠GBC,所以∠BGE=2∠GBC.
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