2024武汉华中师范大学第一附中高一下学期7月期末检测数学试题含解析

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考试时间：120分钟 试卷满分：150分
命题人：徐秋皓 审题人：张丹 曹宗庆
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球.事件“取出的小球编号为奇数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于6”，事件“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（ ）
A. 与互斥B. 与互为对立事件
C. 与互为对立事件D. 与相互独立
3. 已知，是不同直线，，，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
4. 甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响.若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（ ）
A. 0.6B. 0.7C. 0.8D. 0.9
5. 在中，，，为角，，对应的边，则“”是“为直角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为（ ）
A. 2B. C. D.
7. 掷一枚质地均匀骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 在平行四边形中，，，，是以为圆心，为半径的圆上一动点，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现点数，根据四名同学的统计结果，判断可能出现了点数6的是（ ）
A. 中位数为3，极差为3B. 平均数为2，第百分位数为4
C. 平均数为3，中位数为4D. 平均数为3，方差为1
10. 在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. D.
11. 如图所示，在直角梯形中，，，分别是，上的点，且，，将四边形沿向上折起，连接，，.在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）
A. 平面B. 与所成的角先变大后变小
C. 几何体体积有最大值D. 平面与平面不可能垂直
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆锥体积为，表面积是底面积的倍，则该圆锥的母线长为_____________.
13. 已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则_____________.
14. 在正三棱柱中，，为线段上动点，为边中点，则三棱锥外接球表面积最小值为_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；
（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人.求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率.
16. 如图，四边形为矩形，直线垂直于梯形所在的平面.，是线段的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
17. 在中，为角对应的边，为的面积.且.
（1）求；
（2）若，求内切圆半径的最大值.
18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是线段的中点，点在平面内的射影为点.
（1）求证：平面；
（2）设为棱上一点，，.
①若，请在图中作出三棱柱过三点的截面，并求该截面的面积；
②求二面角的取值范围.
19. 对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”.
（1）若，，是的“迷你向量”，求实数的取值范围；
（2）一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处（且）.蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第次后停留的位置记为，设.记事件“蚂蚁经过的路径中至少有个使得是的迷你向量”.（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的）
①当时，求；
②证明：.